DFスペース

関数解析の数学の分野において、DF空間（( DF )空間とも表記）は、局所凸距離化可能な位相ベクトル空間と共有される性質を持つ局所凸位相ベクトル空間である。位相テンソル積の理論において重要な役割を果たしている。^[1]

DF 空間は、アレクサンダー・グロタンディークによって初めて定義され、(Grothendieck 1954) で詳細に研究されました。グロタンディークは、距離化可能な空間の強双対の次の性質からこれらの空間を導入しました。 が距離化可能な局所凸空間であり、 があらゆる強有界集合を吸収するの凸 0 近傍の列である場合、 は の0 近傍です(ここで は強双対位相を備えたの連続双対空間です)。 ^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle V:=\cap _{i}V_{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X}$

局所凸位相ベクトル空間（TVS）は、 DF空間（（DF）空間とも表記）であり、^[1]${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$は可算擬バレル空間である（すなわち、 の同値連続部分集合の強有界可算和は同値連続である）。${\displaystyle X^{\prime}}$
2. ${\displaystyle X}$は有界な基本列を持つ（つまり、 のすべての有界な部分集合が何らかの^[3]に含まれるような有界な部分集合の可算な列が存在する）。${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{i}}$

• をDF空間とし、をの凸バランス部分集合とします。すると、が原点の近傍となるのは、任意の凸バランス有界部分集合に対してが^[1]における原点の近傍となる場合のみです 。したがって、DF空間から局所凸空間への線型写像は、その領域の各有界部分集合への制限が連続である場合に連続となります。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B\cap V}$${\displaystyle B.}$
• DF空間の強双対空間はフレシェ空間である。^[4]
• すべての無限次元モンテルDF空間はシーケンシャル空間だが、フレシェ-ウリゾーン空間ではない。
• がDF 空間またはLM 空間のいずれかであるとします。 が連続空間である場合、それは距離化可能か、そうでなければモンテル空間DF 空間のいずれかです。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• あらゆる準完全なDF空間は完全である。^[5]
• が完全な核DF空間であれば、はモンテル空間である。^[6]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

フレシェ空間の強双対空間 はDF空間である。^[7]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X}$

• 距離化可能な局所凸空間の強い双対はDF空間である^[8]が、その逆は一般には真ではない^[8]（逆は、すべてのDF空間は何らかの距離化可能な局所凸空間の強い双対であるという主張である）。このことから次のようになる。
  • あらゆるノルム空間はDF空間である。^[9]
  • あらゆるバナッハ空間はDF空間である。^[1]
  • 有界集合の基本シーケンスを持つすべてのインフラバレル空間はDF 空間です。
• DF空間のハウスドルフ商はすべてDF空間である。^[10]
• DF空間の完成はDF空間である。[ 10 ^]
• DF空間の列の局所凸和はDF空間である。^[10]
• DF空間の列の帰納的極限はDF空間である。^[10]
• とがDF空間であると仮定する。このとき、これらの空間の射影テンソル積とその完備化はDF空間である。^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

しかし、

• 非自明なDF空間の無限積（すなわち、すべての因子が0以外の次元を持つ）はDF空間ではない。 ^[10]
• DF空間の閉じたベクトル部分空間は必ずしもDF空間ではない。^[10]
• 距離化可能な局所凸TVSの強双対とTVS同型ではない完全なDF空間が存在する。^[10]

距離化可能な局所凸空間の強双対とTVS同型ではない完全なDF空間が存在する。^[10] DF空間ではない閉じたベクトル部分空間を持つDF空間が存在する。^[11]

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• 可算準バレル空間
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• LF空間 – 位相ベクトル空間
• 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化
• 射影テンソル積 – 2つの位相ベクトル空間上で定義されるテンソル積フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• グロタンディーク、アレクサンダー(1954)。「空間 (F) と空間 (DF) について」。ブラジル数学大全(フランス語)。3 : 57–123。MR  0075542。
• グロタンディーク、アレクサンダー(1955)。「位相テンソル積と核空間」。アメリカ数学会誌シリーズ(フランス語)。16 。プロビデンス: アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• Khaleelulla, SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• ピエチュ、アルブレヒト (1979)。核の局所的に凸な空間。 Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 66（第2版）。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC  539541.
• ピエチュ、アルブレヒト (1972)。核の局所的に凸状の空間。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• ウォン、ヤウ・チュエン (1979)。シュワルツ空間、核空間、テンソル積。数学講義ノート。第 726 巻。ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC  5126158.

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