等高線移流

等高線移流は、 移動する流体によってトレーサーが撹拌される際の 1 つ以上の等高線または等値線の変化をシミュレートするラグランジュ法です。川や小川に注入された染料の塊を考えてみましょう。第一に、その輪郭の動きを追跡するだけでモデル化できます。これはカオス的混合を研究するための優れた方法です。滑らかな、または有限に分解された速度場によって移流された場合でも、引き伸ばされ、折りたたまれるという連続的なプロセスにより、これらの等高線は複雑なフラクタルに発展することがよくあります。トレーサーは、通常、 ^[1]のように受動的ですが、 ^{[2]のように、}渦度などの流体の動的特性を表す 能動的である場合もあります。現在、等高線の移流は 2 次元に限定されていますが、3 次元への一般化は可能です。

まず、輪郭を正確に定義する点のセットが必要です。これらの点は、軌道積分法を使用して前方に移流さ れます。整合性を維持するには、何らかの基準またはメトリックに基づいて、一定の間隔で曲線に点を追加したり、曲線から点を削除したりする必要があります。最も明白な基準は、隣接する点間の距離を一定の間隔内に維持することです。よりよい方法は、同じレベルの精度に必要な点の数が少ないため、曲率を使用することです。2次元の直交曲線の 曲率は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} s^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} s^{2}}}\right)^{2}}}}$

ここで、は曲率半径、は経路です。2つの隣接する点の間に描かれる円弧の割合、、 はそれらの間の経路差であり、ほぼ一定に 保つ必要があります。${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r\Delta s}$${\displaystyle \Delta s}$

^[3] では、3次スプラインフィッティングは曲率の計算と輪郭への新しい点の補間の両方に使用されます。パラメトリックにフィッティングされたスプラインは、2次導関数のセットを返します。

この技術の強力な改良点は、細くなりすぎて意味をなさなくなったフィラメントを切り取ることです。ポイントを追加/削除する距離法を使用すると、すべてのポイントの組み合わせ間の距離を確認するのは比較的簡単です。隣接していないポイント間の距離が小さすぎる場合は、2 つのポイントを隣接するポイントから分離し、結合して、隣接するポイントも結合します。その後、必要に応じてポイントを削除できます。手術を許可すると、同じ輪郭内で複数の接続領域を許可します。輪郭の 1 ポイントだけの長さの部分は、シミュレーションから削除されます。この演習で最も難しい部分は、距離計算の数を減らすためにすべてのポイントを追跡することです。最近傍検索を参照してください。曲率法を使用すると、強く曲がったセクションと比較的まっすぐなセクションの間隔が異なるため、輪郭の 2 つのセクションが手術を適用するのに十分近いことを認識するのが難しくなる可能性があります。^[2]

成層圏内の微量ガス（オゾンなど）などの移流輪郭線は、等値線取得と呼ばれる方法を使用して衛星リモートセンシング機器で検証できます。 ^[3]

• ctraj: ラグランジュ移流シミュレーション用のライブラリ。