二重振り子

物理学と数学の力学系の分野において、二重振り子はカオス振り子とも呼ばれ、端にもう一つ振り子が取り付けられた振り子であり、初期条件に対して強い感受性を持つ豊かな動的挙動を示す単純な物理系を形成する。^{[1]二重振り子の運動は、結合した}常微分方程式の集合によって支配され、カオス的である。

二重振り子にはいくつかのバリエーションが考えられます。2 つの振り子の長さと質量は等しいか等しくないか、単純振り子または複合振り子(複合振り子とも呼ばれる) であるか、動きは 3 次元であるか垂直面に制限されているかなどです。以下の分析では、振り子は長さlと質量mの同一の複合振り子であるとし、動きは 2 次元に制限されています。

複合振り子では、質量は長さに沿って分散されます。二重振り子の質量が均等に分散されている場合、各肢の質量の中心は中点にあり、肢の慣性モーメントはI = ⁠になります。1/12その点については⁠ ml ^{2 を}ご覧ください。

各枝と垂直線の間の角度を、システムの構成を定義する一般座標として使用すると便利です。これらの角度は、 θ ₁およびθ ₂で示されます。各棒の質量の中心の位置は、これらの 2 つの座標で表すことができます。直交座標系の原点を最初の振り子の吊り下げ点とすると、この振り子の質量の中心は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}$

そして2番目の振り子の質量の中心は

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$

これはラグランジアンを書くのに十分な情報です。

ラグランジアンは​

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{運動エネルギー}}-{\text{位置エネルギー}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$

最初の項は物体の質量中心の線形 運動エネルギーであり、2 番目の項は各棒の質量中心の周りの回転運動エネルギーです。最後の項は均一な重力場における物体の位置エネルギーです。ドット表記は、問題の変数の 時間微分を示します。

（連鎖律と三角関数の恒等式の一覧を参照）

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\cos \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta _{1}\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\sin \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta _{1}\right)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}{\tfrac {l^{2}}{4}}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {l^{2}}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2},}$

そして

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}\right)}$

${\displaystyle {\dot {y}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}\right)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)}$

${\displaystyle =l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right),}$

上記の座標を代入して式を整理すると、

${\displaystyle L={\tfrac {ml^{2}}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {ml^{2}}{24}}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}$

オイラー-ラグランジュ方程式は^[a]において次の2つの2次非線形微分方程式を与える。 ${\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2})}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}m_{2}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{2}\left(\left(\theta _{2}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\theta _{2}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)+m_{1}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)=0\\g\sin \left(\theta _{2}\right)+l_{1}\left(\theta _{1}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)-\left(\theta _{1}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{2}\theta _{2}''=0\\\end{array}}}$

θ ₁とθ ₂の時間の関数としての閉形式の解は知られていないため、このシステムを解くには、ルンゲ・クッタ法または同様の手法を使用して数値的にしか実行できません。

二重振り子はカオス的な運動をしており、初期条件に敏感に依存することが明らかです。右の図は、振り子が静止状態で放されたときの初期位置の関数として、振り子がひっくり返るまでの経過時間を示しています。ここで、θ ₁の初期値はx方向に沿って-3.14 から 3.14 の範囲です。初期値θ ₂はy方向に沿って -3.14 から 3.14 の範囲です。各ピクセルの色は、どちらの振り子が反転するかを示します。

• ${\displaystyle {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$（黒）
• ${\displaystyle 10{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$（赤）
• ${\displaystyle 100{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$（緑）
• ${\displaystyle 1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$（青）または
• ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$（紫）。

内部で反転につながらない初期条件は白でプロットされます。 ${\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

中央の白い領域の境界は、次の曲線でエネルギー保存則によって部分的に定義されます。

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}$

この曲線で定義される領域内では、つまり

${\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}$

すると、どちらの振り子もエネルギー的に反転することは不可能になります。この領域外では、振り子は反転する可能性がありますが、反転するタイミングを決定するのは複雑な問題です。同様の動作は、分散質量を持つ2本の棒ではなく、 2つの質点で構成される二重振り子でも観察されます。 ^[2]

固有の励起周波数がないため、建物の耐震設計では二重振り子システムが使用されるようになりました。このシステムでは、建物自体が主要な倒立振り子であり、二次質量が接続されて二重振り子が完成します。

• 二重倒立振り子
• 振り子（力学）
• トレビュシェット
• ボーラス
• マスダンパー
• 20 世紀半ばの物理学の教科書では、「二重振り子」という用語が、1 本のひもから吊り下げられた 1 本の錘と、そのひもが V 字型のひもから吊り下げられたものという意味で使用されています。リサジュー曲線を描くこのタイプの振り子は、現在ではブラックバーン振り子と呼ばれています。

• メイロヴィッチ、レナード (1986)。振動解析の要素(第 2 版)。McGraw-Hill 科学/工学/数学。ISBN 0-07-041342-8。
• Eric W. Weisstein、「二重振り子」 (2005)、ScienceWorld (関連する複雑な方程式の詳細が含まれています)、および Rob Morris 著「二重振り子」、Wolfram Demonstrations Project、2007 (これらの方程式のアニメーション)。
• ピーター・リンチ、『二重振り子』(2001)。(Java アプレット シミュレーション)
• ノースウェスタン大学、二重振り子、Wayback Machine に 2007-06-03 にアーカイブ( Javaアプレット シミュレーション)
• UBC 理論高エネルギー天体物理学グループ、二重振り子、(2005)。

• マイク・ウィートランド（シドニー大学）による二重振り子と物理的な二重振り子（2 つの正方形のプレート）のアニメーションと説明

• 詳細な方程式を使用したインタラクティブなオープンソース物理学JavaScriptシミュレーション二重振り子
• 二重振り子のインタラクティブな JavaScript シミュレーション
• オープンソースの JavaScript コードを使用した www.myphysicslab.com の二重振り子物理シミュレーション
• ロットの振り子のシミュレーション、方程式、説明
• YouTubeで同じ初期条件の二重振り子の比較ビデオを見る
• 二重振り子シミュレーター - Qt ツールキットを使用してC++で記述されたオープンソースのシミュレーター。
• オンライン Java シミュレーターは、Imaginary 展覧会のWayback Machineで 2022-08-16 にアーカイブされています。