ジョセフソン効果

物理学において、ジョセフソン効果は、2つの超伝導体が何らかの障壁または制限を挟んで近接して配置されたときに発生する現象です。この効果は、1962年に弱いリンクを横切る電流と電圧の数学的関係を予測した英国の物理学者ブライアン・ジョセフソンにちなんで名付けられました。 ^{[1] [2]}これは、量子力学の効果が原子スケールではなく通常のスケールで観察可能な、マクロな量子現象の例です。ジョセフソン効果は、電圧や周波数などの異なる物理的測定値間の正確な関係を示し、高精度の測定を可能にするため、多くの実用的な用途があります。

ジョセフソン効果により、電圧を印加しなくてもジョセフソン接合(JJ)と呼ばれるデバイスを流れる電流(超電流) が発生します。ジョセフソン接合は、弱いリンクで結合された 2 つ以上の超伝導体で構成されます。弱いリンクは、薄い絶縁バリア (超伝導体-絶縁体-超伝導体接合、または SIS)、非超伝導金属の短いセクション (SNS)、または接触点で超伝導を弱める物理的な狭窄 (ScS) のいずれかです。

ジョセフソン接合は、SQUID、超伝導量子ビット、RSFQデジタルエレクトロニクスなどの量子力学回路で重要な用途を持っています。1ボルトのNIST標準は、直列に接続された20,208個のジョセフソン接合の配列によって達成されます。^[3]

DCジョセフソン効果は1962年以前の実験でも確認されていたが^[4] 、絶縁障壁の「超短絡」または破綻により超伝導体間で電子が直接伝導する現象に起因するものと考えられていた。

1962年、ブライアン・ジョセフソンは超伝導トンネル効果に興味を持つようになった。当時23歳で、ケンブリッジ大学モンド研究所のブライアン・ピパードの大学院2年生だった。その年、ジョセフソンは、1961年から1962年の学年度にサバティカル休暇を取っていたベル研究所の従業員フィリップ・W・アンダーソンの多体理論のコースを受講した。このコースでジョセフソンは超伝導体における対称性の破れという概念に触れ、「対称性の破れという概念に魅了され、実験的にそれを観察する方法があるのではないかと考えた」。ジョセフソンは、イヴァル・ジャーバーとハンス・マイスナーの実験と、ロバート・パーメンターの理論的研究を研究した。ピパードは当初、トンネル効果はあり得るが、小さすぎて目立たないだろうと考えていたが、ジョセフソンは、特にアンダーソンが彼に、超伝導体-障壁-常伝導金属系に関するコーエン、ファリコフ、フィリップスによる「超伝導トンネル」のプレプリントを紹介した後、同意しなかった。^{[5] [6] : 223–224}

ジョセフソンと彼の同僚たちは当初、ジョセフソンの計算の妥当性について確信が持てなかった。アンダーソンは後に次のように回想している。

ジョセフソン、ピパード、そして私、そしてモンドのお茶会にいつも座ってその後数週間の議論に参加した他のさまざまな人々も、電流が位相に依存するという事実の意味に非常に困惑していました。

さらに検討を重ねた結果、ジョセフソンの結果は妥当であると結論づけられた。ジョセフソンは1962年6月に「超伝導トンネル効果における新たな効果の可能性」をPhysics Letters誌^{に投稿した[1]} 。より定評のあるPhysical Review Letters誌ではなく、新しい雑誌であるPhysics Letters誌が選ばれたのは、結果が不確実だったためである。当時すでにノーベル賞を受賞していたジョン・バーディーンは、1962年当初はジョセフソンの理論に懐疑的であったが、さらなる実験と理論的解明を経て理論を受け入れるに至った^{[6] 。222～227項}も参照。ジョン・バーディーン § ジョセフソン効果論争。

