カオス理論

中間エネルギーにおける二重棒振り子のカオス的挙動を示すアニメーション。振り子の初期条件をわずかに変えるだけで、軌道は大きく異なる。二重棒振り子は、カオス解を持つ最も単純な力学系の1つである。

カオス理論は数学の一分野であり、学際的な科学研究分野です。初期条件に非常に敏感な動的システムの根底にあるパターンと決定論的法則に焦点を当てています。かつては、これらは完全にランダムな無秩序と不規則性の状態を持つと考えられていました。^[¹^]この理論は、カオス的な複雑系の見かけ上のランダム性の中に、根底にあるパターン、相互接続、一定のフィードバックループ、繰り返し、自己相似性、フラクタル、自己組織化があると述べています。^[²^]カオスの根底にある原理であるバタフライ効果は、決定論的な非線形システムの1つの状態の小さな変化が、後の状態で大きな違いをもたらす可能性があることを説明します（つまり、初期条件に敏感に依存しているということです）。^[³^]この挙動の比喩として、ブラジルで羽ばたく蝶がテキサスで竜巻を引き起こしたり防いだりする可能性があるというものがあります。^[⁴^]^[⁵^]^:^181–184^[⁶^]

測定誤差や数値計算の丸め誤差などによる初期条件のわずかな違いでも、このような動的システムでは大きく異なる結果が生じる可能性があり、一般的にその挙動の長期的な予測は不可能になります。^{[ 7 ]}これらのシステムは決定論的であるにもかかわらず、つまり将来の挙動が一意の進化に従い^{[ 8 ]} 、ランダムな要素が関与せず、初期条件によって完全に決定されるにもかかわらず、このようなことが起こり得ます。 ^{[ 9 ]}言い換えれば、これらのシステムの決定論的な性質にもかかわらず、予測可能になるわけではありません。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}この挙動は決定論的カオス、または単にカオスとして知られています。この理論はエドワード・ローレンツによって次のように要約されました。 ^{[ 12 ]}

カオス：現在が未来を決定するが、近似的な現在が近似的に未来を決定するわけではない状態。

カオス的挙動は、流体の流れ、心拍の不規則性、天気や気候など、多くの自然システムに存在します。^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 8 ]}また、道路交通などの人工的な要素を持つシステムでも自発的に発生します。^{[ 2 ]}この挙動は、カオス数学モデルの分析、または再帰プロットやポアンカレ写像などの分析手法によって研究できます。カオス理論は、気象学^{[ 8 ]} 、人類学^{[ 15 ]} 、社会学、環境科学、コンピュータ科学、工学、経済学、生態学、パンデミック危機管理^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}など、さまざまな分野に応用されています。この理論は、複雑力学系、カオス理論の境界、自己組織化プロセスなどの研究分野の基礎を形成しました。

導入

カオス理論は、一定期間予測可能であったが、その後ランダムになるように見える決定論的システムを扱います。カオスシステムの挙動を効果的に予測できる期間は、次の3つの要素に依存します。予測で許容できる不確実性の量、現在の状態をどれだけ正確に測定できるか、そしてシステムのダイナミクスに依存する時間スケール（リアプノフ時間と呼ばれる）。リアプノフ時間の例としては、カオス的な電気回路（約1ミリ秒）、気象システム（数日、ただし未証明）、内太陽系（400万～500万年）などがあります。^{[ 18 ]}カオスシステムでは、予測の不確実性は経過時間とともに指数関数的に増加します。したがって、数学的には、予測時間を2倍にすると、予測の不確実性の比例は2乗以上になります。これは、実際には、リアプノフ時間の2倍または3倍を超える期間では意味のある予測ができないことを意味します。意味のある予測ができない場合、システムはランダムに見えます。^{[ 19 ]}

カオス力学

一般的に「カオス」とは「無秩序な状態」を意味します。^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}しかし、カオス理論では、この用語はより厳密に定義されています。カオスの普遍的に受け入れられている数学的定義は存在しませんが、ロバート・L・デバニーが最初に定式化した一般的に使用されている定義では、動的システムをカオスとして分類するには、次の特性を備えている必要があるとされています。^{[ 22 ]}

初期条件に敏感でなければならない。
位相的に推移的でなければならない。
それは密な周期軌道を持たなければならない。

場合によっては、上記の最後の 2 つの特性が実際には初期条件に対する感度を意味することが示されています。^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}離散時間の場合、これは距離空間上のすべての連続写像に当てはまります。^[²⁵^]これらの場合、多くの場合、最も実用的に重要な特性ですが、「初期条件に対する感度」は定義に明記する必要はありません。

区間に限定して考えると、2番目の特性は他の2つの特性を意味します。^{[ 26 ]}カオスの別の、そして一般的に弱い定義では、上記のリストの最初の2つの特性のみを使用します。^{[ 27 ]}

初期条件に対する感度

**y変数のプロットを生成するためにローレンツ方程式が使用されました。x**とzの初期条件は同じに保たれましたが、yの初期条件は1.001、1.0001、1.00001の間で変更されました。 $\rho$ 、 $\sigma$ そして $\beta$ それぞれ**45.91、16、4**でした。グラフからわかるように、初期値のわずかな違いでも、3つのケースすべてにおいて約12秒後には大きな変化が生じます。これは、初期条件に対する敏感な依存性の例です。

{\displaystyle \rho } — **y変数のプロットを生成するためにローレンツ方程式が使用されました。x**とzの初期条件は同じに保たれましたが、yの初期条件は1.001、1.0001、1.00001の間で変更されました。 $\rho$ 、 $\sigma$ そして $\beta$ それぞれ**45.91、16、4**でした。グラフからわかるように、初期値のわずかな違いでも、3つのケースすべてにおいて約12秒後には大きな変化が生じます。これは、初期条件に対する敏感な依存性の例です。

