ブレイドグループ

数学において、n本のストランド上の組紐群（ と表記）は、アルティン組紐群^[1]とも呼ばれ、その元がn組紐の同値類（例えば、周囲同位体のもとで）であり、その群演算が組紐の合成である群である（§ はじめに を参照）。組紐群の応用例としては、結び目理論（任意の結び目は特定の組紐の閉包として表すことができる）（アレクサンダーの定理として知られる結果）や、アルティンの組紐群の標準的な表現がヤン・バクスター方程式に対応する数理物理学（§ 基本的性質 を参照）や、代数幾何学のモノドロミー不変量などがある。^[2]${\displaystyle B_{n}}$

この導入では、n = 4とします。他のnの値への一般化は簡単です。テーブルの上に 4 つのアイテムのセットが 2 つあり、各セットのアイテムが垂直線上に並べられ、1 つのセットが他のセットの隣にあるとします (以下の図では、これらは黒い点です)。4 つのストランドを使用して、最初のセットの各アイテムが 2 番目のセットのアイテムと接続され、1 対 1 の対応が生じます。このような接続は、組紐と呼ばれます。多くの場合、一部のストランドは他のストランドの上または下を通過する必要があり、これは重要です。次の 2 つの接続は、異なる組紐です。

一方、「ストランドを引っ張る」ことによって同じに見えるようにできる 2 つの接続は、同じ編組とみなされます。

すべてのストランドは左から右に動く必要があります。次のような結び目は編み込みとはみなされません。

任意の 2 つの編み紐は、最初の編み紐を 2 番目の編み紐の隣に描き、中央の 4 つのアイテムを特定し、対応するストランドを接続することで 構成できます。

別の例:

組紐σとτの組成はστと書きます。

4 本のストランド上のすべての組紐の集合は で表されます。上記の組紐の構成は、まさに群演算です。単位元は 4 本の平行な水平ストランドからなる組紐であり、組紐の逆は、最初の組紐が行ったことを「元に戻す」組紐で構成されます。これは、上記のような図を、その中心を通る垂直線を挟んで反転することで得られます。(上記の最初の 2 つの組紐の例は、互いに逆になっています。) ${\displaystyle B_{4}}$

編組理論は最近、流体力学、特に流体の流れにおけるカオス的混合の分野に応用されている。物理的な棒、周期軌道または「ゴースト棒」、およびほぼ不変集合の運動によって形成される（2 + 1）次元の時空軌道の編組は、ニールセン・サーストン分類を使用して、いくつかの人工流体システムと自然に発生する流体システムの位相エントロピーを推定するために使用されている。^{[3] [4] [5]}

量子物理学の文脈における編組群と関連する位相概念を含むもう一つの熱心な研究分野は、提案された粒子エニオンの理論と（推測される）実験的実装である。これらは最終的にエラー訂正量子コンピューティングの基礎を形成する可能性があり、そのためその抽象的な研究は現在量子情報において根本的に重要である。

編組群に関する上記の非公式な議論を確固たる基盤の上に置こうとするには、代数的位相幾何学のホモトピー概念を使用して、編組群を配置空間の基本群として定義する必要があります。あるいは、図を直感を導くためだけに念頭に置いて、編組関係を介して純粋に代数的に編組群を定義することもできます。

アルティンの意味での組紐群を基本群に縮小する方法を説明するために、次元が少なくとも 2 の連結多様体 について考えます。 のコピーの対称積は、の商、つまり、座標のインデックスに作用するストランド上の対称群の置換作用によるの- 倍直積を意味します。つまり、順序付けられた-組は、それを並べ替えた他の組と 同じ軌道にあります。${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

折り畳み対称積のパスは、 の点を、順序付けられていない 組として考え、独立に文字列をたどりながら議論する抽象的な方法です。文字列が互いを通過しないことを要求しなければならないため、異なる点の 組の軌道の対称積の部分空間を通過する必要があります。つまり、すべての に対して条件によって定義されるの部分空間をすべて削除します。これは対称群の下で不変であり、非排他的 組の対称群による商です。次元条件の下では、連結されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y}$

この定義により、弦を持つの組紐群を の${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$基本群と呼ぶことができます(基点の任意の選択に対して – これは同型性まで明確に定義されています)。 がユークリッド平面である場合は、アルティンの元のものです。場合によっては、の高次のホモトピー群が自明であることが示されます。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

X が平面のとき、編組は閉じることができます。つまり、対応する端をペアで接続してリンクを形成できます。つまり、3 次元で結び目がある可能性のあるループが絡み合った結合です。リンクのコンポーネントの数は、リンクによって決定されるストランドの順列に応じて、1 からnまでのいずれかになります。JW Alexanderの定理は、すべてのリンクが編組の「閉じ方」としてこのようにして得られることを示しています。ストリング リンクと比較してください。

