単語メトリック

群論において、離散群上の単語距離は、 の任意の 2 つの要素間の距離を測定する方法です。名前が示すように、単語距離は上の距離であり、任意の 2 つの要素に、それらの差を、その群の生成集合から得られる文字を持つ単語としてどれだけ効率的に表現できるかを測定する距離を割り当てます。 G上の単語距離は、 Gのケーリー グラフと非常に密接に関連しています。単語距離は、 Gの 2 つの要素間のケーリー グラフにおける最短経路の長さを測定します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d(g,h)}$${\displaystyle g^{-1}h}$

の語距離を指定する前に、まず の生成セットを選択する必要があります。生成セットの選択が異なると、通常、異なる語距離が生成されます。これは、語距離の概念の弱点のように思えますが、幾何学的群論で行われるように、群の幾何学的特性に関する定理を証明するために利用できます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

整数 のグループは、集合 {-1,+1} によって生成されます。整数 -3 は、これらのジェネレーターでは長さ 5 のワードである -1-1-1+1-1 として表現できます。ただし、-3 を最も効率的に表現するワードは長さ 3 のワードである -1-1-1 です。したがって、ワード メトリックにおける 0 と -3 の間の距離は 3 に等しくなります。より一般的には、ワード メトリックにおける 2 つの整数mとnの間の距離は | m - n | に等しくなります。これは、差m - nを表す最短のワードの長さが | m - n |に等しいためです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

より分かりやすい例として、群の要素は、整数係数を持つ直交平面のベクトルと考えることができます。群は、標準の単位ベクトル、とその逆ベクトル、 によって生成されます。のケーリーグラフは、いわゆるタクシー幾何学です。これは、平面上では市街地の道路の無限の正方形グリッドとして描くことができ、整数座標を持つ各水平線と垂直線は道路であり、 の各点は水平道路と垂直道路の交差点にあります。2 つの頂点間の各水平線分は、線分が順方向と逆方向のどちらに移動するかによって、生成ベクトルまたはを表し、各垂直線分はまたは を表します。 から出発して までの道路に沿って移動する車は、さまざまなルートで移動できます。ただし、どのルートを取ったとしても、車は少なくとも |1 - (-2)| = 3 水平ブロックと少なくとも |2 - 4| を移動する必要があります。 = 2 つの垂直ブロック、合計移動距離は少なくとも 3 + 2 = 5 になります。車が迂回すると移動距離は長くなる可能性がありますが、車が移動する最小距離は、と間の単語メトリックの値に等しいため、5 に等しくなります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle e_{1}=\langle 1,0\rangle }$${\displaystyle e_{2}=\langle 0,1\rangle }$${\displaystyle -e_{1}=\langle -1,0\rangle }$${\displaystyle -e_{2}=\langle 0,-1\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle -e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle -e_{2}}$${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$${\displaystyle \langle -2,4\rangle }$${\displaystyle \langle 1,2\rangle }$${\displaystyle \langle -2,4\rangle }$

一般に、の2 つの要素とが与えられた場合、語メトリックにおけるとの間の距離は に等しくなります。 ${\displaystyle v=\langle i,j\rangle }$${\displaystyle w=\langle k,l\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle |ik|+|jl|}$

Gを群、S をGの生成集合とし、S はGの逆演算に関して閉じているとする。集合S上の単語は、 Sの要素をエントリとする有限列にすぎない。整数L は単語の長さと呼ばれる。 Gの群演算を使用すると、単語のエントリを順番に掛け合わせることができる。このとき、エントリはGの要素である。この掛け合わせの結果は群Gの要素であり、単語wの評価と呼ばれる。特別な場合として、空の単語の長さは 0 であり、その評価はGの単位元である。 ${\displaystyle w=s_{1}\ldots s_{L}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{L}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w=s_{1}\ldots s_{L}}$${\displaystyle {\bar {w}}}$${\displaystyle w=\emptyset }$

Gの元g が与えられたとき、生成集合Sに関するその単語ノルム| g | は、評価がgに等しいS上の単語の最短の長さとして定義されます。 Gの2 つの元g、h が与えられたとき、 Sに関する単語メトリックの距離 d(g,h)は と定義されます。同様に、 d( g、h ) はとなるS上の単語wの最短の長さです。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle {\bar {w}}}$${\displaystyle |g^{-1}h|}$${\displaystyle g{\bar {w}}=h}$