初期条件に対する感度とは、カオス系内の各点が、将来の経路や軌道が大きく異なる他の点によって任意に近似されることを意味します。したがって、現在の軌道の任意に小さな変化や摂動が、将来の挙動を大きく変える可能性があります。^{[ 2 ]}

初期条件に対する感度は、一般に「バタフライ効果」として知られています。これは、1972年にエドワード・ローレンツがワシントンDCの米国科学振興協会で発表した論文のタイトル「予測可能性：ブラジルの蝶の羽ばたきがテキサスの竜巻を引き起こすか？」に由来しています。^{[ 28 ]}羽ばたきはシステムの初期条件の小さな変化を表しており、大規模な現象の予測可能性を妨げる一連の出来事を引き起こします。蝶が羽ばたかなかったら、システム全体の軌跡は大きく異なっていた可能性があります。

1993 年に出版されたLorenz の著書『カオスの本質』^{[ 5 ]}^{: 8}で示唆されているように、「敏感な依存性はカオスの許容できる定義として機能し得る」。同じ本の中で、Lorenz はバタフライ効果を次のように定義した。「動的システムの状態のわずかな変化が、その後の状態を、変化がなかった場合に続くはずだった状態と大きく異なるものにする現象」^{[ 5 ]}^{: 23}上記の定義は、解の初期条件に対する敏感な依存性 (SDIC) と一致している。時間とともに変化する経路の初期位置に対する感度を説明するために、理想化されたスキーモデルが開発された。^{[ 5 ]}^{: 189–204} SDIC の開始前 (つまり、初期の近接した軌道が大きく分離する前) に予測可能範囲を決定することができる。^{[ 29 ]}

初期条件に対する感度の結果、システムに関する情報が限られている場合（実際には通常そうである）、ある時点を超えるとシステムは予測不可能になります。これは、一般的に約 1 週間先までしか予測できない天気の場合に最も顕著です。^{[ 30 ]}これは、遠い将来の出来事について何も断言できないという意味ではなく、システムに何らかの制約があるという意味です。たとえば、地球の表面温度が自然に100 °C (212 °F)に達したり、 -130 °C (-202 °F)を下回ったりすることはないことがわかっています(現在の地質時代) が、1 年間で最も気温が高くなる日を正確に予測することはできません。

より数学的に言えば、リアプノフ指数は、摂動された初期条件からの指数関数的発散率という形で、初期条件に対する感度を測定する。^{[ 31 ]}より具体的には、位相空間内で無限小の間隔で存在する2つの開始軌道が与えられた場合、初期分離距離は $\delta \mathbf {Z} _{0}$ 2つの軌道は最終的に、次の速度で分岐する。

|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,

どこ $t$ 時間と $\lambda$ はリアプノフ指数です。分離速度は初期分離ベクトルの向きに依存するため、リアプノフ指数にはさまざまな値が存在する可能性があります。リアプノフ指数の数は位相空間の次元数に等しくなりますが、通常は最大の値を参照します。たとえば、最大リアプノフ指数（MLE）が最もよく使用されます。これは、システムの全体的な予測可能性を決定するためです。正のMLEと解の有界性は、通常、システムがカオス的であることの指標とみなされます。^{[ 8 ]}

上記の性質に加えて、初期条件の感度に関連する他の性質も存在する。例えば、測度論的混合（エルゴード理論で議論されているように）やKシステムの性質などが挙げられる。^{[ 11 ]}

非周期性

カオス系では、変化する変数の値のシーケンスが完全に繰り返される場合があり、そのシーケンス内のどの時点からでも周期的な挙動を示すことがあります。しかし、このような周期的なシーケンスは引き合うのではなく反発する性質を持つため、変化する変数がシーケンスの外側にある場合、たとえそれに近い値であっても、シーケンスには入らず、実際にはシーケンスから逸脱します。したがって、ほとんどすべての初期条件において、変数は非周期的な挙動を示すカオス的に変化します。

トポロジカル混合

一連の状態の6回の反復 $[x,y]$ ロジスティック写像を通過した。最初の反復（青色）は初期条件であり、基本的に円を形成する。アニメーションは、円形の初期条件の1回目から6回目の反復を示している。反復が進むにつれて*混合が*起こることがわかる。6回目の反復では、点が位相空間にほぼ完全に散らばっていることがわかる。さらに反復を進めた場合、混合は均一かつ不可逆的になる。ロジスティック写像の式は次のようになる。 $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$ ロジスティックマップの状態空間を2次元に拡張するには、2番目の状態、 $y$ は、 $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$ 、もし $x_{k}+y_{k}<1$ そして $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ さもないと。

{\displaystyle [x,y]} — 一連の状態の6回の反復 $[x,y]$ ロジスティック写像を通過した。最初の反復（青色）は初期条件であり、基本的に円を形成する。アニメーションは、円形の初期条件の1回目から6回目の反復を示している。反復が進むにつれて*混合が*起こることがわかる。6回目の反復では、点が位相空間にほぼ完全に散らばっていることがわかる。さらに反復を進めた場合、混合は均一かつ不可逆的になる。ロジスティック写像の式は次のようになる。 $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$ ロジスティックマップの状態空間を2次元に拡張するには、2番目の状態、 $y$ は、 $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$ 、もし $x_{k}+y_{k}<1$ そして $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ さもないと。

位相的混合（あるいはより弱い条件である位相的推移性）とは、システムが時間とともに変化し、位相空間の任意の領域または開集合が最終的に他の任意の領域と重なり合うようになることを意味します。この数学的な「混合」の概念は、一般的な直感と一致しており、着色された染料や液体の混合は、カオスシステムの一例です。

