再帰プロット

記述統計学とカオス理論において、回帰プロット（RP）は、各時点において、力学系の状態が における以前の状態に戻る時刻、すなわち位相空間の軌跡が 時点とほぼ同じ位相空間の領域を訪れる時刻を示すプロットである。言い換えれば、 ${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j),}$

水平軸にシステムの状態（またはその位相空間の軌跡） を示し、垂直軸にシステムの状態を示します。${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

自然過程は、周期性（季節周期やミランコビッチ周期など）だけでなく、不規則な周期性（エルニーニョ南方振動、心拍間隔など）など、明確な再発挙動を示すことがあります。さらに、状態が一定時間の発散後に再び任意に近づくという意味での再発性は、決定論的 動的システムの基本的な特性であり、非線形システムやカオスシステムでは典型的です（ポアンカレ再発定理を参照）。自然界における状態の再発は古くから知られており、初期の研究でも議論されてきました（アンリ・ポアンカレ1890 年など）。

状態の反復性を位相空間を通る軌跡によって視覚化する 1 つの方法は、Eckmann ら (1987) によって導入された回帰プロットです。^[1]多くの場合、位相空間は、図に表すのに十分に低い次元 (2 または 3) ではありません。これは、高次元の位相空間は、2 次元または 3 次元のサブスペースに投影することによってのみ視覚化できるためです。このような位相空間の軌跡の動作を調べるためによく使用されるツールの 1 つは、ポアンカレ マップです。もう 1 つのツールは、 2 次元表現を通じて m次元位相空間の軌跡の多くの側面を調べることができる回帰プロットです。

再帰では、軌道は小さな誤差 まで、以前に訪れた位相空間内の位置（状態）に戻ります。再帰プロットは、そのような再帰の時刻のペアの集合、つまり、 、 、および離散的な時刻点の集合と、時刻 におけるシステムの状態（時刻 における軌道の位置）を表します。数学的には、これはバイナリ再帰行列によって表現されます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)\approx {\vec {x}}(j)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|\leq \varepsilon \\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

ここで、はノルム、 は再帰閾値です。別のより正式な表現は、との間の距離ベクトルのノルム を持つヘヴィサイドステップ関数を使用することです。別の再帰定義では、角度距離、ファジー距離、編集距離など、異なる距離が考慮されます。^[2]${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle R(i,j)=\Theta (\varepsilon -D_{i,j})}$${\displaystyle D_{i,j}=\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$${\displaystyle {\vec {x}}(j)}$${\displaystyle D_{i,j}}$

再帰プロットは、- 軸と- 軸に時間をとり、の座標に色付き（主に黒）の点で視覚化されます。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle R(i,j)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

時系列 のみが利用可能な場合は、例えば時間遅延埋め込みを使用して位相空間を再構築できます（Takensの定理を参照）。 ${\displaystyle u(i)}$

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=(u(i),u(i+\tau ),\ldots ,u(i+\tau (m-1)),}$

ここで、は時系列、は埋め込み次元、 は時間遅延です。位相空間再構成は、システムの変数から直接導出できる位相空間軌跡 (たとえば、ローレンツ システムの 3 つの変数) に基づいているため、再帰プロットの必須部分ではありません (文献ではよく言及されていますが)。${\displaystyle u(i)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \tau}$

リカレンス プロットの視覚的な外観は、システムのダイナミクスについてのヒントを与えます。位相空間の軌跡の特徴的な動作により、リカレンス プロットには、単一の点、対角線、垂直線/水平線 (または後者の混合で拡張クラスターに結合される) などの典型的な小規模構造が含まれます。テクスチャとも呼ばれる大規模構造は、均質、周期、ドリフト、または乱れによって視覚的に特徴付けることができます。たとえば、プロットは、軌跡が周期 で厳密に周期的である場合、そのようなすべての時間のペアが の倍数で分離され、対角線として表示されることを表します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

リカレンスプロットの小規模構造には、基礎となるシステムのダイナミクスの特定の特性に関する情報が含まれています。たとえば、リカレンスプロットに表示される対角線の長さは、位相空間の軌跡の発散に関連しているため、カオス性に関する情報を表すことができます。^[3]したがって、リカレンス数量化分析は、これらの小規模構造の分布を定量化します。^{[4] [5] [6]}この定量化を使用して、リカレンスプロットを定量的に記述できます。アプリケーションは、分類、予測、非線形パラメータ推定、および遷移分析です。埋め込みパラメータの選択に依存するリカレンス数量化分析のヒューリスティックなアプローチとは対照的に、相関次元、K2エントロピー、相互情報量など、埋め込みに依存しないいくつかの動的不変量もリカレンスプロットから導出できます。これらの動的不変量のベースは、再発率と対角線の長さの分布です。^[3]最近のアプリケーションでは、機械学習アプローチにおける時系列イメージングや時空間的再発の研究のためのツールとして再発プロットが使用されています。^[2]

クローズリターンプロットはリカレンスプロットに似ています。違いは、絶対時間ではなく、リカレンス間の相対時間が-軸に使用されることです。^[6]${\displaystyle y}$

再帰プロットの主な利点は、他の方法では失敗する短い非定常データに対しても有用な情報を提供できることです。

再帰プロットの多変量拡張は、交差再帰プロットと結合再帰プロットとして開発されました。

クロスリカレンスプロットは、同じ位相空間内の2つの異なるシステムの位相空間軌跡を考慮する。^[7]

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}.}$

両システムの次元は同じである必要がありますが、考慮される状態の数（つまりデータの長さ）は異なる場合があります。クロスリカレンスプロットは、 2つのシステムの類似した状態の発生を比較します。これらは、2つの異なるシステム間の動的進化の類似性を分析したり、2つのシステムで類似した一致パターンを探したり、時間スケールが異なる2つの類似システムの時間関係を研究したりするために使用できます。^[8]

ジョイントリカレンスプロットは、考慮されるサブシステムのリカレンスプロットのアダマール積である。 ^[9]例えば、2つのシステムの場合、ジョイントリカレンスプロットは ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|)\cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{x,y}.}$

クロスリカレンスプロットとは対照的に、ジョイントリカレンスプロットは、 2つ（またはそれ以上）のシステムにおけるリカレンスの同時発生を比較します。さらに、考慮される位相空間の次元は異なっていてもかまいませんが、考慮される状態の数はすべてのサブシステムで同じである必要があります。ジョイントリカレンスプロットは、位相同期を検出するために使用できます。

• ポアンカレ図
• 再帰周期密度エントロピーは、決定論的および確率論的動的システムの再帰特性を要約するための情報理論的手法です。
• 再発定量化分析、再発プロットを定量化するヒューリスティックなアプローチ。
• 自己相似行列
• ドットプロット（バイオインフォマティクス）

• 再帰プロット