宇宙の形

物理宇宙論では、宇宙の形はその局所的形状と大域的形状の両方を指します。局所的形状は主に曲率によって定義され、大域的形状は位相（それ自体が曲率によって制約される）によって特徴付けられます。一般相対性理論は、空間曲率（局所的形状）が重力によってどのように制約されるかを説明します。宇宙の大域的位相特性が変化する局所的に区別できない空間が存在するため、一群の同次一般相対論モデル内の観測から推測される曲率の測定値のみから宇宙の大域的位相を推測することはできません。たとえば、3 トーラスのような多重連結空間は、どこでも曲率が 0 ですが、範囲は有限です。一方、平坦な単連結空間（ユークリッド空間など）の範囲は無限大です。

現在の観測証拠（例えば、 WMAP、BOOMERanG、プランク）は、観測可能な宇宙が曲率密度パラメータの誤差0.4％以内で空間的に平坦であり、グローバルトポロジーが不明であることを示唆している。^{[1] [2]}宇宙がユークリッド空間のように単純に接続されているか、トーラスのように多重に接続されているかは現在不明である。今日まで、宇宙のトポロジーが単純に接続されていないことを示唆する説得力のある証拠は見つかっていないが、天文学的観測によってそれが否定されてはいない。

宇宙の構造は 2 つの角度から調べることができます。

1. 局所幾何学: これは宇宙の曲率に関係し、主に私たちが観測できるものに関係します。
2. グローバル幾何学: これは宇宙の全体的な形状と構造に関係します。

観測可能な宇宙（現在の観測者から見て）は、ほぼ球状の領域で、全方向に約460億光年広がっています（その観測者から見て、観測者とは特に指定がない限り現在の地球を指します）。^[3]宇宙を深く見れば見るほど、宇宙はより古く、より赤方偏移しているように見えます。理論的には、ビッグバンまで遡ることができますが、実際には、宇宙マイクロ波背景放射（CMB）（およそ宇宙の始まりから37万年後まで（ビッグバンから37万年後）は不透明であり、それを超えると不透明になる。研究によると、観測可能な宇宙は最大規模では 等方性かつ均質である。

観測可能な宇宙が宇宙全体を包含しているなら、観測によってその構造を決定できるかもしれない。しかし、観測可能な宇宙が小さければ、その一部しか把握できず、観測によって宇宙全体の形状を推測することは不可能になる。宇宙全体の形状については、現在の観測と一般相対性理論と一致するさまざまな数学モデルを構築することができる。したがって、観測可能な宇宙が宇宙全体と一致するのか、それとも大幅に小さいのかは不明だが、宇宙は観測可能な宇宙よりも大きいことは一般に認められている。

宇宙は、ある次元ではコンパクトだが、他の次元ではコンパクトではない可能性があります。これは、直方体^[要出典]が 1 つの次元で他の次元よりも長いのと同じです。科学者は、新しい意味合い、つまりモデルが正確であるために必要な、まだ観測されていない現象を探すことでこれらのモデルをテストします。たとえば、小さく閉じた宇宙では、空に同じ物体の複数の画像が生成されますが、必ずしも同じ年齢ではありません。2024 年現在、現在の観測証拠は、観測可能な宇宙が空間的に平坦で、グローバルな構造が不明であることを示唆しています。

曲率は、空間の幾何学が局所的に平坦な空間とどのように異なるかを表す量です。任意の局所等方性空間(したがって局所等方性宇宙) の曲率は、次の 3 つのケースのいずれかに該当します。

1. 曲率ゼロ（平坦） - 描かれた三角形の角度の合計は 180° になり、ピタゴラスの定理が成り立ちます。このような 3 次元空間は、ユークリッド空間E ³によって局所的にモデル化されます。
2. 正の曲率 - 描かれた三角形の角度の合計が 180° を超えます。このような 3 次元空間は、3 次元球面 S ³の領域によって局所的にモデル化されます。
3. 負の曲率 - 描かれた三角形の角度の合計が 180° 未満になります。このような 3 次元空間は、双曲空間 H ³の領域によって局所的にモデル化されます。

