デルタ関数

ホモロジー代数において、2つのアーベル圏AとBの間のδ-関手は、 AからBへの関手の集合と、導来関手の諸性質を一般化する諸性質を満たす射の集合である。普遍δ-関手は、射を「次数0」を超えて拡張することに関連する特定の普遍性質を満たすδ-関手である。これらの概念は、アレクサンダー・グロタンディークが「東北論文」で導来関手のための適切な設定を提供するために導入した。 ^[1]特に、導来関手は普遍δ-関手である。

ホモロジー δ 関手とコホモロジー δ 関手という用語は、射が「下がる」場合 (ホモロジー) と「上がる」場合 (コホモロジー) を区別するために使用されることがあります。特に、これらの修飾子の 1 つは、明示されないことが多いものの、常に暗黙的です。

2つのアーベル圏AとBが与えられたとき、 AとBの間の共変コホモロジーδ関手は、非負整数でインデックス付けされた共変加法関手T ⁿ  : A → Bの族{ T ⁿ }であり、各短完全列に対して

${\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}$

射影の族

${\displaystyle \delta^{n}:T^{n}(M^{\prime \prime })\rightarrow T^{n+1}(M^{\prime })}$

次の 2 つの特性を満たす非負の整数でインデックス付けされます。

2 番目の特性は、δ 関手の関手性を表します。修飾子「コホモロジー」は、 δ ^{n が}Tのインデックスを上げることを示します。AとBの間の共変ホモロジー δ 関手も同様に定義されます (通常は添え字を使用します) が、 δ _{n は}T _n ( M '') → T _n-1 ( M' ) の射です。AとBの間の反変コホモロジー δ 関手とAとBの間の反変ホモロジー δ 関手の概念も、それに応じて「矢印を逆にする」ことで定義できます。

δ-関手の射とは、短完全列ごとに射 δ と可換となる自然変換の族である。例えば、 SとTで表される 2 つの共変コホモロジー δ-関手の場合、 SからTへの射は、短完全列ごとに F _n  : S ⁿ → T ⁿとなる自然変換の族である。

${\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}$

次の図は可換です。

普遍的なδ-関手は、 （普遍的な）性質によって特徴付けられ、そこから他の任意のδ-関手（AとBの間）への射を与えることは、単にF _{0を与えることと同値である。Sが}AとBの間の共変コホモロジーδ-関手を表す場合、Sは、他の任意の（共変コホモロジー的）δ-関手T（AとBの間）が与えられ、任意の自然変換が与えられた場合に普遍的である 。

${\displaystyle F_{0}:S^{0}\rightarrow T^{0}}$

正の整数でインデックス付けされた一意のシーケンスF _nが存在し、ファミリ { F _n } _{n ≥ 0}は δ 関数の射である。

• 消去可能な関数

• Grothendieck, Alexander (1957)、「Sur quelques point d'algebre homologique」、東北数学ジャーナル、第 2 シリーズ、9 (2–3)、MR  0102537

• Lang, Serge (2002)、Algebra、Graduate Texts in Mathematics、vol. 211（改訂第3版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBNのセクションXX.7 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
• Weibel, Charles A. (1994)のセクション 2.1 。ホモロジー代数入門。Cambridge Studies in Advanced Mathematics。第 38 巻。Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.