pグループ

数学、特に群論において、素数 pが与えられたとき、p群とは、すべての要素の位数がpのべき乗である群のことである。つまり、p群Gの各要素gに対して、 gのⁿ個以上のpの積が単位元 に等しくなるような非負の整数n が存在する。異なる要素の位数は、 pの異なるべき乗であってもよい。

アーベル p群はp一次群、あるいは単に一次群とも呼ばれます。

有限群は、その位数（その元の数）がpのべき乗である場合に限り、p群である。有限群Gが与えられたとき、シローの定理は、Gの位数を割り切るすべての素数べき乗p ⁿに対して、位数p ⁿのGの部分群が存在することを保証する。

すべての有限p群は冪零である。

この記事の残りの部分では、有限p群について扱います。無限アーベルp群の例については、プリューファー群を参照してください。無限単純 p群の例については、タルスキ モンスター群を参照してください。

定義によりすべての要素は有限の順序を持​​つため、すべてのpグループは周期的です。

pが素数でG が位数p ^kの群である場合、Gには任意の 1 ≤ m ≤ kに対して位数p ^mの正規部分群が存在します。これは、グループのコーシーの定理と対応定理を使用した帰納法により導かれます。証明の概要は次のとおりです。Gの中心Zは自明ではないため(下記参照)、コーシーの定理によれば、 Z には位数pの部分群Hがあります。 HはGの中心であるため、Gでは必然的に正規です。ここで帰納的仮説をG/Hに適用すると、対応定理から結果が導かれます。

クラス方程式を用いた最初の標準的な結果の1つは、非自明な有限p群の中心は自明な部分群にはなり得ないということである。 ^[1]

これはp群における多くの帰納的方法の基礎となります。

たとえば、有限p群Gの適切な部分群Hの正規化 N はH を適切に含みます。なぜなら、 H = Nとなる反例に対して、中心Z はNに含まれ、したがってHにも含まれるからです。しかし、 G / Zにおける正規化がN / Z = H / Zとなるより小さな例H / Zが存在するため、無限降下が生じます。結果として、すべての有限p群は冪零です。

別の見方をすれば、有限p群のすべての正規部分群 N は中心と非自明に交差します。これは、 G がNに共役作用を及ぼすときに固定されるNの元を考慮することで証明できます。すべての中心部分群は正規であるため、有限p群のすべての極小正規部分群は中心であり、位数pを持ちます。実際、有限p群の基底は、位数pの中心元からなる中心の部分群です。

G がp群であれば、 G / Z もp 群であり、したがって、これも非自明な中心を持ちます。G / Zの中心のGにおける逆像は第 2 中心と呼ばれ、これらの群は上中心級数を開始します。 地盤に関する以前のコメントを一般化すると、位数p ⁿの有限p群には、 0 ≤ i ≤ nの位数p ⁱの正規部分群が含まれ、位数p ⁱの任意の正規部分群は i番目の中心Z i_に含まれます。 正規部分群がZ _iに含まれない場合、 Z _{i +1}との交差のサイズは少なくともp ^{i +1}になります。

p群の自己同型群はよく研究されている。すべての有限p群が非自明な中心を持ち、内部自己同型群が群の適切な商となるのと同様に、すべての有限p群は非自明な外部自己同型群を持つ。 Gのすべての自己同型はG /Φ( G )上の自己同型を誘導する。ここで Φ( G ) はGのフラッティーニ部分群である。商 G/Φ( G ) は基本アーベル群であり、その自己同型群は一般線型群であるため、非常によく理解されている。 Gの自己同型群からこの一般線型群への写像はバーンサイドによって研究されており、彼はこの写像の核がp群であることを示した。

同じ位数のp群は必ずしも同型ではありません。たとえば、巡回群 C ₄とクラインの 4 元群 V ₄はどちらも位数 4 の 2 元群ですが、同型ではありません。

p群がアーベル群である必要もありません。位数 8 の二面体群Dih ₄は非アーベル群です。しかし、位数p ²のすべての群はアーベル群です。^{[注 1]}

二面体群は、四元数群や半二面体群と非常によく似ていると同時に非常に異なっています。二面体群、半二面体群、四元数群を合わせると、最大クラスの 2 群、つまり位数が 2 ^{n +1}で冪零クラスnの群が形成されます。

