カオス理論

初期条件に対する感度とは、カオス系内の各点が、将来の経路や軌道が大きく異なる他の点によって任意に近似されることを意味します。したがって、現在の軌道の任意に小さな変化や摂動が、将来の挙動を大きく変える可能性があります。^{[ 2 ]}

初期条件に対する感度は、一般に「バタフライ効果」として知られています。これは、1972年にエドワード・ローレンツがワシントンDCの米国科学振興協会で発表した論文のタイトル「予測可能性：ブラジルの蝶の羽ばたきがテキサスの竜巻を引き起こすか？」に由来しています。^{[ 28 ]}羽ばたきはシステムの初期条件の小さな変化を表しており、大規模な現象の予測可能性を妨げる一連の出来事を引き起こします。蝶が羽ばたかなかったら、システム全体の軌跡は大きく異なっていた可能性があります。

1993 年に出版されたLorenz の著書『カオスの本質』^{[ 5 ] : 8}で示唆されているように、「敏感な依存性はカオスの許容できる定義として機能し得る」。同じ本の中で、Lorenz はバタフライ効果を次のように定義した。「動的システムの状態のわずかな変化が、その後の状態を、変化がなかった場合に続くはずだった状態と大きく異なるものにする現象」^{[ 5 ] : 23}上記の定義は、解の初期条件に対する敏感な依存性 (SDIC) と一致している。時間とともに変化する経路の初期位置に対する感度を説明するために、理想化されたスキーモデルが開発された。^{[ 5 ] : 189–204} SDIC の開始前 (つまり、初期の近接した軌道が大きく分離する前) に予測可能範囲を決定することができる。^{[ 29 ]}

初期条件に対する感度の結果、システムに関する情報が限られている場合（実際には通常そうである）、ある時点を超えるとシステムは予測不可能になります。これは、一般的に約 1 週間先までしか予測できない天気の場合に最も顕著です。^{[ 30 ]}これは、遠い将来の出来事について何も断言できないという意味ではなく、システムに何らかの制約があるという意味です。たとえば、地球の表面温度が自然に100 °C (212 °F)に達したり、 -130 °C (-202 °F)を下回ったりすることはないことがわかっています(現在の地質時代) が、1 年間で最も気温が高くなる日を正確に予測することはできません。    

より数学的に言えば、リアプノフ指数は、摂動された初期条件からの指数関数的発散率という形で、初期条件に対する感度を測定する。^{[ 31 ]}より具体的には、位相空間内で無限小の間隔で存在する2つの開始軌道が与えられた場合、初期分離距離は${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$2つの軌道は最終的に、次の速度で分岐する。

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

どこ${\displaystyle t}$時間と${\displaystyle \lambda }$はリアプノフ指数です。分離速度は初期分離ベクトルの向きに依存するため、リアプノフ指数にはさまざまな値が存在する可能性があります。リアプノフ指数の数は位相空間の次元数に等しくなりますが、通常は最大の値を参照します。たとえば、最大リアプノフ指数（MLE）が最もよく使用されます。これは、システムの全体的な予測可能性を決定するためです。正のMLEと解の有界性は、通常、システムがカオス的であることの指標とみなされます。^{[ 8 ]}

上記の性質に加えて、初期条件の感度に関連する他の性質も存​​在する。例えば、測度論的混合（エルゴード理論で議論されているように）やKシステムの性質などが挙げられる。^{[ 11 ]}

カオス系では、変化する変数の値のシーケンスが完全に繰り返される場合があり、そのシーケンス内のどの時点からでも周期的な挙動を示すことがあります。しかし、このような周期的なシーケンスは引き合うのではなく反発する性質を持つため、変化する変数がシーケンスの外側にある場合、たとえそれに近い値であっても、シーケンスには入らず、実際にはシーケンスから逸脱します。したがって、ほとんどすべての初期条件において、変数は非周期的な挙動を示すカオス的に変化します。

位相的混合（あるいはより弱い条件である位相的推移性）とは、システムが時間とともに変化し、位相空間の任意の領域または開集合が最終的に他の任意の領域と重なり合うようになることを意味する。この数学的な「混合」の概念は、一般的な直感に対応しており、着色された染料や流体の混合は、カオス系の一例である。