曲面形状は非ユークリッド幾何学の領域にあります。正に曲がった空間の例としては、地球のような球体の表面が挙げられます。赤道から極に向かって引いた三角形は、少なくとも 2 つの角度が 90° に等しく、3 つの角度の合計は 180° より大きくなります。負に曲がった表面の例としては、鞍部や峠の形状が挙げられます。鞍部表面に引いた三角形は、角度の合計が 180° 未満になります。

一般相対性理論は、質量とエネルギーが時空の曲率を曲げることを説明し、オメガ（Ω ）で表される密度パラメータと呼ばれる値を使用して宇宙の曲率を決定するために使用されます。密度パラメータは、宇宙の平均密度を臨界エネルギー密度、つまり宇宙が平坦になるために必要な質量エネルギーで割ったものです。言い換えると、

• Ω = 1の場合、宇宙は平坦です。
• Ω > 1の場合、曲率は正になります。
• Ω < 1の場合、曲率は負になります。

科学者は、実験的にΩ を計算して曲率を決定する方法が 2 つあります。1 つは、宇宙の質量エネルギーをすべて数えてその平均密度を求め、その平均を臨界エネルギー密度で割る方法です。ウィルキンソン マイクロ波異方性探査機(WMAP) とプランク宇宙船のデータは、宇宙の質量エネルギーの 3 つの構成要素である通常の質量 (バリオン物質と暗黒物質)、相対論的粒子 (主に光子とニュートリノ)、暗黒エネルギーまたは宇宙定数の値を示しています。^{[4] [5]}

Ω_質量≈0.315 ± 0.018

Ω_相対論的≈9.24 × 10 ⁻⁵

Ω _Λ ≈0.6817 ± 0.0018

_合計Ω =_質量Ω +_相対論的Ω + Ω _Λ =1.00 ± 0.02

臨界密度値の実際の値はρ _critical =として測定されます。9.47 × 10 ⁻²⁷  kg⋅m ⁻³。これらの値から、実験誤差の範囲内で、宇宙は空間的に平坦であると思われます。

Ω を測定する別の方法は、観測可能な宇宙を横切る角度を測定することによって幾何学的に測定することです。これは、 CMB を使用して、パワー スペクトルと温度異方性を測定することによって行うことができます。たとえば、光速では熱情報を伝播できないほど大きいために熱平衡状態ではないガス雲を見つけることを想像することができます。この伝播速度がわかれば、ガス雲のサイズとガス雲までの距離がわかり、三角形の 2 辺が得られ、角度を決定できます。これに似た方法を使用して、BOOMERanG 実験では、実験誤差内で角度の合計が 180° であることが決定され、これはΩ_合計≈に対応します。1.00 ± 0.12 . ^[6]

これらおよびその他の天文学的測定は、空間曲率がゼロに非常に近くなるように制限しますが、その符号は制限しません。これは、時空の局所的な幾何学は時空間隔に基づく相対性理論によって生成されるものの、 3次元空間はよく知られているユークリッド幾何学によって近似できることを意味します。

フリードマン方程式を使用するフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー (FLRW) モデルは、宇宙をモデル化するためによく使用されます。FLRW モデルは、流体力学の数学に基づいて宇宙の曲率を提供します。つまり、宇宙内の物質を完全な流体としてモデル化します。星や質量構造を「ほぼ FLRW」モデルに導入できますが、厳密に FLRW モデルは、観測可能な宇宙の局所的な形状を近似するために使用されます。別の言い方をすると、すべての形態のダーク エネルギーを無視すると、すべての物質が均等に分布していると仮定して (銀河などの「高密度」オブジェクトによって引き起こされる歪みではなく)、宇宙内の物質の平均密度を測定することで、宇宙の曲率を決定できます。この仮定は、宇宙は「弱く」不均質かつ異方性であるが（宇宙の大規模構造を参照）、十分に大きな空間スケールで分析すると平均的には均質かつ等方性であるという観察によって正当化されます。

