派生語

数学において、導関数はホモロジー代数 の提案された枠組みであり^{[1] [2] 190-195ページ、}可換ホモロジー代数と非可換ホモロジー代数の両方とそのさまざまな一般化の基礎を与えます。導出範疇の欠陥（円錐構成の非関数性など）に対処すると同時にホモトピー代数の言語を提供するために導入されました。

デリバターは、アレクサンダー・グロタンディークが1983年に長らく未発表だった原稿「Pursuing Stacks」で初めて導入した。その後、グロタンディークは1991年に未発表だった約2000ページの膨大な原稿「Les Dérivateurs 」でさらに発展させた。本質的に同じ概念はアレックス・ヘラーによって（明らかに独立して）導入された。^[3]

この原稿は、Georges Maltsiniotis によってオンライン出版用に編集されました。この理論は、Heller、Franke、Keller、Groth を含む他の数名によってさらに発展させられました。

導関数を考慮する動機の1つは、三角形のカテゴリを持つ円錐構成の関数性の欠如です。導関数は、弱同値性を持つカテゴリ内のすべての可能な図とそれらの相互関係を追跡することで、この問題を解決し、一般的なホモトピー余極限の包含を解決できます。経験的に、図

${\displaystyle \bullet \to \bullet }$

これは2つのオブジェクトと1つの非恒等射を持つカテゴリであり、関数

${\displaystyle F:(\bullet \to \bullet )\to A}$

弱同値のクラスを持つカテゴリ（正しい仮定を満たす）には、関連する関数が存在するはずである。${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle C(F):\bullet \to A[W^{-1}]}$

ここで、ターゲット オブジェクトは、 における弱同値性まで一意です。導関数は、この種の情報をエンコードし、導出カテゴリとホモトピー理論 で使用するダイアグラム計算を提供することができます。${\displaystyle {\mathcal {C}}[W^{-1}]}$

形式的には、前導関数 は2関数である${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \mathbb {D} :{\text{Ind}}^{op}\to {\text{CAT}}}$

適切な2次元の添え字のカテゴリからカテゴリのカテゴリへの変換。典型的には、このような2次元の関数は、係数のカテゴリと呼ばれるカテゴリを考えることで得られる。例えば、フィルタされた小さなカテゴリのカテゴリは、そのオブジェクトがフィルタされた余極限の添え字集合として考えることができる。すると、図の射が与えられたとき、${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\text{Ind}}}$

${\displaystyle f:I\to J}$

で示す${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}:\mathbb {D} (J)\to \mathbb {D} (I)}$

これは逆像関数と呼ばれます。動機付けの例では、これは単なる前合成なので、関数が与えられたらそれに関連する関数が存在します。これらの2関数は次のように考えることができます。${\displaystyle F_{I}\in {\underline {\text{Hom}}}(I^{op},A)}$${\displaystyle F_{J}=F_{I}\circ f}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}(-,A[W^{-1}])}$

ここで、 はカテゴリ における適切な弱同値類です。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$

この構造で使用できるインデックスカテゴリの例は多数あります。

• 有限カテゴリの2 カテゴリ。つまり、オブジェクトはオブジェクトのコレクションが有限集合であるカテゴリです。${\displaystyle {\text{FinCat}}}$
• 順序カテゴリは2 つのカテゴリに分類できます。この場合、オブジェクトは 1 つのオブジェクトを持つカテゴリであり、関数は順序カテゴリの矢印から生じます。${\displaystyle \Delta }$
• もう 1 つのオプションは、小さなカテゴリのカテゴリのみを使用することです。
• さらに、任意の位相空間には、インデックス カテゴリとして使用できるカテゴリが関連付けられています。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{開く}}(X)}$
• さらに、何らかのスキームまたは代数空間のザリクシ、エタールなどのトポイの基底サイトとその射は、インデックスカテゴリに使用できます。${\displaystyle (X)_{\tau}}$ ${\displaystyle X}$
• これは任意の topos に一般化できるため、インデックス カテゴリは基礎となるサイトになります。${\displaystyle T}$

微分子は、随伴関数を備えた前微分子の公理化である。

${\displaystyle f^{?}\dashv f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}\dashv f^{!}}$

ここで、は左随伴であり、以下同様です。経験的に、逆極限、余極限に対応するはずです。 ${\displaystyle f_{!}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{!}}$

• グロタンディーク、アレクサンダー(1991)。マルツィニオティス、ジョルジュ。マルゴワール、ジャン。マティアス・クンツァー（編）。 「Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck」。
• ヘラー、アレックス (1988)。「ホモトピー理論」。アメリカ数学会誌。71 (383)。プロビデンス、ロードアイランド州: Amer. Math. Soc. doi : 10.1090 / memo/ 0383。ISBN 978-0-8218-2446-7。
• Groth, Moritz (2013). 「導関数、有向導関数、安定導関数」. Algebr. Geom. Topol . 13 : 313–374. arXiv : 1112.3840 . doi :10.2140/agt.2013.13.313. S2CID  62898638.

• nLabの派生語
• サブトポス、オープンサブトポス、クローズドサブトポス
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html