異なる組紐から同じリンクが生まれることがあるように、異なる交差図からも同じ結び目が生まれることがある。1935年、アンドレイ・マルコフ・ジュニアは、対応する閉じた組紐で同等の結果をもたらす組紐図上の2つの動きを説明した。^[6]マルコフの定理の1つの動きのバージョンは、1997年にによって発表された。 ^[7]

ヴォーン・ジョーンズは、当初多項式を編組不変量として定義し、それが閉じた編組の類にのみ依存することを示しました。

マルコフ定理は、 2つの組紐の閉包が同等のリンクとなるための必要十分条件を与える。^[8]

「編み指数」とは、リンクの閉じた編み込み表現を作成するために必要な最小の弦の数です。これは、結び目の投影におけるザイフェルト円の最小数に等しいです。 ^[9]

編組群は1925年にエミール・アルティンによって明示的に導入されましたが、（ヴィルヘルム・マグヌスが1974年に指摘したように^[10]） 1891年のアドルフ・フルヴィッツのモノドロミーに関する研究ではすでに暗黙のうちに存在していました。

編組群は、 1947年にエミール・アルティンによって示されたように、明示的な表現によって記述されることがある。^[11]編組群は、より深い数学的解釈によっても理解される。つまり、特定の配置空間の基本群としてである。^[11]

マグナスが言うように、ハーヴィッツは編組群を配置空間の基本群として解釈した（編組理論を参照）。この解釈は1962年にラルフ・フォックスとリー・ニューワースによって再発見されるまで忘れ去られていた。 ^[12]

次の 3 つの組紐を考えてみましょう。

の各組紐は、これらの組紐とその逆の組紐の合成として記述できます。言い換えると、これら 3 つの組紐はグループ を生成します。これを確認するには、任意の組紐を左から右にスキャンして交差を探します。上から始めて、ストランド と の交差に遭遇するたびに を、またはストランドがストランド の下または上にあるかどうかに応じて を書き留めます。右端に達すると、組紐は とその逆の積として記述されます。 ${\displaystyle B_{4}}$${\displaystyle B_{4}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle \sigma_{i}}$${\displaystyle \sigma_{i}^{-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle \sigma}$

明らかである

（私）、${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}}$

一方、次の 2 つの関係はそれほど明白ではありません。

(iia) 、${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}}$

（iib）${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

(これらの関係は、紙に組紐を描くことで最もよく理解できます)。組紐間の他のすべての関係、、は、これらの関係と群の公理からすでに導かれることが示されます。 ${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$${\displaystyle \sigma _{3}}$

この例をストランドに一般化すると、次の表現によってグループを抽象的に定義できます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,}$

ここで、関係式の最初のグループでは、関係式の最初のグループでは です。^{[13] [14]この説明は、}アルティン群と呼ばれる編組群の一般化につながります。編組関係として知られる3次関係は、ヤン・バクスター方程式の理論で重要な役割を果たします。 ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2}$${\displaystyle |ij|\geq 2}$

• 組紐群は自明であり、無限巡回群であり、三つ葉結び目の結び目群と同型です。特に、無限非可換群です。${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle B_{3}}$
• nストランド編組群は、最初のnストランドのいずれとも交差しない追加のストランドを追加することにより、ストランド編組群にサブグループとして埋め込まれます。すべての編組群の増加和集合は、無限編組群です。${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle B_{n+1}}$${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle B_{\infty}}$
• のすべての非単位元は無限位数を持ちます。つまり、はねじれがありません。${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$
• 上にはデホルノイ順序と呼ばれる左不変の線形順序があります。${\displaystyle B_{n}}$
• の場合、 2 つの生成元上の自由群と同型な部分群が含まれます。${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle B_{n}}$
• σ _i ↦ 1によって定義される準同型 があります。したがって、たとえば、組紐σ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃は、 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3に写像されます。この写像は、組紐群のアーベル化に対応します。 σ _i ^k ↦ kであるため、 の 場合にのみ、 σ _i ^{k が}恒等写像となります 。これは、生成子が無限の順序を持​​つことを証明しています。${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle k=0}$

ストランドがどのようにねじれて交差するかを忘れると、n本のストランド上のすべての組紐はn個の要素の順列を決定します。この割り当ては合成と全射であり互換性があるため、組紐群から対称群への射影群準同型B n → S n になります。_組紐σ i _{∈ B} nの_像は転置s _i = ( i , i +1) ∈ S _nです。これらの転置は対称群を生成し、組紐群の関係を満たし、位数は 2 です。これにより、組紐群の Artin 表示が対称群のCoxeter 表示に変換されます。