カオスに関する一般的な説明では、位相的混合はしばしば省略され、カオスは初期条件への感度のみに起因するものとみなされることが多い。しかし、初期条件への感度依存性だけではカオスは生じない。例えば、初期値を繰り返し倍にすることで生成される単純な力学系を考えてみよう。この系は、近接する点のペアが最終的に大きく離れるため、あらゆる点で初期条件に敏感に依存する。しかし、この例には位相的混合がなく、したがってカオスは存在しない。実際、その挙動は非常に単純で、0以外のすべての点が正または負の無限大に収束する。

地図${\displaystyle f:X\to X}$は、任意の空でない開集合のペアに対して、 が成り立つ場合に位相的に推移的であると言われる。${\displaystyle U,V\subset X}$存在する${\displaystyle k>0}$そのため${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$位相的推移性は位相的混合性の弱いバージョンである。直感的に言えば、写像が位相的に推移的であれば、点xと領域Vが与えられたとき、軌道がVを通過する点yがxの近くに存在する。これは、システムを 2 つの開集合に分解することは不可能であることを意味する。^{[ 32 ]}

関連する重要な定理として、バーコフ推移性定理がある。稠密な軌道の存在が位相的推移性を意味することは容易にわかる。バーコフ推移性定理は、X が第 2 の可算完備距離空間である場合、位相的推移性は、稠密な軌道を持つX内の稠密な点の集合の存在を意味すると述べている。^{[ 33 ]}

カオス系が密な周期軌道を持つということは、空間内のすべての点が周期軌道によって任意に接近されることを意味する。^{[ 32 ]} x → 4 x (1 – x )で定義される一次元ロジスティック写像は、周期軌道が密な最も単純なシステムの1つである。例えば、${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$ →${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ →${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$（または約 0.3454915  → 0.9045085  → 0.3454915）は周期 2 の（不安定な）軌道であり、周期 4、8、16 などについても同様の軌道が存在する（実際、シャーコフスキーの定理で指定されているすべての周期について）。^{[ 34 ]}

^{シャーコフスキーの定理は、周期3の規則的なサイクルを示す連続的な一次元システムは、}他のすべての長さの規則的なサイクルと完全にカオス的な軌道も示すという、LiとYorke ^{[ 35} ] (1975) の証明の基礎となっている。

x → 4 x (1 – x )で定義される一次元ロジスティック写像のような一部の力学系は、あらゆる場所でカオス的であるが、多くの場合、カオス的挙動は位相空間の部分集合でのみ見られる。最も興味深いケースは、カオス的挙動がアトラクター上で発生する場合であり、その場合、多数の初期条件がこのカオス領域に収束する軌道につながる。^{[ 36 ]}

カオス的アトラクターを視覚化する簡単な方法は、アトラクターの吸引領域内の点から始めて、その後の軌道を単純にプロットすることです。位相的推移律により、これは最終的なアトラクター全体の図を作成する可能性が高く、実際、右の図に示されている2つの軌道は、ローレンツアトラクターの一般的な形状を示しています。

固定点アトラクターやリミットサイクルとは異なり、カオス系から生じるアトラクターはストレンジアトラクターと呼ばれ、非常に詳細で複雑な構造を持つ。ストレンジアトラクターは、連続力学系（ローレンツ系など）と離散系（エノン写像など）の両方に現れる。他の離散力学系には、固定点の吸引領域の境界に形成されるジュリア集合と呼ばれる反発構造が存在する。ジュリア集合は、ストレンジリペラーと考えることができる。ストレンジアトラクターとジュリア集合はどちらも一般的にフラクタル構造を持ち、フラクタル次元を計算することができる。

単一タイプのカオス解とは対照的に、ローレンツモデル^{[ 40 ] [ 41 ]}を用いた研究では、様々なタイプの解を考慮することの重要性が強調されている。例えば、同じモデル構成を用いながら異なる初期条件を用いる場合、同じモデル（例えば、二重振り子システム）内でカオス解と非カオス解が共存することがある。古典的および一般化されたローレンツモデル^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}から得られたアトラクター共存の発見は、「天気はカオスである」という従来の見方とは対照的に、「天気全体は、明確な予測可能性を伴うカオスと秩序の二重性を持っている」という修正された見方を示唆している。