グローバル構造は、観測可能な宇宙とそれを越えた宇宙全体の幾何学と位相をカバーします。局所幾何学はグローバル幾何学を完全に決定するわけではありませんが、可能性、特に一定曲率の幾何学を制限します。宇宙はしばしば測地多様体、つまり位相的欠陥のないものとみなされます。これらのいずれかを緩和すると、分析がかなり複雑になります。グローバル幾何学は、局所幾何学と位相です。したがって、位相だけではグローバル幾何学にはなりません。たとえば、ユークリッド 3 次元空間と双曲 3 次元空間は同じ位相を持ちますが、グローバル幾何学は異なります。

序文で述べたように、宇宙の全体的構造の研究における調査には以下が含まれます。

• 宇宙が無限か有限か
• 地球宇宙の幾何学が平坦なのか、正に曲がっているのか、負に曲がっているのか、そして、
• 位相が単連結であるか（例えば球面）、あるいは多重連結であるか（例えばトーラス）^[7]

宇宙に関する未解決の疑問の 1 つは、宇宙の広がりが無限か有限かということです。直感的には、有限の宇宙は有限の体積を持ち、例えば理論的には有限の量の物質で満たすことができるのに対し、無限の宇宙は無限であり、数値的な体積で満たすことはできません。数学的には、宇宙が無限か有限かという疑問は、有界性と呼ばれます。無限の宇宙 (無限の計量空間) とは、任意の距離にある点が存在することを意味します。つまり、任意の距離dに対して、少なくともd離れた距離にある点が存在します。有限の宇宙は、すべての点が互いに距離d以内にあるような距離dが存在する、有界の計量空間です。そのようなd の最小値は宇宙の直径と呼ばれ、この場合、宇宙は明確に定義された「体積」または「スケール」を持ちます。

有限の宇宙を想定すると、宇宙には端があるか、端がないかのどちらかになります。円板などの多くの有限の数学的な空間には、端または境界があります。端がある空間は、概念的にも数学的にも扱いが困難です。つまり、そのような宇宙の端で何が起こるかを述べるのは困難です。このため、端がある空間は通常、考慮の対象から除外されます。

しかし、 3 次元球面や3 次元トーラスなど、辺を持たない有限空間も数多く存在します。数学的には、これらの空間は境界のないコンパクト空間と呼ばれます。コンパクトという用語は、範囲が有限 (「有界」) で完全であることを意味します。境界のないという用語は、空間に辺がないことを意味します。さらに、微積分を適用できるように、宇宙は通常、微分可能多様体であると想定されます。境界のないコンパクトで微分可能であるというこれらすべての特性を備えた数学的対象は、閉多様体と呼ばれます。3 次元球面と 3 次元トーラスはどちらも閉多様体です。

1990年代から2000年代初頭にかけて、多重結像を示すスケールでの測定を用いて地球のトポロジーを決定する経験的手法が提案され^[8]、宇宙論的観測に適用された。^{[9] [10]}

2000年代から2010年代にかけて、宇宙は大規模構造の宇宙ウェブに示されているように不均一であるため、銀河の運動パターンにおける局所的なスケールで測定された加速効果は、原理的には宇宙のグローバルなトポロジーを明らかにするはずであることが示された。^{[11] [12] [13]}

宇宙の曲率は位相に制約を課す。空間幾何学が球状、すなわち正の曲率を持つ場合、位相はコンパクトである。平坦（曲率ゼロ）または双曲型（曲率が負）の空間幾何学の場合、位相はコンパクトまたは無限のいずれかになる。^[8]多くの教科書では、平坦または双曲型の宇宙は無限の宇宙を意味すると誤って記載されているが、正しくは、平坦で単連結な宇宙は無限の宇宙を意味する。^[8]たとえば、ユークリッド空間は平坦で単連結で無限であるが、平坦で多重連結で有限でコンパクトなトーラスも存在する（平坦トーラスを参照）。