1963年1月、アンダーソンとベル研究所の同僚ジョン・ローウェルは、ジョセフソン効果の実験的観測を主張する最初の論文「ジョセフソン超伝導トンネル効果の可能性のある観測」をフィジカル・レビュー・レターズ誌に提出した。 ^[7]これらの著者は、強制執行されることはなかったが、異議を唱えられることもなかった効果に関する特許^{[8]を取得した。 [要出典]}

ジョセフソンの予言以前は、量子トンネル効果によって絶縁障壁を単一の（つまり非対の）電子が通過できることしか知られていなかった。ジョセフソンは超伝導クーパー対のトンネル効果を初めて予言した。この業績により、ジョセフソンは1973年にノーベル物理学賞を受賞した。 ^[9]ジョン・バーディーンも推薦者の一人であった。^{[6] : 230}

ジョセフソン接合の種類には、φ ジョセフソン接合（π ジョセフソン接合はその特殊な例）、長ジョセフソン接合、超伝導トンネル接合などがあります。その他の用途には次のものがあります。

• 「デイエムブリッジ」は薄膜ジョセフソン接合であり、その弱結合部は数マイクロメートル以下の超伝導線で構成されている。^{[10] [11]}
• ジョセフソン接合数はデバイスの複雑さを表す代理変数である
• SQUID（超伝導量子干渉装置）は、ジョセフソン効果を利用して動作する非常に感度の高い磁力計である。
• 超流動ヘリウム量子干渉装置（SHeQUID）は、DC-SQUIDの超流動ヘリウム類似体である^[12]
• 精密計測学において、ジョセフソン効果は周波数と電圧の間の再現可能な変換である。ジョセフソン電圧標準は、セシウム標準周波数定義を採用し、電圧の標準表現を与える。
• 単電子トランジスタは超伝導材料から作られることが多く、「超伝導単電子トランジスタ」と呼ばれる。^[13]
• 素電荷は、ジョセフソン定数と量子ホール効果に関連するフォン・クリッツィング定数によって最も正確に測定される。
• RSFQデジタル エレクトロニクスは、シャント ジョセフソン接合に基づいています。接合の切り替えにより、1 つの磁束量子 が放出されます。その有無は、バイナリ 1 と 0 を表します。${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2e}}h}$
• 超伝導量子コンピューティングでは、ジョセフソン接合を磁束量子ビットや位相と電荷が共役変数である他の方式などの量子ビットとして使用します。^[14]
• 超伝導トンネル接合検出器は超伝導カメラに使用されている

ジョセフソン効果は量子力学の法則を使って計算できる。右に単一のジョセフソン接合の図を示す。超伝導体 A がギンツブルグ・ランダウ秩序パラメータ を持ち、超伝導体 B が を持つと仮定する。これは 2 つの超伝導体のクーパー対の波動関数として解釈できる。接合の電位差が の場合、2 つの超伝導体間のエネルギー差は である。これは、各クーパー対が 1 つの電子の 2 倍の電荷を持つためである。したがって、この2 状態量子システムのシュレーディンガー方程式は次のようになる。^[15]${\displaystyle \psi _{A}={\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}}$${\displaystyle \psi _{B}={\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2eV}$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}\\{\ sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}eV&K\\K&-eV\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {n_{A}}}e^{i \phi _{A}}\\{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}\end{pmatrix}},}$$

ここで定数は接合の特性です。上記の方程式を解くには、まず超伝導体Aの秩序パラメータの時間微分を計算します。 ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}({\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}})={\dot {\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}+{\sqrt {n_{A}}}(i{\dot {\phi }}_{A}e^{i\phi _{A}})=({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}},}$$

したがってシュレーディンガー方程式は次のようになります。

$${\displaystyle ({\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A})e^{i\phi _{A}}={\frac {1}{i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}e^{i\phi _{A}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\phi _{B}}).}$$