ロジスティック写像のような離散的なカオス系は、次元に関わらずストレンジアトラクターを示す可能性がある。一方、連続的な力学系では、ポアンカレ・ベンディクソン定理によれば、ストレンジアトラクターは3次元以上の場合にのみ発生する。有限次元の線形系は決してカオス的ではなく、力学系がカオス的挙動を示すためには、非線形であるか、無限次元でなければならない。

ポアンカレ・ベンディクソン定理は、2次元微分方程式が非常に規則的な振る舞いを示すことを述べている。以下で説明するローレンツアトラクターは、次のような3つの微分方程式のシステムによって生成される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$システムの状態を構成する、${\displaystyle t}$時間であり、${\displaystyle \sigma }$、${\displaystyle \rho }$、${\displaystyle \beta }$はシステムパラメータです。右辺の項のうち 5 つは線形、2 つは二次で、合計 7 つの項があります。もう 1 つのよく知られたカオスアトラクターは、7 つの項のうち 1 つだけが非線形であるRössler 方程式によって生成されます。Sprott ^{[ 42 ]}は、特定のパラメータ値でカオスを示す、非線形項が 1 つだけの 5 つの項を持つ 3 次元システムを発見しました。Zhang と Heidel ^{[ 43 ] [ 44 ]}は、少なくとも散逸的および保存的な二次システムの場合、右辺に 3 つまたは 4 つの項しかない 3 次元二次システムはカオス的挙動を示さないことを示しました。その理由は、簡単に言えば、そのようなシステムの解は2 次元の曲面に漸近し、したがって解は良好な挙動を示すからです。

ポアンカレ・ベンディクソン定理によれば、ユークリッド平面上の連続力学系はカオス的になり得ないが、非ユークリッド幾何学を持つ2次元連続系は依然としてカオス的性質を示すことがある。^{[ 45 ]}

^{上記の 3つの常微分方程式のセットは、} 3 次元ローレンツ モデルと呼ばれています。^{[ 46 ] 1963 年以降、非線形性の度合いの増加の影響、および加熱と散逸との複合効果が解の安定性に及ぼす影響を調べるために、高次元ローレンツ モデルが多数の}研究で開発されてきました。 [47 ^{] [ 48 ][37] [ 38 ]}

意外かもしれないが、線形システムでも、無限次元であればカオスが発生する可能性がある。^{[ 49 ]}関数解析では線形カオスの理論が開発されている。^{[ 50 ]}

量子力学は、粘性が乱流を抑制するのと同様にカオス的な振る舞いを抑制する線形非カオス理論の代表例としてもよく考えられているが、実際には、ナノスケールの乱流を示す強相関系のような無限の自由度を持つ量子力学系には当てはまらない。^{[ 51 ] [ 52 ]}

^{結合離散マップ[ 53 ]}の単純な一般化は、空間的に分布したマップ間の相互作用を媒介する畳み込み積分に基づいています。 ${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$、

ここでカーネルは${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$関連する物理システムのグリーン関数として導出されたプロパゲーター、^{[ 54 ]}

${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$物流マップに似ているかもしれない${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$または複素マップ。複素マップの例としては、ジュリア集合が挙げられる。${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$または池田地図${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$役に立つかもしれない。遠距離での波動伝播の問題${\displaystyle L=ct}$波長${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$核とみなされる${\displaystyle K}$シュレーディンガー方程式のグリーン関数の形式を持つ可能性がある。^{[ 55 ] [ 56 ]}

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$。

適切な条件下では、カオスは自発的に同期パターンへと進化する。蔵本モデルでは、カオス系で同期を生み出すには4つの条件で十分である。例としては、クリスティアーン・ホイヘンスの振り子の結合振動、ホタル、ニューロン、ロンドン・ミレニアム・ブリッジの共振、ジョセフソン接合の大規模アレイなどが挙げられる。^{[ 57 ]}