一般に、リーマン幾何学における局所から大域への定理は、局所幾何学を大域幾何学に関連付けます。局所幾何学が一定の曲率を持つ場合、大域幾何学はサーストン幾何学で説明されているように、非常に制約されます。

最新の研究によると、宇宙曲率パラメータの真の値が10 ⁻⁴より小さい場合、最も強力な将来の実験（SKAなど）でさえ、平坦な宇宙、開いた宇宙、閉じた宇宙を区別することはできないだろう。宇宙曲率パラメータの真の値が10 ⁻³より大きい場合、今でもこれら3つのモデルを区別することができるだろう。^[14]

2018年に発表されたプランク計画の最終結果によると、宇宙曲率パラメータ1 − Ω = Ω _K = − Kc ² / a ² H ²は、0.0007 ± 0.0019、平坦な宇宙と一致する。^[15]（すなわち、正の曲率：K = +1、Ω _K < 0、Ω > 1、負の曲率：K = −1、Ω _K > 0、Ω < 1、ゼロ曲率：K = 0、Ω _K = 0、Ω = 1）。

曲率がゼロの宇宙では、局所的な幾何学は平坦です。最もよく知られているそのようなグローバル構造は、広がりが無限であるユークリッド空間です。広がりが有限の平坦な宇宙には、トーラスやクラインの壺が含まれます。さらに、3次元には、10個の有限の閉じた平坦な3次元多様体があり、そのうち6つは向き付け可能で、4つは向き付け不可能です。これらはビーバーバッハ多様体です。最もよく知られているのは、前述の3次元トーラス宇宙です。

ダークエネルギーがない場合、平坦な宇宙は永遠に膨張しますが、膨張速度は継続的に減速し、膨張は漸近的にゼロに近づきます。ダークエネルギーがある場合、宇宙の膨張速度は重力の影響により最初は遅くなりますが、最終的には増加します。宇宙の最終的な運命は、空間が永遠に膨張し続けるという意味で、開いた宇宙と同じです。

平坦な宇宙では総エネルギーはゼロになることがある。^[16]

正に曲がった宇宙は楕円幾何学によって記述され、3次元の超球面、または他の球面状の3次元多様体（ポアンカレ十二面体空間など）として考えることができ、これらはすべて3次元球面の 商です。

ポアンカレ十二面体空間は、口語的には「サッカーボール型」と表現される正に曲がった空間であり、これは3次元球面を2元二十面体群で割ったものであり、サッカーボールの対称性である二十面体対称性に非常に近い。これは2003年にジャン＝ピエール・ルミネとその同僚によって提案され^{[9] [17]}、このモデルの最適な天空の向きは2008年に推定された。^[10]

双曲的宇宙は負の空間曲率を持つもので、双曲幾何学によって記述され、局所的には無限に伸びた鞍形の三次元類似体として考えることができる。双曲的三次元多様体にはさまざまな種類があり、その分類は完全には理解されていない。有限体積のものはモストウの剛性定理によって理解できる。双曲的局所幾何学では、考えられる三次元空間の多くは非公式に「ホーントポロジー」と呼ばれている。これは双曲幾何学の標準モデルである擬球の形状に由来する。一例として、ピカールホーンがある。これは負に曲がった空間で、口語的には「漏斗型」と表現される。^[18]

宇宙学者が宇宙を「開いた」または「閉じた」と表現する場合、最も一般的には、それぞれ曲率が負か正かを指しています。開いた、閉じたというこれらの意味は、位相空間の集合や開いた多様体と閉じた多様体の数学的な意味に使用される開いた、閉じたという数学的な意味とは異なり、曖昧さと混乱が生じます。数学では、閉じた多様体(つまり、境界のないコンパクトなもの) と開いた多様体(つまり、コンパクトではなく境界のない多様体) の定義があります。「閉じた宇宙」は必ず閉じた多様体です。「開いた宇宙」は、閉じた多様体でも開いた多様体でもかまいません。たとえば、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー(FLRW) モデルでは、宇宙は境界がないと考えられており、その場合、「コンパクトな宇宙」は閉じた多様体である宇宙を表すことができます。

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