確率力学の超対称理論

物理学者が確率微分方程式を捉える方法は、本質的には連続時間非自律力学系であり、それは次のように定義できる。 $${\displaystyle {\dot {x}}(t)=F(x(t))+(2\Theta )^{1/2}G_{a}(x(t))\xi ^{a}(t)\equiv {\mathcal {F}}(\xi (t)),}$$ どこ${\textstyle x\in X}$は閉じた滑らかな多様体上の点である。${\textstyle X}$力学系理論では状態空間と呼ばれ、物理学では、${\displaystyle X}$はしばしば、変数の半分が運動量の意味を持つシンプレクティック多様体であり、位相空間と呼ばれます。さらに、${\displaystyle F\in TX}$は、接空間からの十分に滑らかな流れベクトル場である。${\displaystyle X}$進化の決定論的法則の意味を持ち、${\displaystyle G_{a}\in TX,a=1,\ldots ,D_{\xi }}$は、システムが時間依存ノイズとどのように結合しているかを指定する、十分に滑らかなベクトル場の集合である。${\displaystyle \xi (t)\in \mathbb {R} ^{D_{\xi }}}$これは、加法的か乗法的かによって区別されます。${\displaystyle G_{a}}$は、位置に依存しない/依存する${\displaystyle X}$。

ノイズのランダム性については後ほど説明します。今のところ、ノイズは時間の決定論的な関数であり、上記の式は時間依存のフローベクトル場を持つ常微分方程式（ODE）です。$\displaystyle {\mathcal {F}}}$この常微分方程式の解/軌跡は、微分不可能な初期条件に対しても微分可能です。${\displaystyle \xi (t)}$'s. ^{[ 33 ]}言い換えれば、ノイズ構成に依存する微分同相写像の2パラメータ族が存在する。 $${\displaystyle M(\xi )_{tt'}:X\to X,M(\xi )_{tt'}\circ M(\xi )_{t't''}=M(\xi )_{tt''},\left.M(\xi )_{tt'}\right|_{t=t'}={\text{Id}}_{X},}$$ 初期条件を持つ常微分方程式の解${\displaystyle x(t')=x'}$次のように表現できます${\displaystyle x(t)=M(\xi )_{tt'}(x')}$。

ダイナミクスは次のように定義できます。時刻において${\displaystyle t'}$システムは確率分布によって記述される${\displaystyle P(x)}$すると、ある関数の平均値${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$後日${\displaystyle t}$次のように与えられます。 $${\displaystyle {\bar {f}}(t)=\int _{X}f\left(M(\xi )_{tt'}(x)\right)P(x)dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{D}=\int _{X}f(x){\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}\left(P(x)dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{D}\right).}$$ ここ$\displaystyle {\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}}$逆写像によって誘発される作用または引き戻しは、${\displaystyle M(\xi )_{tt'}^{-1}=M(\xi )_{t't}}$座標に依存しない設定で最高次の微分形式として理解される確率分布について。

プルバックはより広い概念であり、k形式、つまり他の可能な次数kの微分形式についても定義されます。${\displaystyle 0\leq k\leq D=dimX}$、${\displaystyle \psi (x)=\psi _{i_{1}....i_{k}}(x)dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{k}\in \Omega ^{(k)}(x)}$、 どこ${\displaystyle \オメガ ^{(k)}(x)}$は、点 x におけるすべての k 形式を表す空間です。上記の例によれば、k 形式の時間的変化は次のように表されます。 $${\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}|\psi (t')\rangle ,}$$ どこ${\displaystyle |\psi \rangle \in \Omega (X)=\bigoplus \nolimits _{k=0}^{D}\Omega ^{(k)}(X)}$これは、量子論の用語を採用した時間依存の「波動関数」である。

