コッホスノーフレーク

コッホ・ スノーフレーク（コッホ曲線、コッホ・スター、コッホ島^{[1] [2]}とも呼ばれる）はフラクタル曲線であり、最も古くから記述されているフラクタルの1つである。これは、スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホが1904年に発表した論文「初等幾何学から構成可能な接線のない連続曲線について」 ^[3]に掲載されたコッホ曲線に基づいている。

コッホ雪片は、一連の段階を繰り返すことで構築できます。最初の段階は正三角形で、次の段階は前の段階の各辺に外側への曲げを追加して、より小さな正三角形を作成することによって形成されます。雪片の構築における次の段階によって囲まれた面積は、元の三角形の面積の倍に収束しますが、次の段階の周囲は限りなく増加します。その結果、雪片は有限の面積を囲みますが、無限の周囲を持ちます。 ${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$

コッホの雪片は、どの点にも接線を引くことが不可能な連続曲線の例として構築されました。証明が純粋に解析的であった以前のワイエルシュトラス関数とは異なり、コッホの雪片は、当時幾何学的に表現できるように作成されたため、この特性は「素朴な直感」でも見ることができました。^[3]

雪片曲線がフォン・コッホ曲線とその反復構築に基づいていることは疑いの余地がありません。しかし、雪片の図は1904年に発表された最初の論文^[3]にも、1906年に拡張された回顧録^{[4]にも登場しません。そこで、雪片の図を最初に構築したのは誰なのかという疑問が生じます。この疑問を調査すると、雪片曲線はアメリカの数学者}エドワード・カスナーによるものであることが示唆されます。^{[5] [6]}

コッホのスノーフレークは、正三角形から始めて、各線分を次のように再帰的に変更すること で作成できます。

1. 線分を等しい長さの 3 つの線分に分割します。
2. ステップ 1 の中央の線分を底辺として外側を向く正三角形を描きます。
3. ステップ 2 から三角形の底辺となる線分を削除します。

このプロセスの最初の反復により、六芒星の輪郭が生成されます。

コッホ スノーフレークは、上記の手順を無限に実行したときに近づく限界です。ヘルゲ フォン コッホによって最初に説明されたコッホ曲線は、元の三角形の 3 辺のうち 1 辺のみを使用して構築されます。つまり、3 つのコッホ曲線でコッホ スノーフレークが作られます。

コッホ曲線に基づく名目上平坦な表面の表現は、同様に、各線を所定の角度で鋸歯状のセグメントに繰り返し分割することによって作成できます。^[7]

各反復でコッホ雪片の辺の数が 4 倍になるため、反復後の辺の数は次のように求められます。 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle N_{n}=3\cdot 4^{n}\,.}$$

元の正三角形の辺の長さが の場合、反復後の雪片の各辺の長さは次のようになります。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}\,,}$$

元の長さの3 倍の逆数。反復後の雪片の周囲の長さは次のようになります。 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.}$$

コッホ曲線は無限の長さを持ちます。これは、曲線の全体の長さが各反復ごとに 倍ずつ増加するためです。各反復では、前の反復の 4 倍の線分が作成され、各線分の長さは前の段階の線分の長さになります。したがって、反復後の曲線の長さは元の三角形の周囲の 倍になり、無限大に近づくにつれて制限されなくなります。 ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle ({\tfrac {4}{3}})^{n}}$${\displaystyle n}$

反復回数が無限大に近づくにつれて、周囲の限界は次のようになります。

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }3\cdot s\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty \,,}$$

以来。 ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}>1}$

次元の尺度は存在するが、これまで計算されていない。上限と下限のみが発明されている。^{[説明が必要] [8]}${\displaystyle {\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}}$

各反復では、前の反復の各辺に新しい三角形が追加されるため、反復で追加される新しい三角形の数は次のようになります。 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle T_{n}=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}={\frac {3}{4}}\cdot 4^{n}\,}$$

反復で追加される各新しい三角形の面積は、前の反復で追加された各三角形の面積であるため、反復で追加される各三角形の面積は次のようになります。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}}{9}}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}\,.}$$

ここで、は元の三角形の面積です。したがって、反復で追加される新しい面積の合計は次のようになります。 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle n}$

$${\displaystyle b_{n}=T_{n}\cdot a_{n}={\frac {3}{4}}\cdot {\left({\frac {4}{9}}\right)}^{n}\cdot a_{0}}$$

反復後の雪片の合計面積は次のようになります。 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle A_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=a_{0}\left(1+{\frac {1}{3}}\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)\,.}$$

幾何和を縮めると次のようになります。

$${\displaystyle A_{n}=a_{0}\left(1+{\frac {3}{5}}\left(1-\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\right)={\frac {a_{0}}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}$$

エリアの制限は次のとおりです。

$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{0}}{5}}\cdot \left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)={\frac {8}{5}}\cdot a_{0}\,,}$$

以来。 ${\displaystyle {\tfrac {4}{9}}<1}$

したがって、コッホの雪片の面積は元の三角形の面積と同じである。元の三角形の辺の長さで表すと次のようになる。^[9]${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$${\displaystyle s}$ $${\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}$$

コッホ雪片の回転体の、単位辺の開始正三角形の対称軸周りの体積は^{[10]である。}${\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}$

コッホ スノーフレークは、中央の 1 つの大きなコピーを囲む 6 つの小さなコピーで自己複製します。したがって、これは非反復 7 非反復タイルです (詳細については、 反復タイルを参照してください)。