カオスに関する一般的な説明では、位相的混合はしばしば省略され、カオスは初期条件への感度のみに起因するものとみなされることが多い。しかし、初期条件への感度依存性だけではカオスは生じない。例えば、初期値を繰り返し倍にすることで生成される単純な力学系を考えてみよう。この系は、近接する点のペアが最終的に大きく離れるため、あらゆる点で初期条件に敏感に依存する。しかし、この例には位相的混合がなく、したがってカオスは存在しない。実際、その挙動は非常に単純で、0以外のすべての点が正または負の無限大に収束する。

位相的推移性

地図 $f:X\to X$ は、任意の空でない開集合のペアに対して、が成り立つ場合に位相的に推移的であると言われる。 $U,V\subset X$ 存在する $k>0$ そのため $f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$ 位相的推移性は位相的混合性の弱いバージョンである。直感的に言えば、写像が位相的に推移的であれば、点xと領域Vが与えられたとき、軌道がVを通過する点yがxの近くに存在する。これは、システムを 2 つの開集合に分解することは不可能であることを意味する。^[³²^]

関連する重要な定理として、バーコフ推移性定理がある。稠密な軌道の存在が位相的推移性を意味することは容易にわかる。バーコフ推移性定理は、X が第 2 の可算完備距離空間である場合、位相的推移性は、稠密な軌道を持つX内の稠密な点の集合の存在を意味すると述べている。^[³³^]

周期軌道の密度

カオス系が密な周期軌道を持つということは、空間内のすべての点が周期軌道によって任意に接近されることを意味する。^{[ 32 ]} x → 4 x (1 – x )で定義される一次元ロジスティック写像は、周期軌道が密な最も単純なシステムの1つである。例えば、 ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ （または約 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915）は周期 2 の（不安定な）軌道であり、周期 4、8、16 などについても同様の軌道が存在する（実際、シャーコフスキーの定理で指定されているすべての周期について）。^{[ 34 ]}

^{シャーコフスキーの定理は、周期3の規則的なサイクルを示す連続的な一次元システムは、}他のすべての長さの規則的なサイクルと完全にカオス的な軌道も示すという、LiとYorke ^{[ 35} ] (1975) の証明の基礎となっている。

奇妙なアトラクター

ローレンツアトラクターはカオス的な挙動を示す。これら2つのグラフは、アトラクターが占める位相空間領域内における初期条件への敏感な依存性を示している。

x → 4 x (1 – x )で定義される一次元ロジスティック写像のような一部の力学系は、あらゆる場所でカオス的であるが、多くの場合、カオス的挙動は位相空間の部分集合でのみ見られる。最も興味深いケースは、カオス的挙動がアトラクター上で発生する場合であり、その場合、多数の初期条件がこのカオス領域に収束する軌道につながる。^[³⁶^]

カオス的アトラクターを視覚化する簡単な方法は、アトラクターの吸引領域内の点から始めて、その後の軌道を単純にプロットすることです。位相的推移律により、これは最終的なアトラクター全体の図を作成する可能性が高く、実際、右の図に示されている2つの軌道は、ローレンツアトラクターの一般的な形状を示しています。

固定点アトラクターやリミットサイクルとは異なり、カオス系から生じるアトラクターはストレンジアトラクターと呼ばれ、非常に詳細で複雑な構造を持つ。ストレンジアトラクターは、連続力学系（ローレンツ系など）と離散系（エノン写像など）の両方に現れる。他の離散力学系には、固定点の吸引領域の境界に形成されるジュリア集合と呼ばれる反発構造が存在する。ジュリア集合は、ストレンジリペラーと考えることができる。ストレンジアトラクターとジュリア集合はどちらも一般的にフラクタル構造を持ち、フラクタル次元を計算することができる。

共存するアトラクター

単一タイプのカオス解とは対照的に、ローレンツモデル^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}を用いた研究では、様々なタイプの解を考慮することの重要性が強調されている。例えば、同じモデル構成を用いながら異なる初期条件を用いる場合、同じモデル（例えば、二重振り子システム）内でカオス解と非カオス解が共存することがある。古典的および一般化されたローレンツモデル^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}から得られたアトラクター共存の発見は、「天気はカオスである」という従来の見方とは対照的に、「天気全体は、明確な予測可能性を伴うカオスと秩序の二重性を持っている」という修正された見方を示唆している。

カオスシステムの最小複雑度

ロジスティック写像のような離散的なカオス系は、次元に関わらずストレンジアトラクターを示す可能性がある。一方、連続的な力学系では、ポアンカレ・ベンディクソン定理によれば、ストレンジアトラクターは3次元以上の場合にのみ発生する。有限次元の線形系は決してカオス的ではなく、力学系がカオス的挙動を示すためには、非線形であるか、無限次元でなければならない。

ポアンカレ・ベンディクソン定理は、2次元微分方程式が非常に規則的な振る舞いを示すことを述べている。以下で説明するローレンツアトラクターは、次のような3つの微分方程式のシステムによって生成される。

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}

どこ $x$ 、 $y$ 、そして $z$ システムの状態を構成する、 $t$ 時間であり、 $\sigma$ 、 $\rho$ 、 $\beta$ はシステムパラメータです。右辺の項のうち 5 つは線形、2 つは二次で、合計 7 つの項があります。もう 1 つのよく知られたカオスアトラクターは、7 つの項のうち 1 つだけが非線形であるRössler 方程式によって生成されます。Sprott ^{[ 42 ]}は、特定のパラメータ値でカオスを示す、非線形項が 1 つだけの 5 つの項を持つ 3 次元システムを発見しました。Zhang と Heidel ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}は、少なくとも散逸的および保存的な二次システムの場合、右辺に 3 つまたは 4 つの項しかない 3 次元二次システムはカオス的挙動を示さないことを示しました。その理由は、簡単に言えば、そのようなシステムの解は2 次元の曲面に漸近し、したがって解は良好な挙動を示すからです。

