交代グループ

数学において、交代群は有限集合の偶順列の群である。n個の要素からなる集合上の交代群は、 n次交代群、またはn文字の交代群と呼ばれ、A _nまたはAlt( n ) と表記される。

n > 1の場合、群 A _{n は}指数2の対称群S _nの交換子部分群であり、したがってn ! /2 個の要素を持ちます。これは、対称群で説明されるシグネチャ群準同型sgn : S _n → {1, −1}の核です。

群 A _nがアーベル群 となるのは n ≤ 3の場合であり、単純群となるのはn = 3またはn ≥ 5 の場合である。A ₅は最小の非アーベル単純群で位数は 60であり、したがって最小の解けない群である。

群 A ₄は、クラインの 4 元群V を適切な正規部分群として、すなわち恒等写像と二重転置{ (), (12)(34), (13)(24), (14)(23) } を持ち、これが A _4のA ₃ ≅ Z ₃への射影の核となる。正確なシーケンスV → A ₄ → A ₃ = Z ₃が得られる。ガロア理論では、この写像、またはむしろ対応する写像S ₄ → S ₃は、ラグランジュの分解3 次を 4 次に対応させ、これにより、ロドヴィコ・フェラーリによって確立されたように、 4 次多項式を根号で解くことができる。

対称群と同様に、A _nの元と共役なA _nの任意の 2 つの元は、同じサイクル形状を持つ必要があります。ただし、逆は必ずしも真ではありません。サイクル形状が奇数の長さのサイクルのみで構成され、同じ長さのサイクルが 2 つ存在しない場合 (サイクルの種類に長さ 1 のサイクルが含まれる場合)、このサイクル形状には正確に 2 つの共役クラスがあります (Scott 1987、§11.1、p299)。

例:

• 2つの順列(123)と(132)は、同じ閉路形状を持ちますが、 A ₃では共役ではないため、S ₃では共役です。
• 順列(123)(45678)は、A ₈ではその逆順列(132)(48765)と共役ではないが、2つの順列は同じ閉路形状を持つため、S ₈では共役である。

対称群を参照してください。

有限対称群は有限元を持つ集合のすべての順列の群であり、交代群は偶数順列の群であるため、交代群は有限対称群の部分群です。

n ≥ 3 の場合、 A _{n は}3 サイクルによって生成されます。これは、転置のペアを組み合わせることで 3 サイクルが得られるためです。この生成セットは、n ≥ 5 の場合に A _nが単純であることを証明するためによく使用されます。

n > 3 （ n = 6を除く）の場合、 A _nの自己同型群は対称群 S _{n で}あり、内部自己同型群A _nと外部自己同型群Z ₂を持ちます。外部自己同型は奇順列による共役から生じます。

n = 1および 2の場合、自己同型群は自明です。n = 3 の場合、自己同型群は Z ₂であり、内部自己同型群と外部自己同型群 Z ₂は自明です。

_{A 6}の外部自己同型群はクラインの4元群 V = Z ₂ × Z ₂であり、 S ₆の外部自己同型と関連している。 A ₆の追加の外部自己同型は、 3サイクル（（123）など）を形状3 ²の要素（  （123）（456）など）と交換する。

いくつかの小交代群とリー型の小群、特に射影特殊線型群の間には例外的な同型関係がいくつかあります。これらは次のとおりです。

• A4_はPSL2 (3) ^[1]とカイラル四面体対称性の対称群に同型である。
• A _{5 はPSL 2} (4)、PSL _{2 (5)、およびカイラル}二十面体対称性の対称群と同型である。( 60次の単純群の分類を用いたPSL ₂ (F ₅ ) → A ₅ の間接同型については^[1]を参照、直接証明についてはここを参照)。
• A _{6はPSL 2}（9）およびPSp ₄ （2）'と同型である。
• A _{8はPSL 4} （2）と同型である。

もっと明白なことに、 A _{3 は}巡回群Z ₃と同型であり、 A ₀、 A ₁、および A _2は自明群（任意のq に対してSL ₁ ( q ) = PSL ₁ ( q )でもある）と同型である。

A _{5 は}3次元空間における正十二面体の等長写像群なので、A ₅ → SO ₃ ( R )という表現が存在します。

この図では、多面体の頂点はグループの要素を表し、球の中心は単位元を表します。各頂点は、中心からその頂点を指す軸の周りの回転を表します。回転角度は、ラジアンで原点からの距離に等しくなります。同じ多面体の頂点は同じ共役類にあります。A 5 の共役類の式は₁ + 12 + 12 + 15 + 20 = 60なので、4 つの異なる (非自明な) 多面体が得られます。