さらに、理論物理学の観点からすると、動的カオスそのものは、最も一般的な形では自発的な秩序である。ここでの本質は、自然界のほとんどの秩序は、さまざまな対称性の自発的な破れから生じるということである。この現象の大きなファミリーには、弾性、超伝導、強磁性、その他多くのものが含まれる。確率力学の超対称理論によれば、カオス、より正確にはその確率的一般化もこのファミリーの一部である。破れる対応する対称性は、すべての確率的（偏）微分方程式に隠されている位相的超対称性であり、対応する秩序パラメータはバタフライ効果の場の理論的具現化である。^{[ 58 ]}

初期条件に対する感度特性を必要としないカオスの定義もあり、例えば組み合わせカオス（離散的な組み合わせ操作を再帰的に適用する）などがある。^{[ 59 ]}これはセルオートマトンによって生成されるカオスとも比較可能で類似している。このタイプのカオスはチューリングマシンと同等になり得るため、このような動的システムで計算を実行できることが重要である。これは停止問題が決定不可能であることを直感的に理解する方法であり、一部の計算アルゴリズムは決して終了しない可能性があることを示唆している。この種のシステムの予測不可能性は、通常、他のタイプのカオスの予測不可能性とは異なる性質を持つ。 ^{[ 60 ]}

カオス理論は長年にわたり暗号学で利用されてきました。過去数十年間、カオスと非線形力学は数百もの暗号プリミティブの設計に利用されてきました。これらのアルゴリズムには、画像暗号化アルゴリズム、ハッシュ関数、安全な擬似乱数生成器、ストリーム暗号、電子透かし、ステガノグラフィーなどが含まれます。^{[ 119 ]}これらのアルゴリズムの大部分は単峰性カオス写像に基づいており、これらのアルゴリズムの大部分はカオス写像の制御パラメータと初期条件を鍵として使用しています。^{[ 120 ]}より広い視点から、一般性を損なうことなく、カオス写像と暗号システムの類似性が、カオスベースの暗号アルゴリズムの設計の主な動機となっています。^{[ 119 ]}暗号の一種である秘密鍵または対称鍵は、拡散と混乱に依存しており、これはカオス理論によってうまくモデル化されています。^{[ 121 ]}

ロボット工学は、近年カオス理論の恩恵を受けているもう一つの分野です。ロボットが環境と相互作用するために試行錯誤型の改良を行う代わりに、カオス理論は予測モデルの構築に使用されています。^{[ 122 ]}カオス的なダイナミクスは、受動的に歩行する二足歩行ロボット によって示されています。^{[ 123 ]}

100年以上にわたり、生物学者は個体群モデルを用いて様々な種の個体群を追跡してきた。ほとんどのモデルは連続的であるが、近年、科学者は特定の個体群にカオスモデルを適用できるようになった。^{[ 124 ]}例えば、カナダオオヤマネコのモデルに関する研究では、個体群の増加にカオス的な挙動が見られることが示された。^{[ 125 ]}カオスは水文学などの生態系にも見られる。水文学のカオスモデルには欠点があるものの、カオス理論の視点からデータを見ることで学ぶべきことはまだたくさんある。^{[ 126 ]}もう一つの生物学的応用は心拍陣痛図である。胎児監視は、可能な限り非侵襲的でありながら正確な情報を得るという微妙なバランスの上に成り立っている。胎児低酸素症の警告サインのより良いモデルは、カオスモデリングによって得られる。^{[ 127 ]}

ペリーが指摘するように、生態学におけるカオス的時系列のモデリングは制約によって助けられる。^{[ 128 ] : 176,177}実際のカオスとモデル内のみのカオスを区別することは常に困難である可能性がある。^{[ 128 ] : 176,177したがって、モデル内の制約、または比較のための重複した時系列データの両方が、モデルを}現実に近いものに制約するのに役立つ。たとえば、ペリーとウォール 1984。^{[ 128 ] : 176,177}遺伝子対遺伝子の共進化は、対立遺伝子頻度でカオス的ダイナミクスを示すことがある。^{[ 129 ]}変数を追加すると、これが誇張される。実際の集団の追加の側面を反映するために追加の変数を組み込んだモデルでは、カオスがより一般的である。 ^{[ 129 ]}ロバート M. メイ自身がこれらの基礎的な作物共進化研究のいくつかを行い、これがひいては分野全体の形成に役立った。^{[ 129 ]}安定した環境であっても、1つの作物と1つの病原体を組み合わせるだけで、病原体の個体数に準周期的またはカオス的な振動が生じる可能性がある。^{[ 130 ]： 169}