ポアンカレ・ベンディクソン定理によれば、ユークリッド平面上の連続力学系はカオス的になり得ないが、非ユークリッド幾何学を持つ2次元連続系は依然としてカオス的性質を示す可能性がある。^{[ 45 ]}

^{上記の 3つの常微分方程式のセットは}^、 3 次元ローレンツモデルと呼ばれています。^{[ 46 ] 1963 年以降、非線形性の度合いの増加の影響、}^および^{加熱と散逸との複合効果が解の安定性に及ぼす影響を調べるために、高次元ローレンツモデルが多数}^の研究で開発されてきました。 [47 ^]^[⁴⁸^][37]^[³⁸^]

カオスと線形システム

意外かもしれないが、無限次元であれば線形システムでもカオスが発生する可能性がある。^{[ 49 ]}関数解析では線形カオスの理論が開発されている。^{[ 50 ]}

量子力学は、粘性が乱流を抑制するのと同様にカオス的な振る舞いを抑制する線形非カオス理論の代表例としてもよく考えられているが、実際には、ナノスケールの乱流を示す強相関系のような無限の自由度を持つ量子力学系には当てはまらない。^{[ 51 ]}^{[ 52 ]}

カオスのその他の特徴

無限次元マップ

^{結合離散マップ[ 53 ]}の単純な一般化は、空間的に分布したマップ間の相互作用を媒介する畳み込み積分に基づいています。 $\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$ 、

ここでカーネルは $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ 関連する物理システムのグリーン関数として導出されたプロパゲーター、^{[ 54 ]}

$f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ 物流マップに似ているかもしれない $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ または複素マップ。複素マップの例としては、ジュリア集合が挙げられる。 $f[\psi ]=\psi ^{2}$ または池田地図 $\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ 役に立つかもしれない。遠距離での波動伝播の問題 $L=ct$ 波長 $\lambda =2\pi /k$ 核とみなされる $K$ シュレーディンガー方程式のグリーン関数の形式を持つ可能性がある。^{[ 55 ]}^{[ 56 ]}

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$ 。

自発的な秩序

適切な条件下では、カオスは自発的に同期パターンへと進化する。蔵本モデルでは、カオス系で同期を生み出すには4つの条件で十分である。例としては、クリスティアーン・ホイヘンスの振り子の結合振動、ホタル、ニューロン、ロンドン・ミレニアム・ブリッジの共振、ジョセフソン接合の大規模アレイなどが挙げられる。^[⁵⁷^]

さらに、理論物理学の観点からすると、動的カオスそのものは、最も一般的な形では自発的な秩序である。ここでの本質は、自然界のほとんどの秩序は、さまざまな対称性の自発的な破れから生じるということである。この現象の大きなファミリーには、弾性、超伝導、強磁性、その他多くのものが含まれる。確率力学の超対称理論によれば、カオス、より正確にはその確率的一般化もこのファミリーの一部である。破れる対応する対称性は、すべての確率的（偏）微分方程式に隠されている位相的超対称性であり、対応する秩序パラメータはバタフライ効果の場の理論的具現化である。^[⁵⁸^]

組み合わせ的（または複雑な）カオス

初期条件に対する感度特性を必要としないカオスの定義もあり、例えば組み合わせカオス（離散的な組み合わせ操作を再帰的に適用する）などがある。^{[ 59 ]}これはセルオートマトンによって生成されるカオスとも比較可能で類似している。このタイプのカオスはチューリングマシンと同等になり得るため、このような動的システムで計算を実行できることが重要である。これは停止問題が決定不可能であることを直感的に理解する方法であり、一部の計算アルゴリズムは決して終了しない可能性があることを示唆している。この種のシステムの予測不可能性は、通常、他のタイプのカオスの予測不可能性とは異なる性質を持つ。 ^{[ 60 ]}

歴史

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、初期条件の重要性を強調した最初の科学者であり、1860年代と1870年代の研究でカオス理論について議論した最初期の人物の一人と見なされています。^{[ 61 ]}^{[ 62 ]}^{[ 63 ]} 1880年代、アンリ・ポアンカレは、三体問題を研究している際に、非周期的な軌道が存在し、それが永遠に増加したり固定点に近づいたりしないことを発見しました。^[⁶⁴^]^[⁶⁵^]^[⁶⁶^] 1898年、ジャック・アダマールは、一定の負の曲率を持つ表面上を摩擦なく滑る自由粒子の運動に関する影響力のある研究を発表し、「アダマールのビリヤード」と呼ばれました。アダマールは、すべての粒子軌道が互いに指数関数的に分岐し、正のリアプノフ指数を持つという点で、すべての軌道が不安定であることを示すことができた^[⁶⁷^]。^[⁶⁸^]

非線形微分方程式に関するその後の研究は、ジョージ・デイビッド・バーコフ^{[ 69 ]} 、アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフ^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} 、メアリー・ルーシー・カートライトとジョン・エデンソー・リトルウッド^{[ 73 ]}、そしてスティーブン・スモール^{[ 74 ]}によって行われた。実験家や数学者は、流体運動における乱流、社会や経済における混沌とした振る舞い、無線回路における非周期的な振動、自然界におけるフラクタルパターンに遭遇したが、それらを説明するための理論はなかった。

20世紀前半に初期的な洞察があったにもかかわらず、カオス理論が正式に体系化されたのは、20世紀半ば以降になってからのことである。当時主流だった滑らかで連続的な線形理論では、ジャンプや不規則な挙動を示すロジスティック写像などの実験で観察される挙動を説明できないことが、一部の科学者にとって初めて明らかになったのはこの頃だった。これらの観察結果は、カオスが確率的または非線形な力学系と関連していることを強調しているが、間違いなく微分不可能で非連続的な時間発展を伴うものである。

