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サークル・リミットIIIは、オランダの芸術家MCエッシャーが1959年に制作した木版画で、「無限に遠くからロケットのように魚の列が飛び上がり」、「来たところへ戻っていく」様子が描かれている。 [ 1 ]
これは、双曲幾何学のアイデアを描いたエッシャーによる4枚の木版画シリーズのうちの1枚である。オランダの物理学者で数学者のブルーノ・エルンストはこれを「4枚の中で最高傑作」と評した。[ 2 ]
エッシャーは1936年にスペインのグラナダにあるアルハンブラ宮殿を訪れた後、平面のテセレーションに興味を持つようになり[ 3 ] [ 4 ] 、1937年の作品「メタモルフォーゼI」 の頃から、テセレーションされた人間や動物の姿を作品に取り入れるようになった[ 4 ] 。
エッシャーは1958年にHSMコクセターに宛てた手紙の中で、コクセターの論文「結晶対称性とその一般化」にある図に触発されて円極限シリーズを制作したと述べている。 [ 2 ] [ 3 ]コクセターの図は、 30°、45°、90°の角度を持つ直角三角形による双曲平面のテセレーションを示している。これらの角度を持つ三角形は双曲幾何学では可能であるが、ユークリッド幾何学では不可能である。このテセレーションは、(6,4,2)三角形群の反射線と基本領域を描写していると解釈できる。[ 5 ]エッシャーが理解したであろうコクセターの図の初等的な解析は、カッセルマン(2010)によって与えられている。[ 6 ]
エッシャーは、魚を二等分する木版画の白い曲線が、双曲平面のポアンカレ円盤モデルにおける双曲線を表していると信じていたようだ。このモデルでは、双曲平面全体がユークリッド平面上の円盤としてモデル化され、双曲線は円盤の境界に垂直な円弧としてモデル化される。実際、エッシャーは魚が「境界に垂直に」動くと書いている。[ 1 ]しかし、コクセターが示したように、図が示すように、面が交互に正方形と正三角形であるような線の双曲的な配置は存在しない。むしろ、白い曲線は境界円とcos −1 2 1/4 − 2 −1/4 / 2 、約80°の角度で交わるハイパーサイクルである。 [ 2 ]
白い線の間にある三角形と正方形の対称軸は、真の双曲線です。木版画の正方形と三角形は、双曲平面の交互八角形タイルによく似ており、双曲平面の交互八角形タイルも同様に正方形と三角形が同じ入射パターンで接しています。しかし、これらの形状の正確な幾何学は同じではありません。交互八角形タイルでは、正方形と三角形の辺は双曲直線セグメントであり、滑らかな曲線で連結するのではなく、角のある多角形の連鎖を形成します。エッシャーの木版画では、正方形と三角形の辺はハイパーサイクルの弧によって形成されており、双曲幾何学では直線ではありませんが、角のない滑らかなつながりを形成しています。
正方形の中心にある、4匹の魚がヒレで交わる点は、8次の三角形タイリングの頂点を形成し、3匹の魚のヒレが交わる点と3本の白い線が交差する点は、その双対である八角形タイリングの頂点を形成する。[ 2 ]三角形や正方形以外の多角形によって形成される、または各交点に3本以上の白い曲線がある他の双曲タイリングについても、魚の線による同様のテセレーションを構築することができる。[ 7 ]
木版画の中で最も目立つ3つの白い曲線を含む円のユークリッド座標は、2と3の平方根で拡張された有理数の領域での計算によって得られる。[ 8 ]
双曲平面において、魚の色を無視してパターンとして見ると、この木版画は、三角形と正方形の中心でそれぞれ3回と4回の回転対称性を持ち、白い曲線が交差する点で3次の回転対称性を持つ。ジョン・コンウェイのオービフォールド記法では、この対称性の集合は433と表記される。各魚はこの対称群の基本領域を提供する。見た目とは異なり、魚は左右対称ではない。つまり、図の白い曲線は鏡映対称軸ではない。[ 9 ] [ 10 ] 例えば、右のヒレの後ろの角度は90°（4つのヒレが交わる点）だが、はるかに小さい左のヒレの後ろの角度は120°（3つのヒレが交わる点）である。
サークルリミットIIIの魚は4色で描かれており、魚の列ごとに1色、隣り合う2匹の魚ごとに異なる色になっています。魚の輪郭を描くのに使われている黒インクと合わせると、木版画全体では5色になります。5つの木版から印刷されており、それぞれの木版は円盤の4分の1の範囲内で1色ずつを印刷し、合計20枚の版画が作られています。印刷された外側の円の直径は41.5cm （16 + 3 / 8インチ）です。[ 11 ]
ハーグのエッシャー美術館のコレクションに収蔵されているほか、 『サークル・リミット III』の複製は、国立美術館[ 12 ]とカナダ国立美術館[ 13 ]のコレクションにも収蔵されている。