例えば、軌道や位置とは異なり、${\displaystyle X}$プルバックは非線形の場合でも線形オブジェクトです${\displaystyle X}$線形オブジェクトとして、プルバックはノイズ構成にわたって平均化することができ、一般化伝達演算子 (GTO) ^{[ 4 ] [ 5 ]}につながります。これは、SDE 理論の確率的進化演算子および/または Parisi-Sourlas アプローチの力学系理論における対応物です。ガウス白色ノイズの場合、${\displaystyle \langle \xi ^{a}(t)\rangle _{\text{noise}}=0,\langle \xi ^{a}(t)\xi ^{b}(t')\rangle _{\text{noise}}=\delta ^{ab}\delta (t-t')}$...、GTOは $${\displaystyle {\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\langle {\hat {M}}(\xi )_{t't}^{*}\rangle _{\text{noise}}=e^{-(t-t'){\hat {H}}}.}$$ ここで、無限小GTOは、SDEの従来のアプローチにおけるストラトノビッチ解釈における確率的進化演算子である^{[ 34 ]。}$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {L}}_{F}-\Theta {\hat {L}}_{G_{a}}{\hat {L}}_{G_{a}},}$$ どこ${\displaystyle {\hat {L}}_{F}}$は、添え字で指定されたベクトル場に沿ったリー微分です。ただし、その基本的な数学的意味（ノイズを平均化したプルバック）により、GTOは一意であることが保証されます（下記の演算子表現を参照）。

カルタンの公式を用いると、リー微分は「d-完全」である、つまり、例えば次のように表すことができる。${\displaystyle {\hat {L}}_{A}=[{\hat {d}},{\hat {\imath }}_{A}]}$、ここで角括弧はバイグレード整流子を表し、${\displaystyle {\hat {d}}}$そして${\displaystyle {\hat {\imath }}_{A}}$はそれぞれ、Aに沿った外微分と内乗であり、具体的には、

入手できる場所${\displaystyle {\hat {\bar {d}}}={\hat {\imath }}_{\mathcal {F}}-\Theta {\hat {\imath }}_{G_{a}}{\hat {L}}_{G_{a}}}$この形式の進化演算子は超対称量子力学のものと類似しており、ウィッテン型の位相場理論の中心的な特徴である。 ^{[ 26 ]}これは、GTOがと可換であると仮定している。${\displaystyle {\hat {d}}}$これは、モデルの（超）対称性です。この対称性は、特に外微分が代数トポロジーにおいて基本的な役割を果たすことから、トポロジカル超対称性（TS）と呼ばれます。TSは、GTOの固有状態を二重項にペアにします。

GTOは擬エルミート演算子です。^{[ 21 ]}左と右の固有ベクトル、つまりブラとケットが非自明な関係にある完全な双直交固有系を持ちます。GTOの固有系には、物理​​的に意味のあるモデル（離散スペクトルを持ち、固有値の実部が下限に制限されているモデル）の可能なスペクトルを右図に示す3つの主要なタイプに制限する、ある一定の普遍的な性質があります。^{[ 35 ]}これらの性質には以下が含まれます。

• 固有値は実数であるか、あるいは力学系理論でリューレ・ポリコット共鳴と呼ばれる複素共役対として現れる。このスペクトル形式は、擬似時間反転対称性の存在を示唆している。
• 各固有状態には明確に定義された次数がある。
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{(0,D)}}$TSを破らない、${\displaystyle {\text{min Re}}(\operatorname {spec} {\hat {H}}^{(0,D)})=0}$。
• 各ド・ラームコホモロジーは、次のようなゼロ固有値の超対称「シングレット」を1つ提供する。${\displaystyle {\hat {d}}|\theta \rangle =0,\langle \theta |{\hat {d}}=0}$シングレットから${\displaystyle {\hat {H}}^{(D)}}$これは「エルゴード的ゼロ」として知られる定常確率分布です。
• 他のすべての固有状態は、TSによって関連付けられた非超対称な「二重項」である。${\displaystyle {\hat {H}}|\alpha \rangle =H_{\alpha }|\alpha \rangle ,\;{\hat {H}}|\alpha '\rangle =H_{\alpha }|\alpha '\rangle }$そして${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {H}}=\langle \alpha |H_{\alpha },\langle \alpha '|{\hat {H}}=\langle \alpha '|H_{\alpha }}$、 どこ${\displaystyle H_{\alpha }}$は対応する固有値であり、${\displaystyle |\alpha '\rangle ={\hat {d}}|\alpha \rangle ,\;\langle \alpha |=\langle \alpha '|{\hat {d}}}$。

