バーンズリーシダ

バーンズリーシダは、イギリスの数学者マイケル・バーンズリーの名にちなんで名付けられたフラクタルで、彼の著書『Fractals Everywhere』^[1]で初めて説明されました。彼は、このフラクタルを、黒色のスイセンノウ（Asplenium adiantum-nigrum）に似せて作りました。

シダは自己相似集合の基本的な例の1つ、すなわち、任意の拡大または縮小で再現可能な数学的に生成されたパターンである。シェルピンスキーの三角形と同様に、バーンズリーのシダは、コンピュータで数式を繰り返し使用することで、グラフィカルに美しい構造を構築できることを示しています。 バーンズリーの1988年の著書「Fractals Everywhere」は、ジョージア工科大学数学部の学部生と大学院生に教えた「フラクタル幾何学」というコースに基づいています。 本の出版後、フラクタル測度理論と呼ばれる2番目のコースが開発されました。^{[1]バーンズリーの作品は、数学モデルを使用して自然を模倣しようとする}グラフィックアーティストにとってインスピレーションの源となっています。

バーンズリーが開発したシダコードは、フラクタルを作成するための反復関数システム(IFS) の例です。これはコラージュ定理に従います。彼はフラクタルを使用して、科学技術におけるさまざまな現象、特に植物の構造をモデル化しました。

IFS は、自然界の分岐構造によく見られる自己相似性を利用して、特定の植物、葉、シダのモデルを提供します。しかし、自然界には、レベルごとにランダム性と変化も存在します。2 つのシダがまったく同じということはなく、分岐した葉は小さなスケールでは葉になります。V 変数フラクタルは、スケール全体にわたるこのようなランダム性と変化を可能にすると同時に、幾何学的モデリングを容易にするパラメータへの継続的な依存性も認めています。これらの要素により、ハイブリッドな生物学的モデルを作成できます... ...特定の植物の形状とよく一致する V 変数幾何学的フラクタル モデルが見つかった場合、これらのコード ツリーと植物の遺伝子に格納されている情報の間には特定の関係があると考えられます。

—マイケル・バーンズリー他^[2]

バーンズリーのシダは 4 つのアフィン変換を使用します。 1 つの変換の式は次のとおりです。

${\displaystyle f_{w}(x,y)={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}}}$

バーンズリーは、ブラック・スプレンワート・シダのフラクタルのIFSコードを、表に示された値の行列として示しています。^[3]表では、列「a」から「f」は方程式の係数であり、「p」は確率係数を表しています。

これらは次の変換に対応します。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.00&0.00\\0.00&0.16\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\\[6px]f_{2}(x,y)&={\begin{bmatrix}0.85&0.04\\-0.04&0.85\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{3}(x,y)&={\beg in{bmatrix}0.20&-0.26\\0.23&0.22\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\1.60\end{bmatrix}}\\[6px]f_{4}(x,y)&={\begin{bmatrix}-0.15&0.28\\0.26&0.24\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.00\\0.44\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

バーンズリーのシダは、理論上はペンとグラフ用紙を使って手で描くこともできますが、必要な反復回数は数万回に及ぶため、コンピュータの使用は事実上必須です。バーンズリーのシダのさまざまなコンピュータ モデルは、現代の数学者の間で人気があります。バーンズリーの定数行列を使用して数学を正しくプログラムする限り、同じシダの形状が生成されます。

最初に描かれた点は原点（x ₀ = 0、y ₀ = 0）にあり、その後、次の4つの座標変換のいずれかをランダムに適用して新しい点が繰り返し計算されます。^{[4] [5]}

1 ₁

xn _{+1 =} 0 です

yn + ₁ = _{0.16 yn}

この座標変換は 1% の割合で選択され、任意の点を茎の基部にある最初の線分の点にマッピングするだけです。反復生成では、これは茎の基部へのリセットとして機能します。重要なのは、これが (0,0) に正確にリセットされないことです。これにより、変換された基部の茎を埋めることができ、変換f ₂、f ₃、f ₄によってシダの他のすべてのセクションが生成される一種の「カーネル」として機能します。

2_倍

xn _{+ 1 =} 0.85 xn ₊ 0.04 yn

y _{n + 1} = −0.04 x _n + 0.85 y _n + 1.6

この変換は、シダ全体と、下部の 2 枚の葉を含む部分を除いたシダからなるサブ構造との自己相似関係をエンコードします。マトリックス表現では、わずかに時計回りに回転し、わずかに小さく拡大され、正のy方向に平行移動していることがわかります。反復生成では、この変換は 85% の確率で適用され、直感的に、主茎の生成と、茎の両側の「元の」葉から基部への葉の連続的な垂直生成の原因となります。

3 ₃

x _{n + 1} = 0.2 x _n − 0.26 y _n

y _{n + 1} = 0.23 x _n + 0.22 y _n + 1.6

この変換は、シダ全体と左下の葉の自己相似性をエンコードします。行列表現では、ほぼ 90° の反時計回りの回転で、正のy方向への変換で約 30% のサイズに縮小されています。反復生成では、7% の確率で適用され、直感的に左下の葉の生成に関係しています。

4_枚

x _{n + 1} = −0.15 x _n + 0.28 y _n

y _{n + 1} = 0.26 x _n + 0.24 y _n + 0.44

同様に、この変換はシダ全体と右下の葉の自己相似性をエンコードします。その行列式から、反射が含まれていることが簡単にわかり、y軸に関する反射ではあるものの、f ₃と同様の変換として見ることができます。反復生成では、7% の確率で適用され、右下の葉の生成に使用されます。

係数を操作することで、突然変異したシダの品種を作り出すことができます。V変数フラクタルに関する論文の中で、バーンズリーはこの特性をスーパーフラクタルと呼んでいます。^[2]

ある実験者は、 CyclosorusまたはThelypteridaceaeシダに似た、驚くほど自然に見える別のシダを作り出すための係数表を考案しました。これらは次のとおりです: ^{[6] [7]}

画面上のすべてのピクセルを白で描画します。 x = 0.0、y = 0.0、t = 0.0、xn = 0.0、yn = 0.0、ただしt <最大反復回数: r = 0から1 の間のランダム() 、 r < 0.01の場合: xn = 0.0、yn = 0.16 * y、それ以外の場合r < 0.86の場合: xn = 0.85 * x + 0.04 * y、yn = - 0.04 * x + 0.85 * y + 1.6 、それ以外の場合r < 0.93の場合: xn = 0.2 * x - 0.26 * y、yn = 0.23 * x + 0.22 * y + 1.6 、それ以外の場合: xn = - 0.15 * x + 0.28 * y、yn = 0.26 * x + 0.24 * y + 0.44画面上の( xn , yn )に緑のピクセルを描画x = xn y = yn増分t