接合部を挟んだギンツブルグ・ランダウ秩序パラメータの位相差はジョセフソン位相と呼ばれる。

$${\displaystyle \varphi =\phi _{B}-\phi _{A}.}$$したがって、シュレーディンガー方程式は次のように書き直すことができます。

$${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}+i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i \hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }),}$$

その複素共役方程式は次のようになります。

$${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}-i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{- i\hbar }}(eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }).}$$

2つの共役方程式を足し合わせて次の式を消去します。 ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{A}}$

$${\displaystyle 2{\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {1}{i\hbar }}(K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }-K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi })={\frac {K{\sqrt {n_{B}}}}{\hbar }}\cdot 2\sin \varphi .}$$

なので、次のようになります。 ${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}={\frac {{\dot {n}}_{A}}{2{\sqrt {n_{A}}}}}}$

$${\displaystyle {\dot {n}}_{A}={\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi .}$$

ここで、2つの共役方程式を減算して消去します。 ${\displaystyle {\dot {\sqrt {n_{A}}}}}$

$${\displaystyle 2i{\sqrt {n_{A}}}{\dot {\phi }}_{A}={\frac {1}{i\hbar }}(2eV{\sqrt {n_{A}}}+K{\sqrt {n_{B}}}e^{i\varphi }+K{\sqrt {n_{B}}}e^{-i\varphi }),}$$

これにより、次のようになります。

$${\displaystyle {\dot {\phi }}_{A}=-{\frac {1}{\hbar }}(eV+K{\sqrt {\frac {n_{B}}{n_{A}}}}\cos \varphi ).}$$

同様に、超伝導体 B についても次のことが言えます。

$${\displaystyle {\dot {n}}_{B}=-{\frac {2K{\sqrt {n_{A}n_{B}}}}{\hbar }}\sin \varphi ,\,{\dot {\phi }}_{B}={\frac {1}{\hbar }}(eV-K{\sqrt {\frac {n_{A}}{n_{B}}}}\cos \varphi ).}$$

ジョセフソン位相の発展はであり、電荷キャリア密度の時間微分は電流に比例することに注目すると、上記の解はジョセフソン方程式を与える：^[16]${\displaystyle {\dot {\varphi }}={\dot {\phi }}_{B}-{\dot {\phi }}_{A}}$ ${\displaystyle {\dot {n}}_{A}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle n_{A}\approx n_{B}}$

${\displaystyle I(t)=I_{c}\sin(\varphi (t))}$ （１）

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {2eV(t)}{\hbar }}}$ （２）

ここで、 と はジョセフソン接合の両端の電圧とジョセフソン接合を流れる電流であり、 は臨界電流と呼ばれる接合のパラメータです。 式(1)は第1ジョセフソン関係式または弱結合電流位相関係式と呼ばれ、式(2)は第2ジョセフソン関係式または超伝導相発展方程式と呼ばれます。 ジョセフソン接合の臨界電流は超伝導体の特性に依存し、温度や外部から印加される磁場などの環境要因によっても影響を受ける可能性があります。 ${\displaystyle V(t)}$${\displaystyle I(t)}$${\displaystyle I_{c}}$

ジョセフソン定数は次のように定義されます。

$${\displaystyle K_{J}={\frac {2e}{h}}\,,}$$

そしてその逆は磁束量子である。

$${\displaystyle \Phi _{0}={\frac {h}{2e}}=2\pi {\frac {\hbar }{2e}}\,.}$$

超伝導相発展方程式は次のように再表現できます。

$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=2\pi [K_{J}V(t)]={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V(t)\,.}$$

次のように定義します。

$${\displaystyle \Phi =\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\,,}$$

接合部の電圧は次のようになります。

$${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {d\Phi }{dt}}\,,}$$

これはファラデーの電磁誘導の法則と非常によく似ています。しかし、超伝導体には磁場がないので、この電圧は磁気エネルギーから生じるのではないことに注意してください。その代わりに、この電圧はキャリア（つまりクーパー対）の運動エネルギーから生じます。この現象は運動インダクタンスとしても知られています。

