強力なpグループ

数学では、群論の分野、特にp群とpro- p群の研究では、強力なp群の概念が重要な役割を果たしています。これらは (Lubotzky & Mann 1987) で導入され、そこでは、シューア乗数に関する結果を含む多くの応用が示されています。強力なp群は、 p群の自己同型(Khukhro 1998)、制限付きバーンサイド問題の解決(Vaughan-Lee 1993)、コクラス予想による有限p群の分類(Leedham-Green & McKay 2002)の研究に使用され、解析的 pro- p群を理解するための優れた方法を提供しました(Dixon et al. 1991)。

有限p群は、交換子部分群が奇数 の部分群に含まれる場合、またはが の部分群に含まれる場合に強力であると呼ばれます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle }$${\displaystyle p}$${\displaystyle [G,G]}$${\displaystyle G^{4}}$${\displaystyle p=2}$

強力なp群はアーベル群に類似した多くの特性を持つため、p群を研究するための優れた基礎となります。すべての有限p群は、強力なp群のセクションとして表現できます。

強力なp群は、 p進解析群 ( p進数上の多様体である群)を特徴付けるための簡単な手段を提供するため、pro- p群の研究にも役立ちます。有限生成 prop- p群がp進解析的であるためには、強力な開正規部分群が必要です。これは、 Michel Lazard (1965) の深い結果の特殊なケースです。

アーベルp群に似た特性には次のものがあります:が強力なp群である場合、次のようになります: ${\displaystyle G}$

• のフラッティーニ部分群 は次のような性質を持つ。${\displaystyle \Phi (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \ファイ (G)=G^{p}.}$
• ${\displaystyle G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}}$すべてについて つまり、番目の累乗によって生成される群は、まさに番目の累乗の集合です。${\displaystyle k\geq 1.}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$
• 全ての​${\displaystyle G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle }$${\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle }$${\displaystyle k\geq 1.}$
• の下中央級数の 番目の項目は、すべての${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \gamma _{k}(G)\leq G^{p^{k-1}}}$${\displaystyle k\geq 1.}$
• 強力なp群のすべての商群は強力です。
• のPrüferランクは、の生成元の最小数に等しい。${\displaystyle G}$${\displaystyle G.}$

あまりアーベル的ではない性質としては、 が強力なp群である場合に次のようになります。 ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G^{p^{k}}}$強力です。
• のサブグループは必ずしも強力ではありません。${\displaystyle G}$

• ラザール、ミシェル (1965)、Groupes Analytiques p-adiques、Publ.数学。 IHÉS 26 (1965)、389–603。
• ディクソン、JD;デュ・ソートイ、MPF ; マン、A.; シーガル、D. (1991)、解析的プロ-p群、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39580-1、MR  1152800
• Khukhro, EI (1998)、有限 p 群の p 自己同型、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511526008、ISBN 0-521-59717-X、MR  1615819
• Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002)、「素数べき順序の群の構造」、ロンドン数学会モノグラフ。新シリーズ、第27巻、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853548-5、MR  1918951
• ルボツキー、アレクサンダー; マン、アビノアム (1987)、「強力な p 群。I. 有限群」、J. Algebra、105 (2): 484–505、doi :10.1016/0021-8693(87)90211-0、MR  0873681
• ヴォーン・リー、マイケル（1993）、制限付きバーンサイド問題（第2版）、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853786-7、MR  1364414