コルモゴロフ自己同型

数学において、コルモゴロフ自己同型、K-自己同型、K-シフト、あるいはK-システムとは、コルモゴロフの0-1法則に従う標準確率空間上で定義される可逆で測度保存の 自己同型である。^[1] すべてのベルヌーイ自己同型はK-自己同型（ K-性質を持つとも言われる）であるが、その逆は成り立たない。多くのエルゴード力学系はK-性質を持つことが示されているが、最近の研究ではこれらの多くが実際にはベルヌーイ自己同型であることがわかっている。

K特性の定義は十分に一般的なようですが、ベルヌーイ自己同型とは大きく異なります。特に、オルンシュタイン同型定理はKシステムには適用されないため、エントロピーだけではそのようなシステムを分類できません。同じエントロピーを持つ非同型Kシステムは無数に存在します。本質的に、 Kシステムのコレクションは大きく、乱雑で、分類されていません。一方、 B自己同型はオルンシュタイン理論によって「完全に」記述されます。

を標準確率空間とし、を可逆で測度を保存する変換とします。次の 3 つの性質が成り立つ サブシグマ代数が存在する場合、はK自己同型、K変換、またはKシフトと呼ばれます。${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mbox{(1) }}{\mathcal {K}}\subset T{\mathcal {K}}}$

${\displaystyle {\mbox{(2) }}\bigvee _{n=0}^{\infty }T^{n}{\mathcal {K}}={\mathcal {B}}}$

${\displaystyle {\mbox{(3) }}\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {K}}=\{X,\varnothing \}}$

ここで、記号はシグマ代数の結合、記号は集合の共通部分です。この等式は、ほぼすべての場所で成り立つ、つまり、測度ゼロの集合上で最大で異なると理解する必要があります。 ${\displaystyle \vee}$${\displaystyle \cap}$

シグマ代数が自明でないと仮定すると、つまり の場合、K自己同型は を強く混合する ことになります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \{X,\varnothing \}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}\neq T{\mathcal {K}}.}$

すべてのベルヌーイ自己同型はK自己同型ですが、その逆は当てはまりません。

コルモゴロフ自己同型は、正確な自己準同型^[2]の自然な拡張、すなわち、測度零集合またはその補集合からなる写像であり、ここでは測度零集合のシグマ代数である。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

• Christopher Hoffman、「AK 反例マシン」、Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999)、pp 4263–4280。