測定の不正確さや単純な「ノイズ」に起因すると考えられていたものが、カオス理論家によって研究対象システムの完全な構成要素とみなされるようになった。1959年、ボリス・ヴァレリアノヴィチ・チリコフはハミルトン系における古典的カオスの発生基準（チリコフ基準）を提案した。彼はこの基準を、開放型ミラートラップにおけるプラズマ閉じ込めに関するいくつかの実験結果の説明に適用した。^{[ 75 ]}^{[ 76 ]}これは、具体的な実験を説明することに成功した最初の物理カオス理論とみなされている。そしてボリス・チリコフ自身は、古典的カオスと量子カオスの先駆者とみなされている。^{[ 77 ]}^{[ 78 ]}^{[ 79 ]}

カオス理論の発展の主なきっかけとなったのは電子計算機でした。カオス理論の数学の多くは、単純な数式を繰り返し計算することを含み、手作業で行うのは非現実的です。電子計算機によってこれらの繰り返し計算が実用的になり、図や画像によってこれらのシステムを視覚化することが可能になりました。京都大学の林千尋研究室の大学院生だった上田義介は、アナログ計算機で実験を行い、1961年11月27日に「ランダムな遷移現象」と呼ぶものに気づきました。しかし、指導教官は当時彼の結論に同意せず、1970年まで彼の発見を報告することを許可しませんでした。^{[ 80 ]}^{[ 81 ]}

エドワード・ローレンツは、この理論の初期の先駆者でした。彼がカオスに興味を持ったのは、1961年の天気予報の研究を通して偶然のことでした。 ^{[ 82 ]}^{[ 13 ]}ローレンツと共同研究者のエレン・フェッターとマーガレット・ハミルトン^{[ 83 ]}は、ロイヤル・マクビー LGP-30というシンプルなデジタルコンピュータを使って天気シミュレーションを実行していました。彼らは一連のデータをもう一度見たいと思い、時間を節約するためにシミュレーションを途中から開始しました。彼らは、元のシミュレーションの途中の状態に対応するデータのプリントアウトを入力することでこれを行いました。驚いたことに、機械が予測し始めた天気は、以前の計算とは全く異なっていました。彼らは、コンピュータのプリントアウトに原因があることを突き止めました。コンピュータは6桁の精度で動作していましたが、プリントアウトは変数を3桁の数値に丸めていたため、0.506127のような値は0.506と印刷されました。この差はごくわずかで、当時のコンセンサスでは実際的な影響はないと考えられていた。しかし、ローレンツは初期条件のわずかな変化が長期的な結果に大きな変化をもたらすことを発見した。^{[ 84 ]}ローレンツの発見は、ローレンツ・アトラクターという名称の由来となり、詳細な大気モデルを用いても、一般的には正確な長期天気予報はできないことを示した。

1963年、情報理論を研究していたブノワ・マンデルブロは、多くの現象（株価や電話回線など）におけるノイズが、無限の粗さと詳細さを持つ点の集合であるカントール集合のようにパターン化されていることを発見した。 ^[⁸⁵^]マンデルブロは、「ノア効果」（突然の不連続な変化が起こる可能性がある）と「ジョセフ効果」（ある値がしばらくの間持続するが、その後突然変化する可能性がある）の両方を説明した。^[⁸⁶^]^[⁸⁷^] 1967年、彼は「英国の海岸線はどれくらいの長さか？統計的自己相似性と分数次元」を発表し、海岸線の長さは測定機器のスケールによって変化し、すべてのスケールで自分自身に似ており、無限に小さな測定装置では長さが無限であることを示した。^[⁸⁸^]糸玉は遠くから見ると点（0次元）に見え、かなり近くから見ると球（3次元）に見え、または曲がった糸（1次元）に見えることから、物体の次元は観察者によって異なり、分数になる可能性があると彼は主張した。異なるスケールで不規則性が一定である物体（「自己相似性」）はフラクタルである（例としては、メンガースポンジ、シェルピンスキーギャスケット、コッホ曲線または雪片などがある。コッホ曲線は無限に長いが有限の空間を囲み、フラクタル次元は約1.2619である）。1982年、マンデルブロは『自然のフラクタル幾何学』を出版し、これはカオス理論の古典となった。^[⁸⁹^]

1977 年 12 月、ニューヨーク科学アカデミーは、デイビッド・リュエル、ロバート・メイ、ジェームズ・A・ヨーク(数学で使われる「カオス」という用語の造語者)、ロバート・ショー、気象学者のエドワード・ローレンツが出席した、カオスに関する最初のシンポジウムを開催した。翌年、ピエール・クーレとシャルル・トレッサーは「Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation」を出版し、ミッチェル・ファイゲンバウムの論文「Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations」は、3 年間の査読拒否を経て、ついに学術誌に掲載された。^{[ 90 ]}^{[ 91 ]}こうして、ファイゲンバウム (1975) とクーレ & トレッサー (1978) はカオスの普遍性を発見し、カオス理論をさまざまな現象に適用することを可能にした。

1979年、アルバート・J・リブチャバーは、ピエール・ホーエンベルクがアスペンで主催したシンポジウムで、レイリー・ベナール対流系におけるカオスと乱流を引き起こす分岐カスケードの実験的観察を発表した。彼は、その刺激的な業績により、1986年にミッチェル・J・ファイゲンバウムとともにウルフ賞物理学部門を受賞した。^[⁹²^]

1986年、ニューヨーク科学アカデミーは、国立精神衛生研究所および海軍研究局と共同で、生物学および医学におけるカオスに関する最初の重要な会議を開催しました。そこで、ベルナルド・ヒューバーマンは、統合失調症患者の眼球運動機能障害の数理モデルを発表しました。^[⁹³^]これにより、例えば病的な心周期の研究において、カオス理論の応用を通じて1980年代の生理学が刷新されました。

