ヒルベルトスキーム

数学の一分野である代数幾何学において、ヒルベルトスキームは、ある射影空間（またはより一般的な射影スキーム）の閉じた部分スキームのパラメータ空間であり、チョウ多様体を改良したものである。ヒルベルトスキームは、ヒルベルト多項式に対応する射影部分スキームの互いに素な和集合である。ヒルベルトスキームの基本理論は、アレクサンダー・グロタンディーク （1961）によって開発された。広中の例は、非射影多様体はヒルベルトスキームを持つ必要がないことを示している。

ヒルベルトスキームは、射影空間の閉じた部分スキームを次の意味で分類する。任意の局所ノイザンスキームSに対して、 S値の点 の集合${\displaystyle \mathbf {ヒルブ} (n)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))}$

ヒルベルトスキームの は、 S上で平坦なの閉じたサブスキームの集合に自然に同型です。 S上で平坦な の閉じたサブスキームは、非公式には、 Sによってパラメータ化された射影空間のサブスキームの族と考えることができます。ヒルベルトスキームは、 ヒルベルト多項式Pを持つ射影空間のサブスキームのヒルベルトスキームに対応する部分の互いに素な和集合として分解されます。これらの各部分は 上で射影的です。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times S}$${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$

グロタンディークは、さまざまな行列式の消滅によって定義されるグラスマン多様体のサブスキームとして、次元射影空間のヒルベルトスキームを構築しました。その基本的な性質は、スキーム に対して、それが 上で平坦な の閉じたサブスキームである - 値点を持つ関数を表すことです。 ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\times T}$${\displaystyle T}$

が -次元射影空間の部分スキームである 場合、は変数の多項式環の次数付きイデアルに対応し、次数付き部分は である。十分に大きい場合、の係数を持つのすべての高次コホモロジー群は消える。正確なシーケンスを使用して${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I_{X}^{\bullet }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle I_{X}^{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(m)}$

${\displaystyle 0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

は次元 を持ち、 は射影空間のヒルベルト多項式です。これは、上記の正確なシーケンスを局所平坦層 でテンソル化することで示され、後者の 2 つの項が自明なコホモロジーを持つ正確なシーケンスを与え、 の高次コホモロジーの自明性を意味します。コヒーレント層のヒルベルト多項式とその層コホモロジー群のオイラー特性の等式を使用していることに注意してください。 ${\displaystyle I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))}$${\displaystyle Q(m)-P_{X}(m)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)}$${\displaystyle I_{X}(m)}$

十分に大きな の値を選択します。次元空間は次元空間のサブスペースであるため、グラスマン多項式 の点を表します。これにより、ヒルベルト多項式に対応するヒルベルト方式の部分がこのグラスマン多項式に埋め込まれます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle (Q(m)-P_{X}(m))}$${\displaystyle I_{X}^{m}}$${\displaystyle Q(m)}$${\displaystyle S^{m}}$${\displaystyle {\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))}$${\displaystyle P_{X}}$

残っているのは、この像のスキーム構造を記述すること、言い換えれば、それに対応するイデアルの十分な元を記述することです。十分な元は、すべての正の k に対して、マップI _X ( m ) ⊗ S ( k ) → S ( k + m )が最大でdim( I _X ( k + m ))のランクを持つという条件によって与えられます。これは、さまざまな行列式が消えることと同等です。(より注意深い分析により、 k = 1を取るだけで十分であることがわかります。)

ヒルベルト多項式を持つ体上の閉じた部分スキームが与えられたとき、ヒルベルトスキームH= Hilb ( n , P )は、次のよう に平坦な普遍部分スキームを持つ。${\displaystyle Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle W\subset X\times H}$${\displaystyle H}$

• 閉じた点上のファイバーはの閉じた部分スキームです。この点を と表します。${\displaystyle W_{x}}$${\displaystyle x\in H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\subset X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [Y]\in H}$
• ${\displaystyle H}$は、ヒルベルト多項式 を持つのサブスキームのすべての平坦族に関して普遍的です。つまり、スキームと平坦族が与えられた場合、となる唯一の射が存在します。${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle W'\subset X\times T}$${\displaystyle \phi :T\to H}$${\displaystyle \phi ^{*}W\cong W'}$

点の接空間は、法線束の全体断面によって与えられる。つまり、 ${\displaystyle [Y]\in H}$${\displaystyle N_{Y/X}}$

${\displaystyle T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})}$

となるような局所完全交差の場合、点は滑らかです。これは、におけるのあらゆる変形が妨げられないことを意味します。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})=0}$${\displaystyle [Y]\in H}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

