混沌の同期

カオスの同期は、 2 つ以上の散逸カオス システムが結合されたときに発生する可能性がある現象です。

カオスシステムの近接した軌道は指数関数的に発散するため、2 つのカオスシステムが同期して進化することは意外に思えるかもしれません。しかし、結合または駆動されたカオス振動子の同期は、実験的に十分に確立されており、理論的にも十分に理解されている現象です。

結合システムの同期の安定性は、マスター安定性を使用して分析できます。カオスの同期は豊かな現象であり、幅広い応用範囲を持つ多分野にわたる主題です。^{[1] [2] [3]}

同期は、相互作用するシステムの性質、結合の種類、およびシステム間の近接性に応じて、さまざまな形態をとる場合があります。

このタイプの同期は完全同期とも呼ばれます。これは同一のカオスシステムで観察できます。システムが時間とともに最終的に同一に進化するような初期条件のセットがある場合、システムは完全に同期していると言えます。拡散的に結合した2つのダイナミクスの最も単純なケースは次のように記述されます。

${\displaystyle x^{\prime }=F(x)+\alpha (yx)}$

${\displaystyle y^{\prime }=F(y)+\alpha (xy)}$

ここで、は孤立したカオスダイナミクスをモデル化するベクトル場であり、は結合パラメータです。この領域は結合システムの不変サブスペースを定義します。このサブスペース が局所的に吸引力を持つ場合、結合システムは同一の同期を示します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$${\displaystyle x(t)=y(t)}$

結合が消えると、振動子は分離され、カオス的な動作により近くの軌道が発散します。結合パラメータが十分に大きく、相互作用システムの軌道の発散が拡散結合によって抑制される場合、相互作用により完全な同期が発生します。臨界結合強度を見つけるために、差の挙動を調べます。が小さいと仮定すると、ベクトル場を直列に展開し、テイラー剰余を無視することで、差の挙動を支配する線形微分方程式を得ることができます 。${\displaystyle v=xy}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v^{\prime }=DF(x(t))v-2\alpha v}$

ここで、解に沿ったベクトル場のヤコビアンを表す。すると 、 ${\displaystyle DF(x(t))}$${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle u^{\prime }=DF(x(t))u,}$

そして、カオスの力学は であり、ここで は孤立系の最大リアプノフ指数を表す。ここで、仮定を用いて の式から の式に 移る。したがって、次式を得る。 ${\displaystyle \|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle v=ue^{-2\alpha t}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \|v(t)\|\leq \|u(0)\|e^{(-2\alpha +\lambda )t}}$

臨界結合強度が生じ、すべてのシステムは完全な同期を示します。臨界結合強度の存在は、孤立したダイナミクスのカオス的性質に関連しています。 ${\displaystyle \alpha _{c}=\lambda /2}$${\displaystyle \alpha >\alpha _{c}}$

一般的に、この推論は同期のための正しい臨界結合値につながります。しかし、場合によっては、結合強度が臨界値より大きい場合に同期が失われることがあります。これは、臨界結合値の導出で無視された非線形項が重要な役割を果たし、差の挙動の指数的境界を破壊する可能性があるためです。^[4]しかし、この問題を厳密に処理して、非線形性が安定性に影響を与えないように臨界値を取得することは可能です。^[5]

このタイプの同期は、結合されたカオス発振器が異なる場合に主に発生しますが、同一の発振器間でも報告されています。発振器の状態を決定する動的変数とを考えると、適切な初期条件からの一時的な発展の後、となるような関数 がある場合に、一般化同期が発生します。これは、発振器の 1 つの動的状態が、他の発振器の状態によって完全に決定されることを意味します。発振器が相互に結合している場合、この関数は可逆である必要があります。駆動応答構成がある場合、駆動によって応答の発展が決定され、Φ は可逆である必要はありません。同一同期は、が恒等関数である場合の一般化同期の特別なケースです。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},...y_{m})}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle [y_{1}(t),y_{2}(t),...,y_{m}(t)=\phi [x_{1}(t),x_{2}(t),...,x_{n}(t)]}$${\displaystyle \phi }$

位相同期は、結合したカオス振動子の位相差が一定に保たれ、振幅が相関しないときに発生します。この現象は、振動子が同一でなくても発生します。位相同期を観察するには、カオス振動子の位相を事前に定義する必要があります。多くの実際のケースでは、振動子の軌跡の投影が明確に定義された中心の周りの回転をたどる位相空間の平面を見つけることができます。この場合、位相は、回転の中心と平面への軌跡点の投影を結ぶ線分によって記述される角度 φ(t) によって定義されます。他のケースでは、ヒルベルト変換などの信号処理理論によって提供される手法によって位相を定義することもできます。いずれの場合も、 φ ₁ (t) と φ ₂ (t) が 2 つの結合振動子の位相を表す場合、位相の同期は、m と n が整数である関係 nφ ₁ (t)=mφ ₂ (t) によって与えられます。

これらの場合、同期状態は時間間隔 τ によって特徴付けられ、発振器の動的変数とが によって関連付けられる。つまり、一方の発振器のダイナミクスが他方の発振器のダイナミクスに従うか、またはそれを予測する。予測同期は、駆動応答構成で結合された遅延微分方程式によってダイナミクスが記述されるカオス発振器間で発生する可能性がある。この場合、応答は駆動のダイナミクスを予測する。位相同期発振器間の結合の強度が増加すると、遅延同期が発生する可能性がある。 ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...x_{n})}$${\displaystyle (x'_{1},x'_{2},...x'_{n})}$${\displaystyle x'_{i}(t)=x_{i}(t+\tau )}$

これは、弱く結合した 2 つのカオス振動子間で発生する可能性のある、同期の軽度な形式です。この場合、位相や振幅の間に相関関係はなく、代わりに、2 つのシステムの振動によって、2 つのシステムで同じ周波数を持つ周期的なエンベロープが生成されます。

これは、2 つのカオス発振器の平均振動周波数の差と同じ桁数です。多くの場合、振幅エンベロープ同期は位相同期に先行します。つまり、振幅エンベロープ同期された 2 つの発振器間の結合の強度が増加すると、位相同期が発生します。

これらの同期形式はすべて、漸近安定性という特性を共有しています。つまり、同期状態に達すると、同期を破壊する小さな摂動の影響は急速に減衰し、同期が再び回復します。数学的には、漸近安定性は、2 つの発振器で構成されるシステムの正のリアプノフ指数によって特徴付けられ、カオス同期が達成されると負になります。

いくつかのカオスシステムでは、さらに強力なカオスの制御が可能であり、カオスの同期とカオスの制御はどちらも「サイバネティック物理学」と呼ばれるものの一部を構成します。

• Pikovsky, A.; Rosemblum, M.; Kurths, J. (2001).同期: 非線形科学における普遍的な概念. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-53352-2。
• ゴンザレス・ミランダ、JM (2004)。カオスの同期と制御。科学者とエンジニアのための入門書。インペリアル・カレッジ・プレス。ISBN 978-1-86094-488-8。
• Fradkov AL 「サイバネティカル物理学：カオスの制御から量子制御へ」Springer-Verlag、2007年、（ロシア語版予備版：サンクトペテルブルク、Nauka、2003年）。

• 倉本モデル