位数pの巡回群の反復花輪積は、 p群の非常に重要な例である。位数pの巡回群をW (1)と表記し、W ( n ) とW (1)の花輪積をW ( n  + 1) と表記する。すると、W ( n ) は対称群Sym( p ⁿ )のSylow p部分群となる。一般線型群 GL( n , Q ) の極大p部分群は、さまざまなW ( n )の直積である。この群は位数p ^{k を}持ち、 k = ( p n − 1)/( p − 1) である。この 群は^冪 零類 p n −1 を持ち、^その下中心系列、上中心系列、下指数p中心系列、上指数p中心系列は等しい。この群は位数pの元によって生成されるが、指数はp ⁿである。 2番目のそのような群W (2)も、位数p ^{p +1}と冪零類pを持つので極大類のp群であるが、正則p群ではない。位数p ^pの群は常に正則群であるため、これはそのような最小の例でもある。

p  = 2 かつn  = 2のとき、 W ( n ) は位数 8 の二面体群なので、ある意味ではW ( n ) はn = 2のすべての素数pに対する二面体群の類似物となります。 しかし、より大きなnでは類似物は無理があります。位数 2 ⁿの二面体群をよりよく模倣する別の例群がありますが、それには少し設定が必要です。 ζ を複素数の原始p乗根とし、 Z [ζ] をそれによって生成される円分整数の環とし、P を1−ζ によって生成される素イデアルとします。 G を元zによって生成される位数pの巡回群とします。 Z [ζ] とGの半直積E ( p )を形成します。ここで、z はζ の乗算として機能します。冪P ^{n は}E ( p )の正規部分群であり、例の群はE ( p , n ) =  E ( p )/ P ⁿです。E ( p , n ) は位数p ^{n +1}と冪零類nを持つため、最大類のp群です。p  = 2 のとき、E (2, n ) は位数 2 ⁿの二面体群です。pが奇数の場合、W (2) とE ( p , p ) は両方とも最大類で位数p ^{p +1}の不規則群ですが、同型ではありません。

一般線型群のシロー部分群は、もうひとつの基本的な例の族である。V を基底 { e ₁ , e ₂ , ..., e _n }を持つn次元のベクトル空間とし、 V _{i を}1 ≤ i ≤ nに対して { e _i , e _{i +1} , ..., e _n }によって生成されるベクトル空間と定義し、i > nのときはV _i = 0と定義する。 1 ≤ m ≤ n のそれぞれについて、各V _iからV _{i + m}に変換するVの可逆線型変換の集合は、Aut( V )の部分群U _{m を}形成する。V がZ / p Z上のベクトル空間である場合、U ₁はAut( V ) = GL( n , p ) のシローp部分群であり、その下中心級数の項はU _mである。行列に関して言えば、U _{m は}対角要素の 1 つに 1 があり、最初のm −1 個の超対角要素に 0 がある上三角行列です。群U _1は位数p ^{n ·( n −1)/2}、冪零類n、指数p ^{k を}持ちます。ここでk はnの底pの対数と同じかそれ以上の最小の整数です。

0 ≤ n ≤ 4 の場合の位数p ⁿの群は群論の歴史の初期に分類されており、^{[2]現代の研究では、位数が}p ⁷を割り切る群にまで分類が拡張されているが、そのような群の族の数が急速に増加しているため、この方向でのさらなる分類は人間の頭では理解しにくいと判断されている。 [3]たとえば、マーシャル・ホール・ジュニアとジェームズ・K・シニアは 1964 年に位数 2 ⁿの群をn ≤ 6の場合に分類した。 ^{[4 ]}

フィリップ・ホールは、グループを順序で分類するのではなく、有限のpグループを大きな商と部分群に基づいてファミリーにまとめるグループの等傾斜の概念を使用することを提案しました。 ^[5]