${\displaystyle S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ }}|ij|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .}$

準同型B _n → S _nの核は、 B _nのn本のストランド上の純粋組群と呼ばれる部分群であり、P _nと表記される。これは、ユークリッド平面の異なる点のn組の空間の基本群と見ることができる。純粋組群では、各ストランドの始まりと終わりは同じ位置にある。純粋組群は、短い正確なシーケンスに適合する。

${\displaystyle 1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.}$

このシーケンスは分割されるため、純粋な編組群は自由群の 反復半直積として実現されます。

編組群はモジュラー群の普遍中心拡張であり、これらは（位相的）普遍被覆群の内部に格子として位置する。 ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$。

さらに、モジュラー群は中心が自明であるため、モジュラー群はその中心 を法とするの商群と同型であり、同様にの内部自己同型群とも同型です。 ${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle Z(B_{3}),}$${\displaystyle B_{3}}$

この同型性の構築は次のようになる。定義する。

${\displaystyle a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}}$。

組紐関係から、 が成り立つ。この後者の積を と表すと、組紐関係から次のことが証明できる。 ${\displaystyle a^{2}=b^{3}}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}$

は の中心にあることを意味する。をcによって生成される部分群と表記すると、C  ⊂  Z ( B ₃ )なので、これは正規部分群であり、商群B ₃ / Cをとることができる。 B ₃ / C ≅ PSL(2, Z )であると主張する。この同型は明示的な形式を与えることができる。剰余類σ ₁ Cとσ ₂ Cは ${\displaystyle c}$${\displaystyle B_{3}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B_{3}}$

${\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$

ここで、LとR は、シュテルン・ブロコット木上の標準的な左移動と右移動です。これらの移動によってモジュラー群が生成されることはよく知られています。

あるいは、モジュラーグループの 一般的な表現としては、

${\displaystyle \langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle }$

どこ

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.}$

aをvに、bをpに写像すると、全射群準同型B ₃ → PSL(2, Z )が得られる。

B ₃の中心はCに等しく、これはc が中心にあり、モジュラー群の中心が自明であり、上記の全射準同型が核 Cを持つという事実の結果である。

編組群B _{n は}、 n個の穴がある穴あきディスクの写像類群と同型であることが示されます。これは、各穴がディスクの境界に弦で接続されていると想像することで最も簡単に視覚化できます。2 つの穴を並べ替える各写像準同型は、弦のホモトピー、つまりこれらの弦の編組として見ることができます。

このマッピングクラスグループの編組の解釈により、各編組は周期的、可約的、または擬似アノソフとして分類できます。

組紐が与えられ、新しい文字列を使用して最初の左側の項目を最初の右側の項目に接続し、2 番目の左側の項目を 2 番目の右側の項目に接続するなどすると (新しい文字列に組紐を作成せずに)、リンク が得られ、場合によっては結び目 が得られる。組紐理論におけるアレクサンダーの定理では、逆も真であると述べられている。つまり、すべての結び目とすべてのリンクは、少なくとも 1 つの組紐からこのようにして発生する。そのような組紐は、リンクを切断することで取得できる。組紐はジェネレータσ _i内のワードとして具体的に与えることができるため、これはコンピュータ プログラムに結び目を入力する場合によく使用される方法である。

組紐関係の単語問題は効率的に解くことができ、生成元σ ₁、...、σ _{n −1}に関してB _nの元の正規形が存在します。(本質的に、組紐の正規形の計算は、上記の 2 番目の画像セットで示されているように、「ストランドを引っ張る」ことの代数的類似物です。) 無料のGAP コンピュータ代数システムは、要素がこれらの生成元に関して与えられている場合、 B _nで計算を実行できます。また、組紐群を特別にサポートする、GAP3 用のCHEVIEと呼ばれるパッケージもあります。単語問題は、ローレンス・クラマー表現によっても効率的に解決されます。

単語問題に加えて、編組群を実装できるいくつかの既知の困難な計算問題があり、暗号への応用が提案されている。^[15]

対称群の順列による作用と同様に、さまざまな数学的設定において、n組のオブジェクトまたはn折り畳まれたテンソル積に対する組紐群の自然な作用が存在します。この組は、いくつかの「ねじれ」を伴います。任意のグループGを考え、X を、積がGの単位元であるGのすべてのn組の要素の集合とします。すると、B _{n は}次のようにXに作用します。

${\displaystyle \sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).}$

したがって、要素x _iとx _{i +1 は}場所を交換し、さらにx _{i は}x _{i +1}に対応する内部自己同型によってねじれ、これによりxの成分の積が単位元のままであることが保証されます。編組群の関係が満たされていること、およびこの式が実際にB _nのXへの群作用を定義していることを確認できます。別の例として、編組モノイドカテゴリは、編組群作用を持つモノイドカテゴリです。このような構造は、現代の数理物理学で重要な役割を果たし、量子結び目不変量につながります。