各多面体の頂点は、その共役類の要素と全単射に対応しています。ただし、(2,2) サイクルの共役類は例外で、これは外面の二十面体で表され、その対蹠頂点は互いに同一視されます。この冗長性の理由は、対応する回転がπラジアンであり、2 つの方向のいずれかで長さπのベクトルで表すことができるためです。したがって、(2,2) サイクルのクラスには 15 個の要素が含まれ、二十面体には 30 個の頂点があります。

_{A 5}の 12 個の 5 次元閉路の 2 つの共役類は、それぞれ半径 2 π /5 と 4 π /5の 2 つの 20 面体で表されます。Out (A ₅ ) ≃ Z ₂の非自明な外部自己同型は、これら 2 つの類と対応する 20 面体を交換します。

スライディングパズルの有名な例である15パズルは、交代群A ₁₅ ^[2]で表すことができることが証明されています。これは、15パズルの組み合わせが3サイクルで生成できるためです。実際、同じ大きさの正方形のタイルを持つ任意の2 k − 1スライディングパズルは、 A _{2 k −1}で表すことができます。

A _4は、ラグランジュの定理の逆が一般には成り立たないことを示す最小の群です。有限群Gと| G | の約数dが与えられた場合、位数dのGのサブグループが必ずしも存在するわけではありません。位数 12 の群G = A ₄には位数 6 のサブグループはありません。任意の異なる非自明な元を持つ 3 つの元 (3 つのオブジェクトの巡回回転によって生成される) のサブグループは、グループ全体を生成します。

すべてのn > 4に対して、 A _{n に}は非自明な（つまり適切な）正規部分群はありません。したがって、すべてのn > 4に対して、 A _{n は}単純群です。 A _{5 は}最小の解けない群です。

交代群の群ホモロジーは、安定ホモトピー理論と同様に安定化を示します。つまり、十分に大きいnに対しては定数になります。ただし、低次元の例外ホモロジーがいくつかあります。対称群のホモロジーは同様の安定化を示しますが、低次元の例外 (追加のホモロジー要素) がないことに注意してください。

最初のホモロジー群はアーベル化と一致し、(引用した例外を除いて A _nは完全なので) 次のようになります。

H ₁ (A _n , Z) = Z _{1 （} n = 0, 1, 2の場合）

H ₁ (A ₃ , Z) = A^腹筋
₃= A ₃ = Z ₃ ;

H ₁ (A ₄ , Z) = A^腹筋
₄= Z ₃ ;

n ≥ 5の場合、H ₁ (A _n , Z) = Z _1となる。

これは次のように簡単に直接確認できます。 A _nは 3 サイクルによって生成されるため、非自明なアーベル化写像はA _n → Z ₃のみです。これは、位数 3 の要素は位数 3 の要素に写像される必要があるためです。また、n ≥ 5の場合、すべての 3 サイクルは共役であるため、アーベル化で同じ要素に写像される必要があります。これは、共役がアーベル群で自明であるためです。したがって、(123) のような 3 サイクルは、その逆 (321) と同じ要素に写像される必要がありますが、したがって恒等写像に写像される必要があります。これは、その場合、位数が 2 と 3 を割り切る必要があるため、アーベル化が自明であるためです。

n < 3の場合、 A _{n は}自明であり、したがって自明なアーベル化を持ちます。 A ₃と A ₄の場合、アーベル化を直接計算できます。3 サイクルが 2 つの共役類 (すべてが共役であるのではなく) を形成し、自明でないマップA ₃ ↠ Z ₃ (実際には同型) とA ₄ ↠ Z ₃が存在することに注意してください。

交代群 A _nのシュアー乗数は( nが 5 以上の場合) 2 次巡回群であるが、nが 6 または 7 の場合は三重被覆もあるため、例外となる。この場合、シュアー乗数は (巡回群) 6 次となる。^[3]これらは (Schur 1911) で初めて計算された。

H ₂ (A _n , Z) = Z _{1 （} n = 1, 2, 3の場合）

n = 4, 5の場合、H ₂ (A _n , Z) = Z _{2である。}

H ₂ (A _n , Z) = Z _{6 （} n = 6, 7の場合）

n ≥ 8の場合、H ₂ (A _n , Z) = Z _2となる。

• Weisstein、Eric W.「交代群」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「交代群グラフ」。MathWorld。