力学系理論では、有限時間GTOのスペクトル半径が1より大きい場合、システムはカオス的であると特徴付けられます。この条件下では、分配関数、 $${\displaystyle Z_{tt'}=Tr{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\sum \nolimits _{\alpha }e^{-(t-t')H_{\alpha }},}$$ 無限に長い進化の極限では指数関数的に増加し、閉じた解の数が指数関数的に増加することを示している。これはカオス力学の特徴である。無限小GTOの観点から見ると、この条件は次のようになる。 $${\displaystyle \Delta =-\min _{\alpha }{\text{Re }}H_{\alpha }>0,}$$ どこ${\displaystyle \Delta }$は指数関数的成長率であり、「圧力」として知られ、位相エントロピーなどの動的エントロピーの一種です。図中のスペクトルbとcはこの条件を満たしています。

この方法で確率的カオスを定義することの、他の可能なアプローチと比較した顕著な利点の1つは、位相的超対称性の自発的崩壊と等価であることです（後述参照）。したがって、ゴールドストーンの定理を通じて、一般に1/fノイズとして知られるカオス的挙動の実験的特徴を説明できる可能性があります。

もう一つの興味深い対象は、GTOの 鋭い軌跡である。$${\displaystyle W=Tr(-1)^{\hat {k}}{\hat {\mathcal {M}}}_{tt'}=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{k_{\alpha }}e^{-(t-t')H_{\alpha }},}$$ どこ${\displaystyle {\hat {k}}|\psi _{\alpha }\rangle =k_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle }$と${\displaystyle {\hat {k}}}$微分形式の次数演算子である。これは、物理学でウィッテン指数として知られる位相的性質の基本的な対象である。GTOの固有系の性質から、超対称一重項のみがウィッテン指数に寄与する。${\displaystyle W=\sum \nolimits _{k=0}^{D}(-1)^{k}B_{k}=Eu.Ch(X)}$、 どこ${\displaystyle Eu.Ch.}$はオイラー標数であり、Bは対応する次数を持つ超対称一重項の数です。これらの数は、GTO の性質の 1 つである、各ド・ラームコホモロジー類が 1 つの超対称一重項を提供するという性質から、ベッチ数に等しくなります。

Parisi–Sourlas法の考え方は、 BRSTゲージ固定手順を用いてノイズの分配関数をモデルの動的変数で書き換えることである。 ^{[ 25 ] [ 26 ]}結果として得られる式はWitten指数であり、その物理的意味は（位相因子を除いて）ノイズの分配関数である。

ウィッテン指数の経路積分表現は、次の3つのステップで実現できます。(i)ノイズの分配関数に動的変数を導入する。(ii) BRSTゲージを用いて、経路上の積分をSDEの軌跡に固定する。これはグリボフコピーと見なすことができる。(iii)ノイズの積分を除外する。これは次のように表現できます。

ここでは、ノイズはガウス白色であると仮定し、pbcは周期境界条件を表します。${\displaystyle \textstyle J(\xi )}$ヤコビアンが（符号を除いて）ヤコビアンを補償しているか${\displaystyle \delta }$-機能的、${\displaystyle \Phi }$は、元のフィールドに加えて、フィールドの集合です。${\displaystyle x}$ファデーエフ＝ポポフの幽霊${\displaystyle \chi ,{\bar {\chi }}}$そしてラグランジュ乗数、${\displaystyle B}$位相的および/またはBRST超対称性は、 $${\displaystyle Q=\textstyle \int d\tau (\chi ^{i}(\tau )\delta /\delta x^{i}(\tau )+B_{i}(\tau )\delta /\delta {\bar {\chi }}_{i}(\tau )),}$$ これは外微分の経路積分版と見なすことができ、ゲージフェルミオン ${\textstyle \Psi =\int d\tau (\imath _{\dot {x}}-{\bar {d}})}$と ${\textstyle \textstyle {\bar {d}}=\textstyle \imath _{F}-\Theta \imath _{G_{a}}L_{G_{a}},{\text{ and }}L_{G_{a}}=(Q,\imath _{G_{a}})}$そして${\textstyle \imath _{A}=i{\bar {\chi }}A}$これらは、リー微分と内積の経路積分版である。