経済モデルもカオス理論の応用によって改善できる可能性はあるが、経済システムの健全性や、それに最も影響を与える要因を予測することは極めて複雑な作業である。^{[ 131 ]}経済システムと金融システムは、人々の相互作用の結果として本質的に確率的であるため、古典的な自然科学のシステムとは根本的に異なり、したがって純粋な決定論的モデルではデータの正確な表現は得られない。経済学と金融におけるカオスを検証する実証研究は、カオスの特定のテストと非線形関係のより一般的なテストとの混同もあって、非常にまちまちの結果を示している。^{[ 132 ]}

経済学におけるカオスは、再帰定量分析によって発見される可能性がある。実際、Orlando ら^{[ 133 ]}は、いわゆる再帰定量相関指数を用いて、時系列における隠れた変化を検出することができた。その後、同じ手法が、層流（規則的）相から乱流（カオス的）相への遷移やマクロ経済変数間の差異の検出、経済ダイナミクスの隠れた特徴の強調に用いられた。^{[ 134 ]}最後に、カオス理論は、経済がどのように機能するかをモデル化したり、COVID-19 のような外部イベントによるショックを組み込んだりするのに役立つ可能性がある。^{[ 135 ]}

解の初期条件への敏感な依存性（SDIC）、別名バタフライ効果のため、ローレンツ 1963 モデルのようなカオス系は、有限の予測可能期間を意味します。これは、有限の時間範囲では正確な予測が可能である一方、無限の時間範囲では不可能であることを意味します。ローレンツのカオス解の性質を考慮して、1966 年に Charney らが率いる委員会^{[ 136 ]}は、一般循環モデルから 5 日の倍増時間を外挿し、2 週間の予測限界を示唆しました。この 5 日の倍増時間と 2 週間の予測限界との関連性は、1969 年の地球大気研究計画 (GARP) の報告書にも記録されています。^{[ 137 ]} Mintz および Arakawa モデルとローレンツのモデルからの直接的および間接的な影響、ならびに Charney らのリーダーシップを認めるために、Shen らは、^{[ 138 ]は}、2週間の予測可能性の限界を「予測可能性限界仮説」と呼び、ムーアの法則との類似性を挙げている。

AI 駆動の大規模言語モデルでは、応答はフォーマットの変更やプロンプトのバリエーションなどの要因に対して敏感になることがあります。これらの感度はバタフライ効果に似ています。^{[ 139 ]} AI 駆動の大規模言語モデルを古典的な決定論的カオスシステムとして分類することは困難ですが、カオスに触発されたアプローチと技術​​ (アンサンブルモデリングなど) を使用して、これらの広範な言語モデルから信頼できる情報を抽出することができます (「大衆文化におけるバタフライ効果」も参照)。

化学では、気体の溶解度を予測することはポリマーの製造に不可欠ですが、粒子群最適化(PSO) を使用したモデルは誤った点に収束する傾向があります。カオスを導入することで、シミュレーションが停滞しないように改良された PSO が作成されました。^{[ 140 ]}天体力学、特に小惑星の観測では、カオス理論を適用することで、これらの天体が地球や他の惑星に接近する時期についてより正確な予測が可能になります。^{[ 141 ]}冥王星の5 つの衛星のうち 4 つはカオス的に回転しています。量子物理学と電気工学では、ジョセフソン接合の大規模アレイの研究はカオス理論から大きな恩恵を受けています。^{[ 57 ]}より身近なところでは、炭鉱は常に危険な場所であり、頻繁な天然ガスの漏洩が多くの死者を出しています。最近まで、いつ漏洩が発生するかを確実に予測する方法はありませんでした。しかし、これらのガスの漏洩にはカオス的な傾向があり、適切にモデル化すればかなり正確に予測できます。^{[ 142 ]}