全く異なる方法では、有限p群をそのコクラス、つまりその合成長と冪零類の差によって分類する。いわゆるコクラス予想は、固定されたコクラスのすべての有限p群の集合を、有限個のpro-p 群の摂動として記述した。コクラス予想は、1980 年代にリー代数と強力な p 群に関連する手法を使用して証明された。^[6]コクラス定理の最終的な証明は、A. Shalev とそれとは独立に CR Leedham-Green によるもので、どちらも 1994 年である。それらは、有限個のコクラス木のみで構成される有向コクラスグラフ内の有限p群の分類を認め、その (無限個の) メンバーは有限個のパラメーター化された表現によって特徴付けられる。

p ^5の位数のすべての群はメタベル的である。^[7]

自明群は位数 1 の唯一の群であり、巡回群 C _{p は}位数pの唯一の群です。位数p ²の群は、どちらもアーベル群である C _{p ²}と C _p  × C _pの2 つだけあります。たとえば、巡回群 C ₄と、 C ₂  × C ₂であるクラインの 4 元群 V _{4 は}、どちらも位数 4 の 2 元群です。

p ³の位数のアーベル群は 3 つあります。 C _{p ³}、 C _{p ²}  × C _p、 C _p  × C _p  × C _pです。 また、非アーベル群も 2 つあります。

p ≠ 2の場合、1 つは C _p  × C _pと C _p の半直積であり、もう 1 つは C _{p ²}と C _pの半直積です。最初のものは、 p個の要素を持つ有限体上の単位三角行列のグループ UT(3, p )として別の言葉で記述でき、 pを法とするハイゼンベルク群とも呼ばれます。

p = 2の場合 、上記の半直積は両方とも、位数 8 の二面体群Dih ₄と同型です。位数 8 のもう 1 つの非可換群は、四元数群Q ₈です。

位数p ⁿの群の同型類の数はとともに増加し、これらは 2 段階冪零である類によって支配されます。^[8]この急速な増加のため、ほとんどすべての有限群は2 群であると主張する民間伝承の予想があります。つまり、位数 n以下の群の同型類の中での 2 群の同型類の割合は、 nが無限大に近づくにつれて 1 に近づくと考えられています。たとえば、位数 2000 以下の 49,910,529,484 個の異なる群のうち、49,487,367,289個、つまり 99% 強が位数 1024 の 2 群です。[ ^9]${\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}}$

位数がpで割り切れるすべての有限群には、非自明なp群である部分群、つまりコーシーの定理から得られる位数pの元によって生成される位数pの巡回群が含まれる。実際、これには最大可能位数のp群が含まれる。つまり、 p がm を割り切れない場合、G には位数Pの部分群があり、これをシローp部分群と呼ぶ。この部分群は一意である必要はないが、この位数の部分群はいずれも共役であり、Gのいずれのp部分群もシローp部分群に含まれる。この特性およびその他の特性は、シローの定理で証明されている。 ${\displaystyle |G|=n=p^{k}m}$${\displaystyle p^{k},}$

p群は、群の構造を理解し、有限単純群を分類するための基本的なツールです。p群は、部分群としても商群としても生じます。部分群としては、与えられた素数pに対して、シローp部分群P (最大のp部分群で、一意ではないがすべて共役) やp核(最大の 正規p部分群で一意) など、さまざまな群があります。商としては、最大のp群商は、Gをp残余部分群で割った商です。これらの群は関連しており (異なる素数に対して)、焦点部分群定理などの重要な特性を持ち、群の構造の多くの側面を決定することができます。 ${\displaystyle O_{p}(G)}$ ${\displaystyle O^{p}(G).}$

有限群の構造の多くは、いわゆる局所部分群、つまり非恒等p部分群の正規化群の構造によって担われます。^[10]

有限群の大きな基本アーベル部分群は、フェイト・トムソン定理の証明に使用された群を制御します。基本アーベル群の特定の中心拡大は特殊群と呼ばれ、シンプレクティックベクトル空間に作用する群の構造を記述するのに役立ちます。

リチャード・ブラウアーは、シロー 2 部分群が位数 4 の巡回群 2 つの直積であるすべての群を分類し、ジョン・ウォルター、ダニエル・ゴレンシュタイン、ヘルムート・ベンダー、鈴木道雄、ジョージ・グラウバーマンらは、シロー 2 部分群がアーベル群、二面体群、半二面体群、または四元数である単純群を分類しました。

• 初等グループ
• 試験ランク
• 正則p群

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.「p-グループ」。MathWorld。