1987年、Per Bak、Chao Tang、Kurt WiesenfeldはPhysical Review Letters誌^{[ 94 ]}に論文を発表し、自然界で複雑性が生じるメカニズムの一つと考えられている自己組織化臨界性（SOC）を初めて記述した。

バク・タン・ヴィーゼンフェルド砂山のような主に実験室ベースのアプローチに加えて、スケール不変の挙動を示すことが知られている（または疑われている）大規模な自然システムや社会システムに焦点を当てた研究も数多く行われている。これらのアプローチは、調査対象分野の専門家によって（少なくとも当初は）必ずしも歓迎されたわけではありませんでしたが、SOC は、地震（SOC が発見されるずっと前から、地震規模の統計的分布を記述するグーテンベルク・リヒターの法則や余震の頻度を記述する大森の法則^{[ 95 ]}など、スケール不変の挙動の原因として知られていました）、太陽フレア、金融市場などの経済システムの変動（経済物理学では SOC への言及がよく見られます）、景観形成、森林火災、地滑り、伝染病、生物進化（例えば、ナイルズ・エルドリッジとスティーブン・ジェイ・グールドが提唱した「断続平衡」理論の背後にある動的メカニズムとして SOC が用いられています）など、多くの自然現象を説明する有力な候補として確立されました。イベント規模のスケールフリー分布の意味合いから、戦争の発生も SOC の例として検討されるべき現象であると示唆する研究者もいます。 SOCに関するこれらの調査には、モデリングの試み（新しいモデルの開発、または既存のモデルを特定の自然システムの特性に合わせて調整すること）と、自然のスケーリング法則の存在や特性を判断するための広範なデータ分析の両方が含まれています。

また、1987年にジェームズ・グリークは『カオス：新しい科学の創造』を出版し、ベストセラーとなり、カオス理論の一般原理とその歴史を広く一般に紹介した。^{[ 96 ]}当初は少数の孤立した個人の領域であったカオス理論は、非線形システム分析という名のもとに、次第に学際的かつ制度的な学問分野として出現した。トーマス・クーンの『科学革命の構造』 （1962年）で明らかにされたパラダイムシフトの概念に言及し、多くの「カオス学者」（自らをそう称する者もいた）は、この新しい理論がそのようなシフトの一例であると主張し、グリークもその主張を支持した。

より安価で高性能なコンピュータが利用可能になったことで、カオス理論の適用範囲が広がっています。現在、カオス理論は活発な研究分野であり、数学、トポロジー、物理学、^{[ 98 ]}社会システム、^[⁹⁹^]人口モデリング、生物学、気象学、天体物理学、情報理論、計算神経科学、パンデミック危機管理、^[¹⁶^]^[¹⁷^]など、さまざまな分野^に^{関わっています}^。

混沌を表すのに一般的だが不正確な比喩

初期条件に対する敏感な依存性（つまりバタフライ効果）は、次の民間伝承を用いて説明されている。^{[ 96 ]}

釘が一本足りなかったために、蹄鉄は失われた。蹄鉄が足りなかったために、馬は失われた。馬が失われたために、騎手は失われた。騎手が失われたために、戦いは敗北した。戦いがなかったために、王国は滅びた。すべては、蹄鉄の釘が一本足りなかったために。

上記に基づき、多くの人々は、小さな初期摂動の影響が時間とともに単調に増加し、どんな小さな摂動でも最終的には数値積分に大きな影響を与える可能性があると誤解している。しかし、2008年にローレンツは、この詩は真の混沌を記述しているのではなく、不安定性というより単純な現象をよりよく説明しており、この詩は暗黙のうちに、その後の小さな出来事が結果を覆すことはないことを示唆していると述べた。^{[ 100 ]}分析に基づくと、この詩は発散のみを示しており、有界性は示していない。^{[ 6 ]}有界性は蝶の模様の有限サイズにとって重要である。^{[ 6 ]}上記の詩の特徴は「有限時間依存」と表現された。^{[ 101 ]}

アプリケーション

カオス理論は気象パターンの観察から生まれたものですが、さまざまな状況に応用されるようになりました。今日、カオス理論の恩恵を受けている分野には、地質学、数学、生物学、コンピュータ科学、経済学、^{[ 103 ]}^{[ 104 ]}^{[ 105 ]}工学、^{[ 106 ]}^{[ 107 ]}金融、^{[ 108 ]}^{[ 109 ]}^{[ 110 ]}^{[ 111 ]}^{[ 112 ]}気象学、哲学、人類学、^{[ 15 ]}物理学、^{[ 113 ]}^{[ 114 ]}^{[ 115 ]}政治学、^{[ 116 ]}^{[ 117 ]}人口動態、^{[ 118 ]}およびロボット工学などがあります。以下にいくつかのカテゴリを例とともに示しますが、これは決して網羅的なリストではなく、新しい応用例が次々と現れています。

暗号化

カオス理論は長年にわたり暗号学で利用されてきました。過去数十年間、カオスと非線形力学は数百もの暗号プリミティブの設計に利用されてきました。これらのアルゴリズムには、画像暗号化アルゴリズム、ハッシュ関数、安全な擬似乱数生成器、ストリーム暗号、電子透かし、ステガノグラフィーなどが含まれます。^{[ 119 ]}これらのアルゴリズムの大部分は単峰性カオス写像に基づいており、これらのアルゴリズムの大部分はカオス写像の制御パラメータと初期条件を鍵として使用しています。^{[ 120 ]}より広い視点から、一般性を損なうことなく、カオス写像と暗号システムの類似性が、カオスベースの暗号アルゴリズムの設計の主な動機となっています。^{[ 119 ]}暗号の一種である秘密鍵または対称鍵は、拡散と混乱に依存しており、これはカオス理論によってうまくモデル化されています。^{[ 121 ]}