コッホ曲線のフラクタル次元は です。これは直線 ( ) のフラクタル次元よりも大きいですが、ペアノの空間充填曲線( )のフラクタル次元よりも小さいです。 ${\displaystyle {\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186}$${\displaystyle =1}$${\displaystyle =2}$

曲線のどの点にも 接線を引くことは不可能です。

コッホ曲線は、ド・ラーム曲線の特殊なケースとして生じます。ド・ラーム曲線は、カントール空間を平面に写像したもので、通常は連続曲線を形成するように配置されます。連続ド・ラーム曲線上の各点は、単位区間内の実数に対応します。コッホ曲線の場合、雪片の先端は二項有理数に対応します。つまり、各先端には、異なる二項有理数で一意にラベル付けできます。

2つの異なるサイズのコッホ雪片のコピーで平面をタイル張りすることは可能です。しかし、1つのサイズの雪片だけを使用してそのようなタイル張りを行うことはできません。タイル張り内の各コッホ雪片は、2つの異なるサイズの7つの小さな雪片に分割できるため、一度に2つ以上のサイズを使用するタイル張りを見つけることも可能です。^[11]同じサイズのコッホ雪片とコッホ反雪片を使用して、平面をタイル張りすることができます。

タートルグラフィックは、オートマトンがシーケンスでプログラムされている場合に生成される曲線です。プログラム状態を選択するために Thue-Morse シーケンスメンバーを使用する場合:

• の場合、1単位前進し、${\displaystyle t(n)=0}$
• の場合、反時計回りに角度 回転します。${\displaystyle t(n)=1}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$

結果として得られる曲線はコッホ雪片に収束します。

コッホ曲線は次の書き換えシステム（リンデンマイヤーシステム）で表すことができます。

アルファベット : F

定数 : +, −

公理 ：F

生成規則 : F → F+F--F+F

ここで、F は「前進」を意味し、- は「右に 60° 回転」、+ は「左に 60° 回転」を意味します。

コッホ スノーフレークを作成するには、公理として F--F--F (正三角形) を使用します。

フォン・コッホの概念に従って、直角（二次）、他の角度（チェザロ）、円、多面体、およびそれらの高次元への拡張（それぞれ球状片とコッホキューブ）を考慮して、コッホ曲線のいくつかの変種が設計された。

正方形を使用して同様のフラクタル曲線を生成することができます。単位正方形から始めて、各反復で各辺に前の反復の正方形の 1/3 の寸法の正方形を追加すると、周囲の長さと総面積の両方が等比数列によって決定されることがわかります。面積の累進はに収束しますが、周囲の累進は無限大に発散するため、コッホの雪片の場合と同様に、無限のフラクタル曲線で囲まれた有限の領域が得られます。^[18]結果として得られる領域は、元の中心と同じで面積が 2 倍の正方形を埋め、ラジアンで回転します。周囲は接触しますが、重なることはありません。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

番目の反復でカバーされる合計領域は次のとおりです。 ${\displaystyle n}$$${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}$$

一方、周囲の全長は次のようになります。 これは、増加するにつれて無限大に近づきます。 $${\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,}$$${\displaystyle n}$

曲線に加えて、コッホ曲線を確立したヘルゲ・フォン・コッホの論文では、当時幾何学的に表現可能であった、どこでも連続だがどこでも微分化できない関数の例として、曲線のバリエーションが示されています。AB で表される基本直線から、各線分に次の式を再帰的に適用することでグラフを描くことができます。

• 線分 ( XY ) を点Cと点Eで区切って、等しい長さの 3 つの部分に分割します。
• 線分DM を描きます。ここで、M はCEの中点であり、DMはABの最初の底辺に垂直で、長さは です。${\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}}$
• 線CDとDEを描き、線CEとDM を消去します。

ABの各点は単一の高さに収束することが示されます。 がその点から最初の底までの距離として定義される場合、関数はどこでも連続であり、どこでも微分不可能です。^[3]${\displaystyle y=\phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

• ハウスドルフ次元によるフラクタルのリスト
• ガブリエルの角笛（表面積は無限だが、囲む体積は有限）
• ゴスパー曲線（ペアノ・ゴスパー曲線またはフロースネークとも呼ばれる）
• オスグッド曲線
• 自己相似性
• テラゴン
• ワイエルシュトラス関数
• 海岸線のパラドックス

ウィキメディア・コモンズには、コッホ曲線に関連するメディアがあります。

ウィキメディア・コモンズには、コッホ・スノーフレークに関連するメディアがあります。

外部ビデオ
コッホ スノーフレーク フラクタル –カーンアカデミー

• (2000) 「フォン・コッホ曲線」、Wayback Machineの efg のコンピュータ ラボ(2017 年 7 月 20 日アーカイブ)
• コッホ曲線の詩、Bernt Wahl著、Wahl.org。2019年9月23日閲覧。
• Weisstein, Eric W.「Koch Snowflake」。MathWorld 。 2019年9月23日閲覧。
  • 「コッホ曲線の7回の反復」。Wolfram Alphaサイト。 2019年9月23日閲覧。
  • 「スクエア コッホ フラクタル曲線」。Wolframデモンストレーション プロジェクト。2019年9 月 23 日閲覧。
  • 「スクエア コッホ フラクタル面」。Wolframデモンストレーション プロジェクト。2019年9 月 23 日閲覧。
• コッホ曲線のアンテナへの応用
• コッホ面の構築を示す WebGL アニメーション、tchaumeny.github.io。2019年 9 月 23 日閲覧。
• 「コッホ曲線と二次コッホ曲線の数学的分析」(PDF) 。 2012年4月26日時点のオリジナル(pdf)からアーカイブ。2011年11月22日閲覧。