閉鎖型マニホールド

数学において、閉多様体とは境界を持たないコンパクトな多様体の ことである。これに対し、開多様体とは境界を持たないが、非コンパクトな成分のみを持つ多様体のことである。

連結した一次元の例は円だけです。球、トーラス、クラインの壺はすべて閉じた二次元多様体です。実射影空間RP ⁿは閉じたn次元多様体です。複素射影空間CP ⁿは閉じた 2 n次元多様体です。^{[ 1 ]} 直線はコンパクトではないので閉じていません。閉じた円盤はコンパクトな二次元多様体ですが、境界があるので閉じていません。

すべての閉多様体はユークリッド近傍レトラクトであり、したがって有限生成ホモロジー群を持つ。^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle M}$は閉じた連結な n 次元多様体であり、n 番目のホモロジー群である。${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$は${\displaystyle \mathbb {Z} }$または0（状況による）${\displaystyle M}$向き付け可能か否か。^{[ 3 ]}さらに、(n-1)番目のホモロジー群のねじれ部分群は${\displaystyle H_{n-1}(M;\mathbb {Z} )}$0 または${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$状況によりますが${\displaystyle M}$向き付け可能か否か。これは普遍係数定理の適用から導かれる。^{[ 4 ]}

させて${\displaystyle R}$可換環である。${\displaystyle R}$-方向付け可能${\displaystyle M}$基礎クラス付き${\displaystyle [M]\in H_{n}(M;R)}$地図${\displaystyle D:H^{k}(M;R)\to H_{nk}(M;R)}$定義される${\displaystyle D(\alpha )=[M]\cap \alpha }$はすべての k に対して同型写像である。これは ポアンカレ双対性である。^{[ 5 ]}特に、すべての閉多様体は${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$方向付け可能。したがって、常に同型が存在する。 ${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\cong H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})}$。

連結多様体の場合、「開」は「境界がなく、かつ非コンパクト」と同義ですが、非連結多様体の場合、「開」はより強い意味を持ちます。例えば、円と直線の非交和は、直線が非コンパクトであるため非コンパクトですが、円（その構成要素の一つ）はコンパクトであるため、これは開多様体ではありません。

一般的に、多くの書籍では多様体を、局所的にユークリッド空間と同相な空間（その他いくつかの技術的な条件も含む）と定義しています。したがって、この定義によれば、多様体がより大きな空間に埋め込まれている場合、その境界は含まれません。しかし、この定義では閉円盤などの基本的な対象は網羅されないため、著者は境界を持つ多様体を定義し、境界を参照しない多様体と誤って表現することがあります。しかし通常、多様体の通常の定義を用いる場合、コンパクト多様体（その基礎となる位相に関してコンパクト）は閉多様体と同義語として使用できます。

閉多様体の概念は、閉集合の概念とは無関係である。直線は平面の閉部分集合であり、多様体ではあるが、閉多様体ではない。

「閉じた宇宙」という概念は、宇宙が閉じた多様体であることを指す場合もあるが、より可能性が高いのは、宇宙が一定の正のリッチ曲率を持つ多様体であることを指す。

• 多様なものを飼いならす

• マイケル・スピヴァク著：微分幾何学入門第1巻 第3版（修正版）。Publish or Perish、ヒューストン、テキサス州、2005年、ISBN 0-914098-70-5。
• アレン・ハッチャー著、『代数トポロジー』、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2002年。