パリシ・スーラス法は、空の理論のゲージ固定のように見えるという点で独特である。ゲージ固定項は作用の唯一の部分である。これはウィッテン型位相場理論の決定的な特徴である。したがって、パリシ・スーラス法はTFT ^{[ 26 ] [ 25 ] [ 27 ] [ 29 ] [ 3 ] [ 30 ]} であり、TFTとして位相不変量である対象を持つ。パリシ・スーラス汎関数はその1つである。これは本質的にウィッテン指数の経路積分表現である。位相的性質${\displaystyle W}$これは、汎関数のゲージ固定特性により、SDEの解のみが寄与することが保証されることに注目することでわかる。各解は正または負の単位を提供する。 $${\displaystyle W=\langle \iint _{p.b.c}J(\xi )\left(\prod \nolimits _{\tau }\delta ^{D}({\dot {x}}(\tau )-{\mathcal {F}}(x(\tau ),\xi (\tau )))\right){\mathcal {D}}x\rangle _{\text{noise}}=\textstyle \left\langle I_{N}(\xi )\right\rangle _{\text{noise}},}$$ と${\displaystyle I_{N}(\xi )=\sum \nolimits _{\text{solutions}}\operatorname {sign} J(\xi )}$いわゆるニコライ写像のインデックスであり、閉経路の空間から、これらの閉経路をSDEの解にするノイズ構成への写像である。${\textstyle \xi ^{a}(x)=G_{i}^{a}({\dot {x}}^{i}-F^{i})/(2\Theta )^{1/2}}$このマップのインデックスは、SDEがベクトル場の役割を担い、SDEの解がインデックスを持つ臨界点の役割を担う、無限次元閉経路空間におけるポアンカレ・ホップの定理の実現と見なすことができる。${\displaystyle \operatorname {sign} J(\xi )=\operatorname {sign} {\text{Det }}\delta \xi /\delta x.}$${\textstyle I_{N}(\xi )}$これはノイズ構成に依存しない位相的オブジェクトです。これは自身の確率的平均に等しく、さらにそれはウィッテン指数に等しくなります。

ノイズの分配関数と同様に、ウィッテン指数にはシステムのダイナミクスに関する情報は含まれておらず、システムのダイナミクスを直接調査するために使用することはできません。ダイナミクスに関する情報は、確率的進化演算子（SEO）である、開境界条件を持つパリシ・スーラス経路積分に含まれています。${\displaystyle (Q,\Psi (\Phi ))=\int _{t'}^{t}d\tau (iB{\dot {x}}+i{\dot {\chi }}{\bar {\chi }}-H)}$、 どこ${\displaystyle H=(Q,{\bar {d}})}$SEOの演算子表現は次のように導出できます。 $${\displaystyle \iint _{{x\chi (t')=x_{i}\chi _{i}} \atop {x\chi (t)=x_{f}\chi _{f}}}e^{\int _{t'}^{t}d\tau (iB{\dot {x}}+i{\dot {\chi }}{\bar {\chi }}-H)}{\mathcal {D}}\Phi =\langle x_{f}\chi _{f}|e^{-(t-t'){\hat {H}}}|x_{i}\chi _{i}\rangle ,}$$ 極めて小さなSEO${\displaystyle {\hat {H}}=\left.H(xB\chi {\bar {\chi }})\right|_{B,{\bar {\chi }}\to {\hat {B}},{\hat {\bar {\chi }}}}}$、 と${\displaystyle i{\hat {B}}_{i}=\partial /\partial x^{i},i{\hat {\bar {\chi }}}_{i}=\partial /\partial \chi ^{i}}$SEOの明示的な形式には、運動量演算子と位置演算子の非可換性から生じる曖昧さが含まれている。${\displaystyle Bx}$経路積分表現では、${\displaystyle \alpha }$-演算子表現における解釈のファミリー：${\displaystyle \alpha {\hat {B}}{\hat {x}}+(1-\alpha ){\hat {x}}{\hat {B}}.}$同じ曖昧さは SDE の理論でも生じ、${\displaystyle \alpha }$SDEの異なる解釈として言及される${\displaystyle \alpha =1{\text{ and }}1/2}$それぞれ伊藤解釈とストラトノヴィッチ解釈である。

