ファンデルポール発振器

力学系の研究において、ファン・デル・ポール発振器（オランダの物理学者バルタザール・ファン・デル・ポールにちなんで命名）は、非保存的で非線形減衰を持つ振動系である。これは、2階微分方程式に従って時間的に変化する。$${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=\mu (1-x^{2}){dx \over dt}-x,}$$ ここで、xは位置座標（時間tの関数）であり、μは非線形性と減衰の強さを示すスカラーパラメータである。

ファン・デル・ポール発振器は、もともとオランダの電気技師で物理学者のバルタザール・ファン・デル・ポールがフィリップスで働いていたときに提案したものです。^{[ 2 ]}ファン・デル・ポールは、真空管を使用した電気回路で安定した振動を発見しました。 ^{[ 3 ]}彼は後にこれを緩和振動と呼びました。 ^{[ 4 ]}これは現在、リミットサイクルの一種として知られています。これらの回路がリミットサイクルの近くで駆動されると、回路は同調します。つまり、駆動信号が電流を一緒に引き込みます。ファン・デル・ポールと彼の同僚のファン・デル・マークは、1927年9月のネイチャー誌で、特定の駆動周波数で不規則なノイズが聞こえることを報告しました。^{[ 5 ]}これは後に決定論的カオスの結果であることがわかりました。^{[ 6 ]}

ファンデルポール方程式は、物理学と生物学の両方で長年使用されてきた歴史があります。たとえば、生物学では、フィッツヒュー^{[ 7 ]}とナグモ^{[ 8 ]}が、ニューロンの活動電位のモデルとして、平面場における方程式を拡張しました。この方程式は、地震学では地質断層の2つのプレートをモデル化するために使用され[ ^{9 ]} 、発声の研究では左右の声帯振動子を^{モデル化するために使用されています[ 10 ] 。}

リエナールの定理は、システムがリミットサイクルを持つことを証明するために使用できます。リエナール変換を適用すると、${\displaystyle y=xx^{3}/3-{\dot {x}}/\mu }$ここでドットは時間微分を表し、ファンデルポール発振器は2次元形式で次のように記述できます。^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-y\right)}$

$\displaystyle {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x}$。

変換に基づくもう1つの一般的な形式${\displaystyle y={\dot {x}}}$結果として以下につながる：

${\displaystyle {\dot {x}}=y}$

${\displaystyle {\dot {y}}=\mu (1-x^{2})yx}$。

^{[ 12 ]}

• μ = 0、つまり減衰関数がない場合、方程式は次のようになります。$$\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0.}$$これは単振動の一種であり、エネルギー保存則は常に成り立つ。

• μ > 0の場合、すべての初期条件はグローバルに一意なリミットサイクルに収束します。原点付近では${\displaystyle x={\tfrac {dx}{dt}}=0,}$システムは不安定であり、原点から遠く離れると、システムは減衰する。
• ファンデルポール振動子には厳密な解析解はありません。^{[ 13 ]}しかし、リエナール方程式のf ( x )が定数の区分的関数である場合、リミットサイクルにはそのような解が存在します。
• 小さなμにおける周期は直列膨張する$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{1-\mu ^{2}/16+17\mu ^{4}/3072+O(\mu ^{6})}}.}$$2次までの導出については、ポアンカレ・リンドステット法を参照してください。3次までの導出については^{[ 14 ]の第10章を、164次までの数値的導出については[ 15 ]}を参照してください。
• μが大きい場合、振動子の挙動はゆっくりとした蓄積と速い解放のサイクル（張力の蓄積と解放のサイクル、つまり緩和振動）を示します。これは次の形式で最も簡単に確認できます。$${\displaystyle {\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\!,\quad {\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.}$$この形式では、発振器は次のようにして1サイクルを完了します。
  • 3次曲線の右側の枝をゆっくりと上昇する${\displaystyle y=x-{\tfrac {x^{3}}{3}},}$(2, –2/3)から(1, 2/3)へ。
  • 3次曲線の左側の枝に急速に移動し、(1, 2/3)から(–2, 2/3)になります。
  • 左側の枝でも同じ2つの手順を繰り返してください。
• 周期の主要項は、緩やかな上昇と下降によるものであり、次のように計算できます。$${\displaystyle T=2\int dt=2\int \mu {\frac {dy}{x}}=2\mu \int _{2}^{1}{\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{x}}=(3-2\ln 2)\mu }$$サイクルの周期の高次の項は$${\displaystyle T=(3-2\ln 2)\mu +3\alpha \mu ^{-1/3}-{\frac {22}{9\mu }}\ln \mu +{\frac {0.0087\cdots }{\mu }}+O(\mu ^{-4/3})。}$$ここで、α ≈ 2.338はAi(– α ) = 0の最小根であり、Aiはエアリー関数である。（セクション 9.7 ^{[ 16 ]}）（^{[ 17 ]}には導出が含まれているが、 3 αを2 αに誤植している。）これは、アナトリー・ドロドニツィンによって導出された。^{[ 18 ] [ 19 ]}
• サイクルの振幅は^{[ 20 ]}$${\displaystyle 2+{\frac {\alpha }{3}}\mu ^{-4/3}-{\frac {16}{27}}\mu ^{-2}\ln \mu +O(\mu ^{-2})}$$