ジョセフソンによって予測され、ジョセフソン方程式から直接導かれる主な効果は 3 つあります。

DC ジョセフソン効果は、トンネル効果により、外部電磁場が存在しない場合に絶縁体を横切る直流電流です。この DC ジョセフソン電流は、ジョセフソン位相 (絶縁体全体の位相差で、時間の経過に伴って一定) の正弦に比例し、 から の間の値を取ります。 ${\displaystyle -I_{c}}$${\displaystyle I_{c}}$

接合にかかる電圧が固定されている場合、位相は時間とともに直線的に変化し、電流は振幅と周波数を持つ正弦波 AC (交流)になります。つまり、ジョセフソン接合は完全な電圧-周波数変換器として機能します。 ${\displaystyle V_{DC}}$${\displaystyle I_{c}}$${\displaystyle K_{J}V_{DC}}$

単一（角）周波数 のマイクロ波放射は、ジョセフソン接合に量子化されたDC電圧^[17]を誘導することができ、その場合、ジョセフソン位相はの形を取り、接合の電圧と電流は次のようになります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{0}+n\omega t+a\sin(\omega t)}$$${\displaystyle V(t)={\frac {\hbar }{2e}}\omega (n+a\cos(\omega t)),{\text{ and }}I(t)=I_{c}\sum _{m=-\infty }^{\infty }J_{m}(a)\sin(\varphi _{0}+(n+m)\omega t),}$$

DC コンポーネントは次のとおりです。 $${\displaystyle V_{\text{DC}}=n{\frac {\hbar }{2e}}\omega ,{\text{ and }}I_{\text{DC}}=I_{c}J_{-n}(a)\sin \varphi _{0}.}$$

これはジョセフソン接合が完璧な周波数-電圧変換器のように機能することを意味し、^[18]これがジョセフソン電圧標準の理論的根拠となっている。

電流とジョセフソン位相が時間とともに変化すると、接合部の電圧降下もそれに応じて変化します。以下の導出に示すように、ジョセフソン関係により、この動作はジョセフソンインダクタンスと呼ばれる運動インダクタンスによってモデル化できることがわかります。^[19]

ジョセフソン関係式を次のように書き直す。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I}{\partial \varphi }}&=I_{c}\cos \varphi ,\\{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}&={\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V.\end{aligned}}}$

ここで、連鎖律を適用して電流の時間微分を計算します。

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial t}}={\frac {\partial I}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=I_{c}\cos \varphi \cdot {\frac {2\pi }{\Phi _{0}}}V,}$

上記の結果をインダクタの 電流-電圧特性の形で整理すると、次のようになります。

${\displaystyle V={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}{\frac {\partial I}{\partial t}}=L(\varphi ){\frac {\partial I}{\partial t}}.}$

これは、ジョセフソン位相の関数としての運動インダクタンスの式を示します。

${\displaystyle L(\varphi )={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}\cos \varphi }}={\frac {L_{J}}{\cos \varphi }}.}$

ここで、ジョセフソン接合の特性パラメータはジョセフソン インダクタンスと呼ばれます。 ${\displaystyle L_{J}=L(0)={\frac {\Phi _{0}}{2\pi I_{c}}}}$

ジョセフソン接合の運動学的動作はインダクタのものと似ていますが、関連する磁場はありません。この動作は、磁場のエネルギーではなく、電荷キャリアの運動エネルギーから生じます。

ジョセフソン接合と非線形インダクタの類似性に基づいて、超電流がジョセフソン接合を流れるときにジョセフソン接合に蓄えられるエネルギーを計算することができる。^[20]

