シャドウイング補題

力学系の理論において、シャドウイング補題は双曲不変集合近傍における擬似軌道の挙動を記述する補題である。非公式には、この理論は、すべての擬似軌道（各ステップで丸め誤差を伴う数値的に計算された軌道と考えることができる^{[ 1 ]}）が、ある真の軌道（初期位置がわずかに変更されている）に一様に近づく、つまり擬似軌道が真の軌道によって「影を落とされる」と述べている^{[ 2 ]} 。これは、数値解が力学系の軌道を表すものとして信頼できることを示唆している。しかし、シャドウイング軌道の中には物理的に実現可能でないものもあるため、注意が必要である^{[ 3 ]}。

距離空間( X , d )からそれ自身への写像f  : X → Xが与えられたとき、 ε -擬似軌道(またはε -軌道) を次のシーケンスとして定義する。    ${\displaystyle (x_{n})}$点の${\displaystyle x_{n+1}}$ε近傍に属する${\displaystyle f(x_{n})}$。

すると、双曲不変集合の近傍では、次の命題が成り立つ。^{[ 4 ]} Λ を微分同相写像f の双曲不変集合と する。Λ の近傍 U が存在し、次の性質を持つ。任意のδ  > 0 に対して、 ε > 0 が存在し、U 内に留まる任意の (有限または無限) ε擬似軌道は、何らかの真の軌道のδ近傍内にも留まる。  

${\displaystyle \forall (x_{n}),\,x_{n}\in U,\,d(x_{n+1},f(x_{n}))<\varepsilon \quad \exists (y_{n}),\,\,y_{n+1}=f(y_{n}),\quad {\text{such that}}\,\,\forall n\,\,x_{n}\in U_{\delta }(y_{n}).}$

テリー・プラチェットの小説『Men at Arms 』（1993年）では、「影の補題」が「2次元空間にのみ存在し、数学者を食べる」架空の生物として登場する。同じ箇所でプラチェットは「量子気象蝶」にも言及しており、これはバタフライ効果とカオス理論へのオマージュである。

• カオスシステム
• バタフライ効果

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