普遍性（動的システム）

統計力学において、普遍性とは、システムの動的な詳細とは無関係な特性が大規模なクラスのシステムに存在するという観察である。システムは、多数の相互作用する部分が集まるスケーリング限界で普遍性を示す。この用語の現代的な意味は、1960 年代にレオ・カダノフによって導入されたが^{[引用が必要]}、より単純な概念のバージョンは、スケーリングを正しく組み込んでいなかったファンデルワールス方程式や初期のランダウ相転移理論にすでに暗黙的に含まれていた。^{[引用が必要]}

この用語は、組み合わせ論や確率論を含む数学のいくつかの分野で、システムの詳細に関する知識を必要とせずに、定義に現れるいくつかのグローバルパラメータから構造の定量的特徴（漸近的動作など）を推測できる場合に、徐々に広く使われるようになってきています。

くりこみ群は、普遍性について、数学的には厳密ではないものの、直感的に魅力的な説明を提供します。くりこみ群は、統計場の理論における演算子を関連演算子と無関係演算子に分類します。関連演算子は、自由エネルギー、虚数時間ラグランジアンへの摂動の原因となり、連続体極限 に影響を及ぼし、遠距離からでも見ることができる演算子です。無関係演算子は、近距離の詳細のみを変更する演算子です。スケール不変の統計理論の集合は、普遍性クラスを定義し、関連演算子の係数の有限次元リストは、臨界近傍の挙動をパラメータ化します。

普遍性の概念は、統計力学における相転移の研究に端を発しています。 ^[要出典]相転移は、物質の特性が劇的に変化するときに発生します。たとえば、水は加熱すると沸騰して蒸気になります。磁石は加熱すると磁性を失います。相転移は、密度や磁化などの秩序パラメータによって特徴付けられ、温度などのシステムのパラメータの関数として変化します。システムが相を変えるパラメータの特別な値が、システムの臨界点です。普遍性を示すシステムの場合、パラメータが臨界値に近づくほど、秩序パラメータがシステムの詳細にあまり依存しなくなります。

パラメータ β が値 β _cで臨界値である場合、秩序パラメータa は次のように近似される^{[引用が必要]}

${\displaystyle a=a_{0}\left\vert\beta -\beta _{c}\right\vert\beta ^{\alpha }.}$

指数 α はシステムの臨界指数です。20 世紀後半になされた注目すべき発見は、非常に異なるシステムでも同じ臨界指数が見られるというものでした。^{[引用が必要]}

1975年、ミッチェル・ファイゲンバウムは反復マップの普遍性を発見した。^{[1] [2] [3]}

普遍性は、さまざまな物理システムに見られることからその名前が付けられています。普遍性の例としては、次のようなものがあります。

• 砂の山での雪崩。雪崩の発生確率は雪崩の大きさに比例し、雪崩はあらゆる規模のスケールで発生することが分かっています。これは「自己組織化臨界」と呼ばれます。^{[引用が必要]}
• 鋼鉄から岩石、紙に至るまでの材料における亀裂や裂け目の形成と伝播。裂け目の方向の変化、または破断面の粗さは、大きさのスケールに比例します。^[要出典]
• 誘電体の電気的破壊。亀裂や裂け目に似ています。
• 流体が無秩序な媒体を透過すること。例えば、石油が岩盤の亀裂を通過することや、水がクロマトグラフィーで濾紙を通過することなど。べき乗法則は、流量と亀裂の分布を結び付けます。^[要出典]
• 溶液中の分子の拡散、および拡散制限凝集現象。
• 振動している集合混合物中の異なるサイズの岩石の分布（岩石に重力が作用している）。^{[引用が必要]}
• 相転移に近い流体における臨界乳白色の出現。^[要出典]

1970年代と1980年代の材料科学における重要な発展の1つは、量子場理論に似た統計場理論が普遍性の微視的理論を提供するために使用できるという認識でした。 ^[要出典]中核となる観察は、異なるシステムすべてにおいて、相転移における動作は連続体場によって記述され、同じ統計場理論が異なるシステムを記述するというものでした。これらすべてのシステムにおけるスケーリング指数は、場の理論のみから導くことができ、臨界指数として知られています。

重要な観察は、相転移または臨界点の近くでは、あらゆるサイズのスケールで擾乱が発生するため、現象を記述するためには明示的にスケール不変な理論を探す必要があるということです。これは、1965 年にPokrovskyと Patashinskyによって初めて正式な理論的枠組みに提示されたようです^[4]。^[要出典]普遍性は、スケール不変理論が比較的少ないという事実の副産物です。特定の物理システムの場合、詳細な説明には多くのスケール依存のパラメーターと側面が含まれる場合があります。ただし、相転移に近づくにつれて、スケール依存パラメーターが果たす役割はますます小さくなり、物理的説明のスケール不変部分が支配的になります。したがって、簡略化された、多くの場合正確に解けるモデルを使用して、臨界点の近くでのこれらのシステムの挙動を近似することができます。

パーコレーションは、電気がネットワークの一方から他方へ流れるランダムな電気抵抗器ネットワークによってモデル化できます。ネットワーク全体の抵抗は、ネットワーク内の抵抗器の平均接続によって記述されると考えられます。 ^[要出典]

裂け目や亀裂の形成は、電気ヒューズのランダムなネットワークによってモデル化できます。ネットワークを流れる電流が増加すると、一部のヒューズが飛び出すことがありますが、全体として、電流は問題のある領域を迂回して均一に分散されます。ただし、ある時点 (位相遷移時) でカスケード障害が発生する場合があります。つまり、飛び出したヒューズからの過剰電流が次のヒューズに過負荷をかけ、ネットワークの両側が完全に切断され、電流が流れなくなります。^{[引用が必要]}

このようなランダムネットワークシステムの分析を行うには、すべての可能なネットワークの確率空間（つまり、標準アンサンブル）を考慮し、すべての可能なネットワーク構成の合計（積分）を実行します。前の議論と同様に、各ランダム構成は、特定の確率分布を持つすべての構成のプールから抽出されたものと理解されます。分布における温度の役割は、通常、ネットワークの平均接続性に置き換えられます。^{[引用が必要]}

流量、熱容量などの演算子の期待値は、すべての可能な構成にわたって積分することによって得られます。このすべての可能な構成にわたる積分行為は、統計力学と量子場の理論のシステムの共通点です。特に、くりこみ群の言語は、ランダムネットワークモデルの議論に適用できます。1990年代と2000年代には、統計モデルと共形場理論のより強いつながりが明らかになりました。普遍性の研究は、依然として重要な研究分野です。

統計力学の他の概念（エントロピーやマスター方程式など）と同様に、普遍性は、マルチエージェントシステムなどの高レベルで分散システムを特徴付けるための有用な構成概念であることが証明されています。この用語は^、システムが示すシステムレベルの動作が個々のエージェントの複雑さの程度に依存せず、それらの相互作用を支配する制約の性質によってほぼ完全に駆動されるマルチエージェントシミュレーションに適用されています[5]。ネットワークダイナミクスでは、普遍性とは、多くの詳細が異なる非線形動的モデルの多様性にもかかわらず、多くの異なるシステムの観察された動作が一連の普遍的な法則に準拠しているという事実を指します。これらの法則は、各システムの特定の詳細に依存しません。^[6]