基本的なグループスキーム

数学において、基本群スキームは、デデキントスキーム（体のスペクトルや離散付値環のスペクトルなど）上のスキームに正準に付随する群スキームである。これはエタール基本群の一般化である。その存在はアレクサンダー・グロタンディークによって予想されたが、体上で定義されたスキームについて、その存在の最初の証明はマダフ・ノリによるものである。^{[1] [2] [3]}デデキントスキーム上で定義されたスキームについての存在の証明は、マルコ・アンテイ、ミシェル・エムサレム、カルロ・ガスバリによるものである。^{[4] [5]}

位相空間に関連付けられた(位相的)基本群は、空間に含まれるループのホモトピーの下での同値類の群です。代数幾何学においてさえも代数多様体の分類のためにまだ研究されていますが、多くの応用において、基本群は、位相空間以上のものであるスキームなどのオブジェクトの分類には不十分であることがわかっています。同じ位相空間が複数の異なるスキーム構造を持つこともありますが、その位相的基本群は常に同じです。したがって、位相空間とともに構造層の存在を考慮する新しいオブジェクトを作成する必要がありました。これにより、エタール基本群が作成されました。これは、与えられたスキーム のエタール被覆に作用するすべての有限群の射影極限です。ただし、正の特性では、後者は明らかな制限があります。これは、エタールではないグループ スキーム(たとえば、特性が の場合) の存在と、被覆の自然な一般化である 上のトルソーに作用するグループ スキームの存在を考慮していないためです。この考えから、グロタンディークは新しい真の基本群（フランス語でun vrai groupe fondamental ）の作成を望み、1960年代初頭に有名なSGA 1、Chapitre Xでその存在を予想しました。基本群スキームの存在に関する最初の結果が明らかになるまでには、10年以上かかりました。序論で述べたように、この結果は、1976年に体上で定義されたスキームに対するこの新しいオブジェクトの最初の構成を発表したマダブ・ノリによるものです。名前については、彼は真の基本群という名前を放棄することに決め、今日知られているように、基本群スキームと呼びました。^[1]これは、以前の基本群やその現代的な一般化と区別するために、 （Nori を表す）と表記されることもよくあります。次元 1 の正則スキーム上で定義された の存在の証明には、さらに約40年待たなければなりませんでした。一般化としては、 -基本群スキーム^[6]や準有限基本群スキーム^[4]など様々なものがある。${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha_{p}}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle \pi^{N}(X,x)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \pi^{S}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$

元の定義と最初の構成は、Nori によってフィールド上のスキームに対して提案されました。その後、それらはより広範囲のスキームに適応されました。これまでのところ、次元 0 (フィールドのスペクトル) または次元 1 (デデキント スキーム)のスキームに対して定義されたスキームの完全な理論のみが存在するため、以下ではこれについて説明します。 ${\displaystyle X}$

をデデキントスキーム（体のスペクトルでもよい）と局所的に有限型の忠実に平坦な射 とします。にはセクション があると仮定します。 が基本群スキームを持つとは、断面 を持つ有限-トルソル が存在し、断面 を持つ任意の有限-トルソルに対してを に送るトルソルの一意の射が存在するときです。^{[2] [4]}${\displaystyle S}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X(S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle y}$

今日では、体 上に定義されたスキーム の基本群スキームの存在結果がいくつかあります。Nori は、が完全で が、簡約され連結されたスキームを持つスキームの適切な射である場合に、最初の存在定理を与えています。セクション の存在を仮定すると、 上の本質的に有限なベクトル束の中立タンナキアン カテゴリ ( 上) に自然に関連付けられたアフィン グループ スキームとして、 における の基本群スキームが構築されます。 [ 1 ] ^Noriはまた、 が任意の体でありが 上の任意の有限型で簡約され連結されたスキームである場合に、基本群スキームが存在することを証明しています。ただし、この状況では、タンナキアン カテゴリは含まれていません。^{[2]それ以来、いくつかの}非簡約スキームを含む他の存在結果が追加されました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

を次元 1 のデデキントスキーム、任意の連結スキーム、局所的に有限型の忠実に平坦な射とします。セクションの存在を仮定します。すると、上の群スキームとしての基本群スキームの存在は、Marco Antei、Michel Emsalem、Carlo Gasbarri によって次の状況で証明されています: ^[4]${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle x:S\to X}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle S}$

• 繊維が減るごとに${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle X_{s}}$
• 任意の に対して局所環が整的に閉じている場合（たとえばが正規分布している場合）。${\displaystyle x\in X\setminus X_{\eta}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$${\displaystyle X}$

しかしながら、デデキントスキーム上では、有限群スキームだけを考える必要はありません。実際、準有限群スキームも、体上の有限群スキームの非常に自然な一般化です。^{[7] Antei、Emsalem、Gasbarri が}準有限基本群スキームを 次のように定義したのはこのためです。をデデキントスキームと、局所的に有限型の忠実に平坦な射とします。がセクション を持つと仮定します。準有限で平坦なトーサー が存在し、そのセクションが を持つ任意の準有限 -トーサーに対して、をに送るトーサーの一意の射が存在する場合、は準有限基本群スキームを持つといいます。[ ^4]彼らは、任意の に対してファイバーが整列かつ正規である場合に が存在することを証明しました。 ${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:X\to S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in X(S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$ ${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \pi^{\text{qf}}(X,x)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle X_{s}}$

の最大プロエタール商を考えることができる。基本スキームが代数的に閉じた体のスペクトルである場合、それはエタール基本群と一致する。より正確には、点群はと同型である。^[8]${\displaystyle \pi_{1}(X,x)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi^{\text{ét}}(X,x)}$${\displaystyle \pi_{1}(X,x)(k)}$${\displaystyle \pi^{\text{ét}}(X,x)}$

および代数的に閉じた体上の任意の2つの滑らかな射影スキームに対して、積の公式が成り立ちます。つまり、 です。^{[9]この結果はNori [1]}によって推測され、 Vikram MehtaとSubramanianによって証明されました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\times _{k}\pi _{1}(Y,y)\simeq \pi _{1}(X\times _{k}Y,x \times _{k}y)}$