状態空間表現

制御工学およびシステム同定において、状態空間表現は、一次微分方程式または差分方程式によって関連付けられた入力、出力、および変数のセットとして指定される物理システムの数学モデルです。状態変数と呼ばれるこのような変数は、任意の瞬間の値と入力変数の外部から課された値に応じて、時間の経過とともに変化します。出力変数の値は状態変数の値に依存し、入力変数の値にも依存する場合があります。

状態空間または位相空間は、軸が状態変数である幾何学的空間です。システムの状態はベクトル、つまり状態ベクトルとして表すことができます。

動的システムが線形、時間不変、有限次元である場合、微分方程式と代数方程式は行列形式で記述できます。 ^{[1] [2]}状態空間法は、一般システム理論の代数化によって特徴付けられ、クロネッカーベクトル行列構造の使用を可能にします。これらの構造の能力は、変調の有無にかかわらず、研究システムに効率的に適用できます。^[3] 状態空間表現（「時間領域アプローチ」とも呼ばれる）は、複数の入力と出力を持つシステムをモデル化および分析するための便利でコンパクトな方法を提供します。入力と出力がある場合、システムに関するすべての情報をエンコードするには、ラプラス変換を記述する必要があります。周波数領域アプローチとは異なり、状態空間表現の使用は、線形コンポーネントとゼロ初期条件を持つシステムに限定されません。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q\times p}$

状態空間モデルは、経済学、^[4]統計学、^[5]コンピュータサイエンスと電気工学、^[6]神経科学などの分野に応用できます。^{[7]たとえば}計量経済学では、状態空間モデルを使用して、時系列をトレンドとサイクルに分解したり、個々の指標を複合インデックスに構成したり、^[8]ビジネスサイクルの転換点を特定したり、潜在的かつ観測されていない時系列を使用して GDP を推定したりできます。^{[9] [10]多くのアプリケーションでは、}カルマンフィルターまたは状態オブザーバーに依存して、以前の観測値を使用して現在の未知の状態変数の推定値を生成します。^{[11] [12]}

内部状態変数は、任意の時点でのシステム全体の状態を表すことができるシステム変数の最小のサブセットです。^[13]特定のシステムを表すために必要な状態変数の最小数 は、通常、システムを定義する微分方程式の次数に等しくなりますが、必ずしもそうとは限りません。システムが伝達関数形式で表される場合、状態変数の最小数は、伝達関数の分母を適切な分数に縮約した後の次数に等しくなります。状態空間実現を伝達関数形式に変換すると、システムに関する内部情報が失われる可能性があり、状態空間実現が特定の時点で不安定な場合でも、安定したシステムの記述が提供される可能性があることを理解することが重要です。電気回路では、状態変数の数は、常にではないものの、多くの場合、回路内のコンデンサやインダクタなどのエネルギー貯蔵要素の数と同じです。定義される状態変数は線形独立である必要があります。つまり、状態変数を他の状態変数の線形結合として記述することはできません。そうしないと、システムを解くことができません。 ${\displaystyle n}$

入力、出力、状態変数を持つ線形システムの最も一般的な状態空間表現は、次の形式で記述されます。^[14]${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}$$

どこ：

この一般的な定式化では、すべての行列が時間変化することが許されています（つまり、行列の要素は時間に依存します）。ただし、一般的なLTIの場合、行列は時間不変です。時間変数は連続（例）または離散（例）になります。後者の場合、時間変数は通常 の代わりに使用されます。ハイブリッド システムでは、連続部分と離散部分の両方を持つ時間領域が許可されます。仮定に応じて、状態空間モデル表現は次の形式を取ることができます。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle t}$

連続時間LTI システム(つまり、時間に関して定数である行列を持つ線形)の安定性と自然な応答特性は、行列の固有値から調べることができます。時間不変状態空間モデルの安定性は、因数分解された形式のシステムの伝達関数を調べることで判断できます。次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}.}$$

伝達関数の分母は、の行列式を取ることによって得られる特性多項式に等しくなります。 この多項式の根（固有値）は、システム伝達関数の極（つまり、伝達関数の大きさが無制限である特異点）です。これらの極を使用して、システムが漸近的に安定しているか、限界的に安定しているかを分析できます。固有値の計算を伴わない安定性の判定の代替アプローチは、システムのリアプノフ安定性を解析することです。 ${\displaystyle s\mathbf {I} -\mathbf {A} }$$${\displaystyle \lambda (s)=\left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|.}$$