接合部を流れる超電流は、電流位相関係 (CPR) によってジョセフソン位相と関連しています。

${\displaystyle I=I_{c}\sin \varphi .}$

超伝導相発展方程式はファラデーの法則に類似している。

${\displaystyle V=\operatorname {d} \!\Phi /\operatorname {d} \!t\,.}$

時刻 において、ジョセフソン位相が であると仮定します。その後の時刻 では、ジョセフソン位相は に進化しました。接合部のエネルギー増加は、接合部で行われた仕事に等しくなります。 ${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle \Delta E=\int _{1}^{2}IV\operatorname {d} \!{t}=\int _{1}^{2}I\operatorname {d} \!\Phi =\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}I_{c}\sin \varphi \operatorname {d} \!\left(\Phi _{0}{\frac {\varphi }{2\pi }}\right)=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\Delta \cos \varphi \,.}$

これは、ジョセフソン接合におけるエネルギーの変化は、経路ではなく、接合の初期状態と最終状態にのみ依存することを示しています。したがって、ジョセフソン接合に蓄積されるエネルギーは状態関数であり、次のように定義できます。

${\displaystyle E(\varphi )=-{\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}\cos \varphi =-E_{J}\cos \varphi \,.}$

ここにジョセフソン接合の特性パラメータがあり、ジョセフソンエネルギーと呼ばれます。これはジョセフソンインダクタンスと によって関連しています。代替の同等の定義もよく使用されます。 ${\displaystyle E_{J}=|E(0)|={\frac {\Phi _{0}I_{c}}{2\pi }}}$${\displaystyle E_{J}=L_{J}I_{c}^{2}}$${\displaystyle E(\varphi )=E_{J}(1-\cos \varphi )}$

再度、非線形磁気コイルインダクタは、電流が通過すると磁場内に位置エネルギーを蓄積することに注意してください。ただし、ジョセフソン接合の場合、超電流によって磁場は生成されません。代わりに、蓄積されたエネルギーは電荷キャリアの運動エネルギーから得られます。

抵抗容量シャント接合（RCSJ）モデル^{[21] [22]}、または単にシャント接合モデルは、上記の2つの基本的なジョセフソン関係に加えて、実際のジョセフソン接合のACインピーダンスの影響を考慮しています。

テブナンの定理によれば、^[23]接合のACインピーダンスは、理想的なジョセフソン接合に並列に接続されたコンデンサとシャント抵抗器によって表すことができます^[24]。電流駆動の完全な式は次のようになります。 ${\displaystyle I_{\text{ext}}}$

${\displaystyle I_{\text{ext}}=C_{J}{\frac {\operatorname {d} \!V}{\operatorname {d} \!t}}+I_{c}\sin \varphi +{\frac {V}{R}},}$

ここで、最初の項は変位電流と実効容量、3 番目の項は法線電流と接合部の実効抵抗です。 ${\displaystyle C_{J}}$${\displaystyle R}$

ジョセフソン侵入深さは、外部から印加された磁場が長いジョセフソン接合に侵入する典型的な長さを表します。これは通常 と表され、次の式で与えられます (SI 単位)。 ${\displaystyle \lambda _{J}}$

${\displaystyle \lambda _{J}={\sqrt {\frac {\Phi _{0}}{2\pi \mu _{0}d'j_{c}}}},}$

ここで、は磁束量子、は臨界超伝導電流密度（A/m ²）、超伝導電極のインダクタンスを特徴付ける^[25]${\displaystyle \Phi _{0}}$${\displaystyle j_{c}}$${\displaystyle d'}$

${\displaystyle d'=d_{I}+\lambda _{1}\tanh \left({\frac {d_{1}}{2\lambda _{1}}}\right)+\lambda _{2}\tanh \left({\frac {d_{2}}{2\lambda _{2}}}\right),}$

ここで、はジョセフソン障壁（通常は絶縁体）の厚さ、は超伝導電極の厚さ、およびはそれらのロンドン浸透深さです。ジョセフソン浸透深さは、臨界電流密度が非常に低い場合、通常、数μmから数mmの範囲です。^[26]${\displaystyle d_{I}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

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