μがゼロ未満からゼロより大きい値に変化すると、原点の螺旋状のシンクが螺旋状のソースに変わり、半径2の極限サイクルが突如として現れます。これは、遷移が一般的なものではないためです。ε = 0の場合、微分方程式は線形になり、原点は円形のノードになります。

ホップ分岐では、リミットサイクルのサイズは${\displaystyle \propto \varepsilon ^{1/2},}$変数変換を用いることで、これをホップ分岐に変換することができる。${\displaystyle u=\varepsilon ^{1/2}x,}$これにより$${\displaystyle {\ddot {u}}+u+u^{2}{\dot {u}}-\varepsilon {\dot {u}}=0}$$これは確かにホップ分岐である。^{[ 21 ]}

また、補助的な2階非線形微分方程式を用いて4次元自律力学系に拡張することで、ファンデルポール振動子の時間によらないハミルトニアン形式を以下のように記述することもできる。

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0,}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\mu (1-x^{2}){\dot {y}}+y=0.}$

元のファンデルポール発振器のダイナミクスは、 x 変数とy変数の時間発展間の一方向結合によって影響を受けないことに注意してください。この方程式系のハミルトニアンH は^{[ 22 ]のように表すことができます。}

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})=p_{x}p_{y}+xy-\mu (1-x^{2})yp_{y},}$

どこ${\displaystyle p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y}$そして${\displaystyle p_{y}={\dot {x}}}$これらはそれぞれxとyに対応する共役運動量です。原理的には、これはファンデルポール振動子の量子化につながる可能性があります。このようなハミルトニアンは、時間依存パラメータを持つリミットサイクルシステムの幾何学的位相と、対応するハミルトニアンシステムのハネイ角も結びつけます^{[ 23 ] 。}

強制振動子、または駆動振動子であるファンデルポール振動子は、「元の」関数に駆動関数A sin( ωt )を追加して、次の形式の微分方程式を得る。

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

ここで、Aは波動関数の振幅または変位であり、ωはその角速度である。

著者のジェームズ・グリークは、 1987年の著書『カオス：新しい科学の創造』の中で真空管のヴァンデルポール発振器について記述している。^{[ 28 ]}ニューヨーク・タイムズの記事 によると、^{[ 29 ]}グリークは1988年に読者から最新の電子式ヴァンデルポール発振器を受け取った。

• メアリー・カートライトは、イギリスの数学者で、特にこの振動子に適用された決定論的カオス理論を研究した最初の一人である。^{[ 30 ]}

• 「ファン・デル・ポール方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Scholarpediaのファン・デル・ポール発振器
• ヴァン・デル・ポール発振器のインタラクティブなデモンストレーション（ 2017年2月14日にWayback Machineにアーカイブ済み）