ヒル微分方程式

数学において、ヒル方程式またはヒル微分方程式は、 2階の線形常微分方程式である。

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$

ここで、最小周期と平均ゼロを持つ周期関数である。これは、すべての${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle f(t+\pi )=f(t),}$

そして

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }f(t)\,dt=0,}$

がとなる数である場合、この方程式はに対して必ず成り立たなくなる。^[1]これは1886 年にこれを導入したジョージ・ウィリアム・ヒルにちなんで名付けられた。 ^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle 0<p<\pi }$${\displaystyle f(t+p)=f(t)}$${\displaystyle t}$

は周期なので、ヒル方程式は のフーリエ級数を使用して書き直すことができます。 ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0.}$

ヒル方程式の重要な特殊なケースとしては、マシュー方程式（ n  = 0, 1に対応する項のみが含まれる）とマイスナー方程式がある。

ヒル方程式は周期微分方程式を理解する上で重要な例である。 の正確な形状に応じて、解は常に有界に留まるか、または解の振動の振幅が指数関数的に増加する可能性がある。^[3]ヒル方程式の解の正確な形はフロケ理論によって記述される。解はヒル行列式で表すこともできる。^[1]${\displaystyle f(t)}$

ヒル方程式は、月の安定性への本来の応用以外にも、^[2]四重極質量分析計のモデリング、^[4]結晶中の電子の1次元シュレーディンガー方程式、 ^{[5]二準位系の} 量子光学、加速器物理学、空間^[6]および/または時間^{[7]で周期的な電磁気構造など、多くの場面で登場します。}

• 「ヒル方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein, Eric W.「Hill の微分方程式」。MathWorld。
• Wolf, G. (2010)、「Mathieu 関数と Hill 方程式」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。