の分子にあるゼロも同様に、システムが最小位相であるかどうかを判断するために使用できます。 ${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$

システムは内部的には安定していなくても、入力出力安定（BIBO安定を参照）である場合があります。これは、不安定な極がゼロによって相殺される場合（つまり、伝達関数の特異点が除去可能である場合） に当てはまります。

状態制御可能性条件は、許容される入力によって、有限の時間枠内で状態を任意の初期値から任意の最終値に制御できることを意味します。連続時間不変線形状態空間モデルは、次の場合にのみ制御可能 です。 ここで、rankは行列内の線形独立行の数、nは状態変数の数です。 $${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} &\cdots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}=n,}$$

観測可能性は、外部出力の知識によってシステムの内部状態をどの程度推測できるかを示す尺度です。システムの観測可能性と制御可能性は数学的に双対です (つまり、制御可能性は、任意の初期状態を任意の望ましい最終状態に導く入力が利用可能であることを示し、観測可能性は、出力の軌跡を知ることでシステムの初期状態を予測するのに十分な情報が得られることを示します)。

連続時間不変線形状態空間モデルは、次の場合にのみ 観測可能である。$${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\vdots \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\end{bmatrix}}=n.}$$

連続時間不変線形状態空間モデルの 「伝達関数」は、次のように導出できます。

まず、ラプラス変換を とって$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$$

次に を簡略化してを 得る と 、$${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$$${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$$$${\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$$

出力方程式に 代入すると${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$

$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$$ 与える $${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} ((s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s))+\mathbf {D} \mathbf {U} (s).}$$

初期条件がゼロで、単入力単出力（SISO）システムの場合、伝達関数は 出力と入力の比として定義されます。ただし、多入力多出力（MIMO）システムの場合、この比は定義されません。したがって、初期条件がゼロであると仮定すると、伝達関数行列は次のように導かれます 。${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {0} }$${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$$${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$$

係数を等しくする方法を使用すると、

$${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} .}$$

したがって、は、各入力出力の組み合わせの伝達関数を含む次元の行列です。この行列表記法は簡単なので、状態空間表現は、多入力多出力システムによく使用されます。Rosenbrockシステム行列は、状態空間表現とその伝達関数の間の橋渡しとなります。 ${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$${\displaystyle q\times p}$

厳密に適切な任意の伝達関数は、次のアプローチによって簡単に状態空間に転送できます (この例は、4 次元、単一入力、単一出力システム用です)。

伝達関数が与えられたら、それを展開して分子と分母の両方のすべての係数を明らかにします。結果は次の形式になります。 $${\displaystyle \mathbf {G} (s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}.}$$

次のアプローチにより、係数を状態空間モデルに直接挿入できるようになりました。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-d_{4}&-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{2}&n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

この状態空間実現は、結果として得られるモデルが制御可能であることが保証されているため、制御可能な標準形式と呼ばれます(つまり、制御が積分器のチェーンに入るため、すべての状態を移動することができます)。

伝達関数の係数は、別の種類の標準形を構築するためにも使用できる。 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&-d_{4}\\1&0&0&-d_{3}\\0&1&0&-d_{2}\\0&0&1&-d_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}n_{4}\\n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t).}$$

この状態空間実現は、結果として得られるモデルが観測可能であることが保証されているため、観測可能標準形式と呼ばれます(つまり、出力が積分器のチェーンから出力されるため、すべての状態が出力に影響を与えます)。

単に適切な（厳密には適切ではない）伝達関数も、非常に簡単に実現できます。ここでの秘訣は、伝達関数を厳密に適切な部分と定数の 2 つの部分に分けることです。 $${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {G} _{\mathrm {SP} }(s)+\mathbf {G} (\infty ).}$$

厳密に適切な伝達関数は、上記の手法を使用して標準的な状態空間実現に変換できます。定数の状態空間実現は自明です。これらを組み合わせると、厳密に適切な部分によって決定される行列A、B、Cと、定数によって決定される 行列Dを持つ状態空間実現が得られます。${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {G} (\infty )\mathbf {u} (t)}$

ここで少しわかりやすくするために例を挙げます。 これにより、次の制御可能な実現が得られます 。出力も入力に直接依存していることに注目してください。これは、伝達関数の定数 によるものです。$${\displaystyle \mathbf {G} (s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$$$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}\mathbf {x} (t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$${\displaystyle \mathbf {G} (\infty )}$