カオス理論は自然科学以外にも応用できるが、歴史的に見て、そのような研究のほぼすべてが再現性の欠如、外部妥当性の低さ、および/または交差検証への不注意に悩まされており、その結果、予測精度が低い（サンプル外予測が試みられたとしても）。Glass ^{[ 143 ]}と Mandell および Selz ^{[ 144 ]}は、これまで EEG 研究でストレンジ アトラクターやその他のカオス的挙動の兆候が示されたものはないことを発見した。

レディントンとリードボード（1992）は、人間の心臓がカオス的な特性を示す可能性があることを実証しようと試みた。彼らは、心理療法を受けている患者1人が治療セッション中に感情の強さが変化する期間を経る際の心拍間隔の変化をモニタリングした。結果は確かに決定的なものではなかった。著者らがカオス的ダイナミクスの証拠を示すために作成したさまざまなグラフ（スペクトル分析、位相軌跡、自己相関プロット）に曖昧さがあっただけでなく、カオス的挙動のより決定的な確認としてリアプノフ指数を計算しようとしたとき、著者らはそれを確実に行うことができないことに気づいた。^{[ 145 ]}

1995年の論文で、MetcalfとAllen ^{[ 146 ]}は、動物の行動において周期倍加がカオスにつながるパターンを発見したと主張した。著者らは、スケジュール誘発性多飲症と呼ばれるよく知られた反応を調べた。これは、一定期間餌を与えられなかった動物が、最後に餌を与えられたときに異常な量の水を飲むという反応である。ここで作用する制御パラメータ(r)は、餌やりが再開された後の餌やりの間隔の長さであった。著者らは、多数の動物をテストし、多くの反復実験を含めるように注意し、反応パターンの変化がrの異なる開始点によって引き起こされる可能性を排除するように実験を設計した。

時系列プロットと最初の遅延プロットは、主張を最もよく裏付けており、給餌時間の増加に伴って周期性から不規則性へとかなり明確に移行していく様子を示している。一方、様々な位相軌跡プロットとスペクトル解析は、他のグラフや全体的な理論と十分に一致しておらず、必然的にカオス的診断に至るものではない。例えば、位相軌跡は、ますます複雑化していく（そして周期性から離れていく）明確な進行を示しておらず、その過程はかなり曖昧である。また、MetcalfとAllenがスペクトルプロットで周期2と6を見出した箇所には、別の解釈の余地がある。こうした曖昧さのすべてが、結果がカオスモデルに適合することを示すために、やや回りくどい事後的な説明を必要とする。

アムンソンとブライトは、従業員と労働市場との関係を混沌とした解釈で捉えるようにキャリアカウンセリングのモデルを適応させることで、キャリアの意思決定に苦労している人々に、より良い提案ができることを見出した。^{[ 147 ]}現代の組織は、混沌をもたらす可能性のある内部および外部の力の影響を受ける、基本的な自然な非線形構造を持つ開放的な複雑適応システムとしてますます認識されている。たとえば、チームビルディングとグループ開発は、異なる個人が初めて出会うことの不確実性によってチームの軌跡が予測不可能になるため、本質的に予測不可能なシステムとしてますます研究されている。^{[ 148 ]}

交通予測はカオス理論の応用によって恩恵を受ける可能性がある。渋滞が発生するタイミングをより正確に予測できれば、渋滞が発生する前にそれを解消するための対策を講じることができる。カオス理論の原理を他のいくつかの方法と組み合わせることで、BML交通モデルのような、より正確な短期予測モデルが実現した。^{[ 149 ]}

カオス理論は、降雨量や河川流量などの環境水循環データ（水文データ）に適用されてきた。 ^{[ 150 ]}これらの研究は、カオス的特徴を検出する方法が比較的主観的であることが多いため、議論を呼ぶ結果をもたらしている。初期の研究ではカオスの発見に「成功」​​する傾向があったが、その後の研究やメタ分析では、これらの研究に疑問が呈され、これらのデータセットが低次元のカオス的ダイナミクスを持つ可能性が低い理由が説明された。^{[ 151 ]}