初期条件

同次（定数項を持たない）形式の線形行列差分方程式${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$閉形式解を持つ${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$ベクトルに基づく${\displaystyle X_{0}}$ベクトルに組み込まれる個々の変数に対する初期条件。${\displaystyle X_{0}}$これは初期条件ベクトル、または単に初期条件と呼ばれ、nk個の情報を含んでいます。ここで、nはベクトルXの次元、k  =  1はシステムにおける時間遅延の数です。この線形システムにおける初期条件は、状態変数Xの将来の挙動の質的な性質には影響を与えません。その挙動は、行列Aの固有値に基づいて安定または不安定になりますが、初期条件に基づいては安定または不安定になりません。

あるいは、複数の時間遅延を持つ単一変数xの動的プロセスは

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.}$

ここでは次元はn  =  1、次数はkなので、反復法または閉形式解法のいずれを用いても、システムを時間的に追跡するために必要な初期条件の数はnk  = kです。ここでも、初期条件は変数の長期的な変化の定性的な性質には影響を与えません。この方程式の解は、その特性方程式を用いて求められます。 ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$後者のk個の解、すなわち特性値を得る${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$解方程式で使用する

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

定数は${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$この方程式に基づいてk個の異なる方程式の連立方程式を解くことで求められ、各方程式は特定の初期条件を満たすk個の異なるtの値のうちの1つを使用する。${\displaystyle x_{t}}$既知である。

n個の変数をベクトルXに積み重ねた1階微分方程式系は次のようになる。

$\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

初期条件ベクトルを条件とした閉形式解を用いて、その時間経過に伴う挙動を追跡することができる。${\displaystyle X_{0}}$必要な初期情報の数は、システムの次元nとシステムの次数k  =  1 の積、つまりnです。初期条件は、システムの定性的な挙動（安定または不安定）には影響しません。

単一変数xに関するk^次線形方程式は

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

ここで、閉形式解を得るために必要な初期条件の数は、次元n  =  1 に次数kを掛けたもの、つまり単にkです。この場合、k個の初期情報は、通常、異なる時点における変数xの異なる値ではなく、時間ゼロなどのある時点におけるxとその最初のk  –  1 個の導関数の値になります。初期条件は、システムの挙動の定性的な性質には影響しません。この動的方程式の特性方程式は次のとおりです。${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$その解は特性値である${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$これらは解の方程式で使用されます

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

この方程式とその最初のk – 1 階微分は、 k 個のパラメータについて解くことができるk個の方程式のシステムを形成します。${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$ある時刻tにおけるxとそのk – 1 階微分値の既知の初期条件が与えられている。