フィードバックの一般的な方法は、出力に行列Kを掛けて、これをシステムへの入力として設定することです。Kの値は制限されていないため、負のフィードバックに対して値を簡単に否定できます。負の符号 (一般的な表記) の存在は単なる表記上のものであり、それがなくても最終結果には影響しません。 ${\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

なる

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}$$

出力方程式を解き、状態方程式に代入すると、次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}$$

これの利点は、 の固有値分解を通じてK を適切に設定することで、 Aの固有値を制御できることです。これは、閉ループシステムが制御可能であるか、またはKを適切に選択することでAの不安定な固有値を安定させることができることを前提としています。 ${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}$

厳密に適切なシステムの場合、Dはゼロに等しい。もう1つのかなり一般的な状況は、すべての状態が出力である場合、つまりy = xの場合、C = I、つまり単位行列となる。この場合、より単純な方程式が得られる。

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t)}$$

これにより、必要な固有分解が に削減されます。 ${\displaystyle A+BK}$

フィードバックに加えて、入力 を追加して とすることができます。 ${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$$

なる

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}$$

出力方程式を解き、状態方程式に代入すると、次のようになる。 ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)}$$

このシステムのかなり一般的な単純化は、Dを削除することです。これにより、方程式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$$

古典的な線形システムは、物体（例えばカート）の 1 次元的な動きのシステムです。 平面上を水平に移動し、バネで壁に取り付けられた物体に対する ニュートンの運動法則:

$${\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-b{\dot {y}}(t)-ky(t)}$$

どこ

• ${\displaystyle y(t)}$位置は速度、加速度は加速度${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$
• ${\displaystyle u(t)}$適用される力
• ${\displaystyle b}$粘性摩擦係数である
• ${\displaystyle k}$バネ定数
• ${\displaystyle m}$物体の質量である

状態方程式は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}(t)\\{\dot {\mathbf {x} }}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{1}(t)\\\mathbf {x} _{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\mathbf {u} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]}$$

どこ

• ${\displaystyle x_{1}(t)}$オブジェクトの位置を表す
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$物体の速度である
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {x}}_{1}(t)}$物体の加速度である
• 出力はオブジェクトの位置です${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

制御性テストは

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&-{\frac {b}{m^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

これは、すべてのおよびに対してフルランクを持ちます。つまり、システムの初期状態が既知 ( 、、 ) であり、およびが定数である場合、カートをシステム内の他の任意の位置に移動できる力が存在するということです。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$

観測可能性テストは

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

これもフルランクを持ちます。したがって、このシステムは制御可能かつ観測可能です。

状態空間モデルのより一般的な形式は、2 つの関数として記述できます。

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (t,x(t),u(t))}$$ $${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,x(t),u(t))}$$

前者は状態方程式、後者は出力方程式です。関数が状態と入力の線形結合である場合、方程式は上記のような行列表記で記述できます。システムが強制されていない場合 (つまり、入力がない場合)、関数の引数は省略できます。 ${\displaystyle f(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle u(t)}$

典型的な非線形システムは、単純な無力振り子である。

$${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {\dot {\theta }}(t)}$$

どこ

• ${\displaystyle \theta (t)}$重力の方向に対する振り子の角度です
• ${\displaystyle m}$振り子の質量です（振り子の棒の質量はゼロと仮定します）
• ${\displaystyle g}$重力加速度は
• ${\displaystyle k}$ピボットポイントでの摩擦係数
• ${\displaystyle \ell }$振り子の半径（質量の重心まで）${\displaystyle m}$

状態方程式は

$${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(t)=x_{2}(t)}$$ $${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)}$$

どこ

• ${\displaystyle x_{1}(t)=\theta (t)}$振り子の角度です
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$振り子の回転速度である
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}}$振り子の回転加速度である

代わりに、状態方程式は一般的な形で表すことができます。

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}=\mathbf {f} (t,x(t))={\begin{bmatrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)\end{bmatrix}}.}$$

システムの平衡点/定常点は、次の式を満たす点であり、したがって振り子の平衡点は、次の式を満たす点である。 ${\displaystyle {\dot {x}}=0}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n\pi \\0\end{bmatrix}}}$$

整数nの場合。

• 線形状態空間モデル、アフィン状態空間モデル、非線形状態空間モデル用のWolfram 言語関数。