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19 世紀のイギリスの 数学者 アーサー・ケイリーにちなんで名付けられたケイリー表は、グループのすべての要素のすべての可能な積を、加算表や乗算表を思わせる正方形の表に配置することで、有限グループの構造を記述します。グループの多くの特性 (アーベル群かどうか、どの要素がどの要素の逆であるか、グループの中心の大きさと内容など ) は、そのケイリー表から見つけることができます。
ケイリー表の簡単な例として、通常の乗算における群{1, −1}の表が挙げられます。
歴史
ケイリー表は、ケイリーの 1854 年の論文「群論について」で、記号方程式θ n = 1 に依存するものとして初めて発表されました。その論文では、表は単に表と呼ばれ、単なる説明に過ぎませんでしたが、後に作成者に敬意を表してケイリー表と呼ばれるようになりました。
構造とレイアウト
多くのケイリー表は可換でない群を記述するため、群の二項演算に関する積ab は、群内のすべてのaとb の積baと等しいとは保証されません。混乱を避けるために、規則では、行を表す因子 (ケイリーでは近い因子と呼ぶ) が最初に来て、列を表す因子 (または遠い因子) が 2 番目になります。たとえば、次の例のように、行aと列bの交点はabであり、 baではありません。
特性と用途
可換性
ケーリー表は、群がアーベル群であるかどうかを示します。アーベル群の群演算は可換であるため、群がアーベル群であるためには、ケーリー表の値が対角軸に沿って対称である必要があります。上記の群 {1, −1} と、通常の乗算による位数 3 の巡回群は、どちらもアーベル群の例であり、ケーリー表の対称性を調べることで、これが確認できます。対照的に、最小の非アーベル群である位数 6 の二面体群には、対称ケーリー表がありません。
結合性
結合性は群を扱う際の公理として扱われるため、ケイリー表を扱う際にも当然のことと見なされることが多い。しかし、ケイリー表は結合性を公理として想定しない準群の演算を特徴付けるためにも使用できる（実際、ケイリー表は任意の有限マグマの演算を特徴付けるために使用できる）。残念ながら、可換性の場合のようにケイリー表をざっと見ただけでは演算が結合性があるかどうかを判断することは一般には不可能である。これは、結合性は 3 項方程式 に依存するのに対し、ケイリー表は 2 項積を示すからである。しかし、ライトの結合性テストは、力ずくで調べるよりも少ない労力で結合性を判断できる。
順列
キャンセル特性はグループ (および実際には準グループ) にも当てはまるため、ケイリー表の行または列に同じ要素が 2 回含まれることはありません。したがって、表の各行と列は、グループ内のすべての要素の順列です。これにより、どのケイリー表が有効なグループ演算を定義できるかが大きく制限されます。
行または列に同じ要素を複数回含めることができない理由を確認するには、a、x、y をすべてグループの要素とし、xとy を別個とします。すると、要素aを表す行では、 xに対応する列に積axが含まれ、同様にyに対応する列には積ayが含まれます。これら 2 つの積が等しい場合、つまり行a に同じ要素が 2 回含まれている場合 (これが私たちの仮説)、ax はayに等しくなります。しかし、相殺則が成り立つため、ax = ayの場合はx = yとなり、矛盾が生じると結論付けることができます。したがって、私たちの仮説は誤りであり、行に同じ要素を 2 回含めることはできません。まったく同じ議論で列の場合も証明できるため、各行と各列には要素が複数回含まれないと結論付けることができます。グループは有限であるため、鳩の巣原理により、グループの各要素が各行と各列に正確に 1 回表されることが保証されます。したがって、群のケーリー表はラテン方陣の例です。代わりの、より簡潔な証明は、相殺特性から得られます。この特性は、群内の各 x に対して、1 変数関数 yf(x,y)= xy が 1 対 1 の写像でなければならないことを意味します。この結果は、有限集合上の 1 対 1 の写像が順列であるという事実から得られます。
順列行列生成
ケイリー表の標準形式では、行の要素の順序は列の順序と同じです。別の形式では、列の要素をn番目の列がn番目の行の要素の逆に対応するように配置します。 D 3の例では、 fとdだけがそれ自体の逆ではなく、互いの逆である ため、最後の 2 つの列を入れ替えるだけで済みます。
この例では、6 つの順列行列(すべての要素が 1 または 0、各行と各列に 1 つずつ 1 つずつ) を作成できます。要素を表す 6x6 行列では、ケイリー表で要素の文字があるすべての位置に 1 が含まれ、その他のすべての位置には 0 が含まれます。これは、その記号のクロネッカーのデルタ関数です。( e は主対角線上のすべての位置にあることに注意してください。これにより、この場合は予想どおり 6x6 行列の単位行列が得られます。)たとえば、 要素aを表す行列は次のとおりです。
これは、位数nの任意の群が、位数nの置換群 S nのサブグループであることを直接示しています。
一般化
上記の特性は、群に有効ないくつかの公理に依存します。半群、準群、マグマなどの他の代数構造に対してケーリー表を考慮するのは自然ですが、上記の特性のいくつかは成り立ちません。
参照
参考文献
- ケイリー、アーサー。「記号方程式θ n = 1に依存する群の理論について」、哲学雑誌、第 7 巻 (1854 年)、pp. 40–47。彼の全集の一部として Google ブックスでオンラインで入手可能。
- ケイリー、アーサー。「群論について」、アメリカ数学ジャーナル、第 11 巻、第 2 号 (1889 年 1 月)、pp. 139–157。JSTOR で入手可能。