ロボット工学

ロボット工学は、近年カオス理論の恩恵を受けているもう一つの分野です。ロボットが環境と相互作用するために試行錯誤型の改良を行う代わりに、カオス理論は予測モデルの構築に使用されています。^{[ 122 ]}カオス的なダイナミクスは、受動的に歩行する二足歩行ロボットによって示されています。^{[ 123 ]}

生物学

100年以上にわたり、生物学者は個体群モデルを用いて様々な種の個体群を追跡してきた。ほとんどのモデルは連続的であるが、近年、科学者は特定の個体群にカオスモデルを適用できるようになった。^{[ 124 ]}例えば、カナダオオヤマネコのモデルに関する研究では、個体群の増加にカオス的な挙動が見られることが示された。^{[ 125 ]}カオスは水文学などの生態系にも見られる。水文学のカオスモデルには欠点があるものの、カオス理論の視点からデータを見ることで学ぶべきことはまだたくさんある。^{[ 126 ]}もう一つの生物学的応用は心拍陣痛図である。胎児監視は、可能な限り非侵襲的でありながら正確な情報を得るという微妙なバランスの上に成り立っている。胎児低酸素症の警告サインのより良いモデルは、カオスモデリングによって得られる。^{[ 127 ]}

ペリーが指摘するように、生態学におけるカオス的時系列のモデリングは制約によって助けられる。^[¹²⁸^]^:^176,177実際のカオスとモデル内のみのカオスを区別することは常に困難である可能性がある。^[¹²⁸^]^:^{176,177したがって、モデル内の制約、または比較}^{のための重複した時系列データの両方が}^、モデル^を現実に近いものに制約するのに役立つ。たとえば、ペリーとウォール 1984。^[¹²⁸^]^:^176,177遺伝子対遺伝子の共進化は、対立遺伝子頻度でカオス的ダイナミクスを示すことがある。^[¹²⁹^]変数を追加すると、これが誇張される。実際の集団の追加の側面を反映するために追加の変数を組み込んだモデルでは、カオスがより一般的である。 ^[¹²⁹^]ロバート M. メイ自身がこれらの基礎的な作物共進化研究のいくつかを行い、これがひいては分野全体の形成に役立った。^[¹²⁹^]安定した環境であっても、1つの作物と1つの病原体を組み合わせるだけで、病原体の個体数に準周期的またはカオス的な振動が生じる可能性がある。^[¹³⁰^]^：¹⁶⁹

経済

経済モデルもカオス理論の応用によって改善できる可能性はあるが、経済システムの健全性や、それに最も影響を与える要因を予測することは極めて複雑な作業である。^{[ 131 ]}経済システムと金融システムは、人々の相互作用の結果として本質的に確率的であるため、古典的な自然科学のシステムとは根本的に異なり、したがって純粋な決定論的モデルではデータの正確な表現は得られない。経済学と金融におけるカオスを検証する実証研究は、カオスの特定のテストと非線形関係のより一般的なテストとの混同もあって、非常にまちまちの結果を示している。^{[ 132 ]}

経済学におけるカオスは、再帰定量分析によって発見される可能性がある。実際、Orlando ら^{[ 133 ]}は、いわゆる再帰定量相関指数を用いて、時系列における隠れた変化を検出することができた。その後、同じ手法が、層流（規則的）相から乱流（カオス的）相への遷移やマクロ経済変数間の差異の検出、経済ダイナミクスの隠れた特徴の強調に用いられた。^{[ 134 ]}最後に、カオス理論は、経済がどのように機能するかをモデル化したり、COVID-19 のような外部イベントによるショックを組み込んだりするのに役立つ可能性がある。^{[ 135 ]}

天気と気候の予測可能性は有限である

解の初期条件への敏感な依存性（SDIC）、別名バタフライ効果のため、ローレンツ 1963 モデルのようなカオス系は、有限の予測可能期間を意味します。これは、有限の時間範囲では正確な予測が可能である一方、無限の時間範囲では不可能であることを意味します。ローレンツのカオス解の性質を考慮して、1966 年に Charney らが率いる委員会^{[ 136 ]}は、一般循環モデルから 5 日の倍増時間を外挿し、2 週間の予測限界を示唆しました。この 5 日の倍増時間と 2 週間の予測限界との関連性は、1969 年の地球大気研究計画 (GARP) の報告書にも記録されています。^{[ 137 ]} Mintz および Arakawa モデルとローレンツのモデルからの直接的および間接的な影響、ならびに Charney らのリーダーシップを認めるために、Shen らは、^{[ 138 ]は}、2週間の予測可能性の限界を「予測可能性限界仮説」と呼び、ムーアの法則との類似性を挙げている。

AI拡張モデリングフレームワーク

AI 駆動の大規模言語モデルでは、応答はフォーマットの変更やプロンプトのバリエーションなどの要因に対して敏感になることがあります。これらの感度はバタフライ効果に似ています。^{[ 139 ]} AI 駆動の大規模言語モデルを古典的な決定論的カオスシステムとして分類することは困難ですが、カオスに触発されたアプローチと技術 (アンサンブルモデリングなど) を使用して、これらの広範な言語モデルから信頼できる情報を抽出することができます (「大衆文化におけるバタフライ効果」も参照)。