この曖昧さは、追加の条件によって解消できます。量子論では、その条件はハミルトニアンのエルミート性であり、これはワイル対称化規則によって満たされます。${\displaystyle \alpha =1/2}$STSでは、SEOがGTOと等しいという条件があり、これは以下の条件でも達成されます。${\displaystyle \alpha =1/2}$言い換えれば、SDE のストラトノビッチ解釈のみが力学系理論のアプローチと整合している。他の解釈は、対応する SEO のシフトされたフローベクトル場によって異なる。${\displaystyle F_{\alpha }=F-\Theta (2\alpha -1)(G_{a}\cdot \partial )G_{a}}$。

STSのフェルミオンは、微分形式として理解される波動関数の微分を表します。^{[ 3 ]}これらの微分および/またはフェルミオンは、バタフライ効果を定義する確率的リアプノフ指数^{[ 2 ]}と本質的に結びついています。したがって、これらのフェルミオンの有効場理論はバタフライ効果の理論です。それは生成汎関数を介して定義できます。

どこ${\displaystyle \eta }$外部プローブ場はシステムに結合され、${\displaystyle g}$は基底状態、すなわち、固有値の実部が最小となる固有状態の集合から選択されたGTOの固有状態です。これは応答の安定性を確保するために必要な条件です。基底状態は、摂動なしに長時間進化することを許容したシステムを表します。生成汎関数は、基底状態が外部摂動にどのように応答するかを記述します。

TSが自発的に破れると、基底状態は縮退し、システムは容易に励起される。高次元理論では、この縮退は、基底状態より上のギャップレス励起ブランチであるゴールドスティーノへと発展する。ゴールドスティーノのギャップレス性により、結果として得られる有効場理論はスケール不変でなければならない、つまり、 相関関数の一部が長距離である共形場理論^{[ 37 ]となる[ 38 ]} 。これは、 1/fノイズ として知られるカオス力学における長距離挙動の広範な発生を定性的に説明する^{[ 22 ]}。1 /fノイズのより厳密な理論的説明は未解決問題のままである。

1980年代後半以降、^{[ 39 ] [ 40 ]}カオスの境界 という概念が出現しました。これは、従来のカオスの境界にある有限幅の相で、そのダイナミクスは、太陽フレア、地震、ニューロン雪崩などのべき乗則分布の瞬間的プロセスによって支配されることが多いです。 ^{[ 41 ]} この相は、情報処理にとって潜在的に重要であることも認識されています。^{[ 42 ] [ 43 ]}その現象論的理解は、主に自己適応と自己組織化 の概念に基づいています。^{[ 44 ] [ 45 ]}

STS はカオスの境界について次のように説明しています(右の図を参照)。^{[ 22 ] [ 46 ]}ノイズが存在する場合、TS は決定論的カオスのようにフローベクトル場の 非積分性によってだけでなく、ノイズによって誘発されるインスタントンによっても自発的に破れる可能性があります。 ^{[ 47 ]} この条件下では、ダイナミクスは、ゴールドストーンの定理で規定されているように、べき乗則分布を持つインスタントンによって支配されなければなりません。決定論的極限では、ノイズによって誘発されるインスタントンは消滅し、この種のノイズによって誘発されるダイナミクスをホストする位相が決定論的カオスの境界に崩壊します (右の図を参照)。