G上の語距離は距離の公理を満たしており、これを証明するのは難しくありません。距離の対称公理 d( g , h ) = d( h , g ) の証明では、生成集合Sが逆集合に関して閉じているという仮定を使用します。

メトリックという言葉は、生成集合Sに関してGのケイリーグラフを使用して、より幾何学的な用語で定式化された同等の定義を持っています。ケイリーグラフの各辺に長さ 1 のメトリックが割り当てられている場合、 Gの2 つのグループ要素g、h間の距離は、ケイリーグラフの頂点gから頂点hまでのパスの最短長さに等しくなります。

G上の語距離は、生成集合Sが逆元に関して閉じていると仮定しなくても定義できます。これを行うには、まずS を対称化し、それをS内の各とその逆元からなるより大きな生成集合に置き換えます。次に、 Sに関する語距離を、Sの対称化に関する語距離として定義します。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{-1}}$

F が2 つの要素の集合 上の自由群であると仮定します。対称生成集合内の単語w は、 w内で文字が隣接しておらず、文字 も隣接していない場合、簡約されていると言われます。すべての要素は一意の簡約単語で表され、この簡約単語はg を表す最短の単語です。たとえば、単語 は簡約されており長さが 2 であるため、 の単語ノルムは2 に等しく、したがって単語ノルムにおけるとの間の距離は2 に等しくなります。これは、 bとa の間の最短経路の長さが 2 であるケイリー グラフで視覚化できます。 ${\displaystyle \{a,b\}}$${\displaystyle \{a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$${\displaystyle a,a^{-1}}$${\displaystyle b,b^{-1}}$${\displaystyle g\in F}$${\displaystyle w=b^{-1}a}$${\displaystyle w}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

群G は左乗法によって自身に 作用します。つまり、各 の作用により、各 はになります。この作用は、距離という語の等長変換です。証明は簡単です。との間の距離はに等しく、これはとの間の距離に等しくなります。 ${\displaystyle k\in G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle kg}$${\displaystyle kg}$${\displaystyle kh}$${\displaystyle |(kg)^{-1}(kh)|=|g^{-1}h|}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

一般に、グループG上の単語距離は一意ではない。異なる対称生成集合は異なる単語距離を与えるからである。しかし、有限生成単語距離はビリプシッツ同値性を除いて一意である。つまり、 、がGの 2 つの対称有限生成集合で、対応する単語距離が、である場合、任意の に対して となる定数が存在する。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle d_{S}}$${\displaystyle d_{T}}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle g,h\in G}$

${\displaystyle {\frac {1}{K}}\,d_{T}(g,h)\leq d_{S}(g,h)\leq K\,d_{T}(g,h)}$。

この定数K は、 の元の単語ノルムとの元の単語ノルムの最大値です。 この証明も簡単です。 S上の任意の単語は、置換によってT上の単語に変換でき、単語の長さは最大K倍に拡張されます。 T上の単語をS上の単語に変換する場合も同様です。 ${\displaystyle d_{S}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle d_{T}}$${\displaystyle S}$

単語メトリックのビリプシッツ同値は、有限生成群の成長率が、有限生成集合の選択とは無関係に、群の明確に定義された同型不変量であることを意味します。これは、多項式成長、多項式成長の次数、指数成長などのさまざまな成長特性が、群の同型不変量であることを意味します。このトピックについては、群の 成長率に関する記事でさらに詳しく説明します。

幾何群論では、群は距離空間への作用によって研究される。語距離の双リプシッツ不変性を一般化する原理によれば、G上の任意の有限生成語距離は、G が適切に不連続かつココンパクトに作用する任意の適切な測地距離空間に準等長である。 Gがこのように作用する距離空間は、Gのモデル空間と呼ばれる。

これによって、Gの語距離またはGの任意のモデル空間が満たす任意の準等長不変特性は、 Gの同型不変量であることが分かります。現代の幾何学的群論は、主に準等長不変量の研究です。

• 長さ関数
• コクセター群の最長要素

• JW キャノン『幾何学的群論』、幾何学的位相学ハンドブック261～305 ページ、北ホラント、アムステルダム、2002 年、ISBN  0-444-82432-4