その他の地域

化学では、気体の溶解度を予測することはポリマーの製造に不可欠ですが、粒子群最適化(PSO) を使用したモデルは誤った点に収束する傾向があります。カオスを導入することで、シミュレーションが停滞しないように改良された PSO が作成されました。^{[ 140 ]}天体力学、特に小惑星の観測では、カオス理論を適用することで、これらの天体が地球や他の惑星に接近する時期についてより正確な予測が可能になります。^{[ 141 ]}冥王星の5 つの衛星のうち 4 つはカオス的に回転しています。量子物理学と電気工学では、ジョセフソン接合の大規模アレイの研究はカオス理論から大きな恩恵を受けています。^{[ 57 ]}より身近なところでは、炭鉱は常に危険な場所であり、頻繁な天然ガスの漏洩が多くの死者を出しています。最近まで、いつ漏洩が発生するかを確実に予測する方法はありませんでした。しかし、これらのガスの漏洩にはカオス的な傾向があり、適切にモデル化すればかなり正確に予測できます。^{[ 142 ]}

カオス理論は自然科学以外にも応用できるが、歴史的に見て、そのような研究のほぼすべてが再現性の欠如、外部妥当性の低さ、および/または交差検証への不注意に悩まされており、その結果、予測精度が低い（サンプル外予測が試みられたとしても）。Glass ^{[ 143 ]}と Mandell および Selz ^{[ 144 ]}は、これまで EEG 研究でストレンジアトラクターやその他のカオス的挙動の兆候が示されたものはないことを発見した。

レディントンとリードボード（1992）は、人間の心臓がカオス的な特性を示す可能性があることを実証しようと試みた。彼らは、心理療法を受けている患者1人が治療セッション中に感情の強さが変化する期間を経る際の心拍間隔の変化をモニタリングした。結果は確かに決定的なものではなかった。著者らがカオス的ダイナミクスの証拠を示すために作成したさまざまなグラフ（スペクトル分析、位相軌跡、自己相関プロット）に曖昧さがあっただけでなく、カオス的挙動のより決定的な確認としてリアプノフ指数を計算しようとしたとき、著者らはそれを確実に行うことができないことに気づいた。^{[ 145 ]}

1995年の論文で、MetcalfとAllen ^{[ 146 ]}は、動物の行動において周期倍加がカオスにつながるパターンを発見したと主張した。著者らは、スケジュール誘発性多飲症と呼ばれるよく知られた反応を調べた。これは、一定期間餌を与えられなかった動物が、最後に餌を与えられたときに異常な量の水を飲むという反応である。ここで作用する制御パラメータ(r)は、餌やりが再開された後の餌やりの間隔の長さであった。著者らは、多数の動物をテストし、多くの反復実験を含めるように注意し、反応パターンの変化がrの異なる開始点によって引き起こされる可能性を排除するように実験を設計した。

時系列プロットと最初の遅延プロットは、主張を最もよく裏付けており、給餌時間の増加に伴って周期性から不規則性へとかなり明確に移行していく様子を示している。一方、様々な位相軌跡プロットとスペクトル解析は、他のグラフや全体的な理論と十分に一致しておらず、必然的にカオス的診断に至るものではない。例えば、位相軌跡は、ますます複雑化していく（そして周期性から離れていく）明確な進行を示しておらず、その過程はかなり曖昧である。また、MetcalfとAllenがスペクトルプロットで周期2と6を見出した箇所には、別の解釈の余地がある。こうした曖昧さのすべてが、結果がカオスモデルに適合することを示すために、やや回りくどい事後的な説明を必要とする。

アムンソンとブライトは、従業員と労働市場との関係を混沌とした解釈で捉えるようにキャリアカウンセリングのモデルを適応させることで、キャリアの意思決定に苦労している人々に、より良い提案ができることを見出した。^{[ 147 ]}現代の組織は、混沌をもたらす可能性のある内部および外部の力の影響を受ける、基本的な自然な非線形構造を持つ開放的な複雑適応システムとしてますます認識されている。たとえば、チームビルディングとグループ開発は、異なる個人が初めて出会うことの不確実性によってチームの軌跡が予測不可能になるため、本質的に予測不可能なシステムとしてますます研究されている。^{[ 148 ]}

Traffic forecasting may benefit from applications of chaos theory. Better predictions of when a congestion will occur would allow measures to be taken to disperse it before it would have occurred. Combining chaos theory principles with a few other methods has led to a more accurate short-term prediction model, such as the BML traffic model.^[149]

Chaos theory has been applied to environmental water cycle data (also hydrological data), such as rainfall and streamflow.^[150] These studies have yielded controversial results, because the methods for detecting a chaotic signature are often relatively subjective. Early studies tended to "succeed" in finding chaos, whereas subsequent studies and meta-analyses called those studies into question and provided explanations for why these datasets are not likely to have low-dimension chaotic dynamics.^[151]

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帰属

この記事は、無料コンテンツ作品のテキストを組み込んでいます。CC -BY ライセンス（ライセンスステートメント/許可）に基づき使用許諾されています。テキストは、 Bo-Wen Shen、Roger A. Pielke, Sr.、Xubin Zeng、Jialin Cui、Sara Faghih-Naini、Wei Paxson、および Robert Atlas 著、 MDPI 百科事典の Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models から引用されています。

さらに読む

記事

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外部リンク

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心理学および生命科学におけるカオス理論学会
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グライックの混沌（抜粋） 2007年2月2日にウェイバックマシンにアーカイブされました
オックスフォード大学システム分析・モデリング・予測グループ
マッキー・グラス方程式に関するページ
『高まる不安 ― カオスの数学』（2008年）BBCドキュメンタリー、監督：デヴィッド・マローン
進化の混沌理論― Newscientistに掲載された記事。生命のフラクタル性や混沌など、進化と非線形システムの類似点を取り上げている。
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シャーコフスキーの定理は、周期3の規則的なサイクルを示す連続的な一次元システムは、

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上記の 3つの常微分方程式のセットは

、

[ 46 ] 1963 年以降、非線形性の度合いの増加の影響、

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結合離散マップ[ 53 ]

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