組紐群B _nの元は、行列によってより具体的に表現できます。そのような表現の古典的なものの 1 つにBurau 表現があり、行列の要素は 1 変数のローラン多項式です。Burau 表現が忠実であるかどうかは長年の疑問でしたが、答えはn  ≥ 5に対して否定的であることがわかりました。より一般的には、組紐群が線形であるかどうかは大きな未解決問題でした。1990 年に、Ruth Lawrence は、いくつかのパラメーターに依存する、より一般的な「Lawrence 表現」のファミリーを説明しました。1996 年に、Chetan NayakとFrank Wilczek は、 SO(3)の射影表現と同様に、組紐群の射影表現は分数量子ホール効果の特定の準粒子に対して物理的な意味を持つと仮定しました。^[16] 2001 年頃、Stephen Bigelowと Daan Krammer は独立に、すべての組紐群が線形であることを証明しました。彼らの研究では、変数qとtに依存する次元のローレンス・クラマー表現が使用されました。これらの変数を適切に特殊化することで、編組群は複素数上の一般線型群のサブグループとして実現できます。 ${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle B_{n}}$

この概念を無限数のストランドに一般化する方法はたくさんあります。最も簡単な方法は、編組群の直接極限を取ることです。この極限では、接続マップによって の生成元が の最初の生成元に送られます(つまり、自明なストランドを接続することによって)。ただし、この群は、連続性を保ちながら距離化可能な位相を許容しません。 ${\displaystyle f\colon B_{n}\to B_{n+1}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle B_{n+1}}$

ポール・フェイベルは、結果として得られる群に課すことができる2つの位相があり、それぞれの完備化によって異なる群が得られることを示した。^[17]最初の群は非常に扱いやすい群であり、無限に穴が開いた円板の写像類群、つまり円板の境界に制限される離散的な穴の集合と同型である。

2番目のグループは有限組紐群と同じように考えることができます。各点にストランドを置くと、すべての組紐の集合（組紐は、関数が端点での順列を生成するように、点から点へのパスの集合として定義されます）はこのワイルドグループと同型です。興味深い事実は、このグループの純粋組紐群が有限純粋組紐群の逆極限とヒルベルト立方体の基本群から集合を除いたもの と同型であるということです。${\displaystyle (0,1/n)}$${\displaystyle (0,1/n,0)}$${\displaystyle (0,1/n,1)}$${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \{(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.}$

群のコホモロジー は、対応するアイレンバーグ・マクレーン分類空間のコホモロジーとして定義され、これはホモトピーまでによって一意に決定されるCW 複体である。編組群の分類空間はのn^番目の無順序配置空間、つまり平面上の異なる無順序点のすべての集合の空間である: [ ^18]${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})=\{\{u_{1},...,u_{n}\}:u_{i}\in \mathbb {R} ^{2},u_{i}\neq u_{j}{\text{ for }}i\neq j\}}$。

つまり定義上

係数の計算についてはFuks（1970）を参照のこと。^[19]${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

同様に、純粋編組群の分類空間は であり、のn^番目の順序配置空間である。1968 年にウラジミール・アーノルドは、純粋編組群の積分コホモロジーが、次の関係に従う、次数 1 の類の集合によって生成される外積代数の商であることを示した^[20]。${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \omega _{ij}\;\;1\leq i<j\leq n}$

${\displaystyle \omega _{k,\ell }\omega _{\ell ,m}+\omega _{\ell ,m}\omega _{m,k}+\omega _{m,k}\omega _{k,\ell }=0.}$

• アルティン・ティッツグループ
• 編み込みモノイドカテゴリ
• 編み込みベクトル空間
• 編み込みホップ代数
• 結び目理論
• 非可換暗号
• 球状編組群

• 「組紐群」。PlanetMath。
• CRAG:スティーブンス大学の代数暗号センターの暗号化とグループ計算ライブラリ
• Macauley, M. 講義 1.3: 科学、芸術、数学におけるグループ。ビジュアル グループ理論。クレムソン大学。
• Bigelow, Stephen . 「B5 Java アプレットの調査」。2013 年 6 月 4 日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007 年11 月 1 日閲覧。
• Lipmaa、Helger、暗号と編組群のページ、2009年8月3日時点のオリジナルからアーカイブ
• ダルヴィット、エステル（2015）。映画『ブレイズ』。
• シェリッヒ、ナンシー。編組グループの表現。Dance Your PhD。「Dance Your PhD」の数学の裏側、パート 1: 編組グループでさらに詳しく説明されています。