の場合、におけるの次元は 以上になります。 ${\displaystyle H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle [Y]}$${\displaystyle h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})}$

これらの特性に加えて、フランシス・サワービー・マコーレー (1927) は、どの多項式に対してヒルベルト方式が空でないかを決定し、ロビン・ハーツホーン (1966) は、が空でない場合には線形連結であることを示しました。したがって、射影空間の 2 つの部分スキームは、同じヒルベルト多項式を持つ場合にのみ、ヒルベルト方式の同じ連結成分にあります。 ${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$${\displaystyle \mathbf {Hilb} (n,P)}$

ヒルベルト スキームには、すべての点で既約でない既約成分などの悪い特異点がある場合があります。また、予想外に高い次元の既約成分を持つこともあります。たとえば、次元nのスキームのd点 (より正確には次元 0、長さd の部分スキーム) のヒルベルト スキームは次元dn を持つと予想されますが、n ≥ 3の場合、その既約成分ははるかに大きな次元を持つ可能性があります。

ヒルベルトスキームの別の解釈があり、相対スキームのサブスキームをパラメータ化する相対ヒルベルトスキームの一般化につながります。固定されたベーススキームの場合、およびとします。${\displaystyle S}$${\displaystyle X\in (Sch/S)}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

集合の同型類の集合に相対スキームを送る関手である${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim }$

ここで、同値関係は の同型類によって与えられます。この構成は、族の引き戻しを取ることにより関数的になります。 が与えられた場合、上の族が存在します。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:T'\to T}$${\displaystyle f^{*}Z=Z\times _{T}T'}$${\displaystyle T'}$

構造写像が射影的である場合、この関手は上で構築されたヒルベルトスキームによって表される。これを有限型の写像の場合に一般化するには、アルティンによって開発された代数空間の技術が必要である。^[1]${\displaystyle X\to S}$

最も一般的には、ヒルベルト関手はスキーム上で定義された代数空間の有限型写像に対して定義される。そして、ヒルベルト関手は次のように定義される^[2]${\displaystyle f\colon X\to B}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets}$

Tを 送信する

${\displaystyle {\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}}$。

この関手はスキームではなく代数空間で表現できます。また、、およびがスキームの有限型写像である場合、それらのヒルベルト関手は代数空間で表現されます。 ${\displaystyle S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle X\to B}$

ヒルベルトスキーム一般の研究の動機付けとなった例の 1 つは、射影スキームのファノスキームでした。次数 のサブスキームが与えられた場合、 をパラメータ化するスキームが存在します。ここでは の -平面であり、これは の 1 次埋め込みであることを意味します。 ^[3]次数 のの滑らかな表面の場合、空でないファノスキームは滑らかで 0 次元です。これは、滑らかな表面上の直線が負の自己交差を持つためです。^[3]${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle F_{k}(X)}$${\displaystyle \mathbb {G} (k,n)}$${\displaystyle H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle d\geq 3}$${\displaystyle F_{k}(X)}$

もう一つの一般的な例としては、スキーム の -点のヒルベルト スキームがあり、通常は と表記されます。リーマン面 X の場合、 となります。点の交差点を記述する境界軌跡は、点とその接ベクトルをパラメータ化するものと見なすことができる、優れた幾何学的解釈があります。たとえば、は対称作用を法とする 対角線^[4]の爆発です。${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{[n]}}$${\displaystyle X^{[n]}=S^{n}X=X^{n}/S_{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle B\subset H}$${\displaystyle (\mathbb {P} ^{2})^{[2]}}$${\displaystyle Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})}$

におけるk次超曲面のヒルベルトスキームは、射影化によって与えられる。例えば、における2次超曲面のヒルベルトスキームは、次式で与えられる普遍超曲面を伴う 。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}}$

基礎となるリングが二重グレード化されています。

固定された種数の代数曲線の場合、三元テンソル双対化層の次数は大域的に生成される。つまり、そのオイラー特性は大域的断面の次元によって決定されるため、 ${\displaystyle g}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$

${\displaystyle \chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})}$。

このベクトル空間の次元は であるため、 の大域断面はすべての種数曲線に対してへの埋め込みを決定する。リーマン・ロッホの公式を用いると、関連するヒルベルト多項式は次のように計算できる。 ${\displaystyle 5g-5}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{5g-6}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)}$。

そして、ヒルベルトスキーム

${\displaystyle {\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}}$

は、すべての種数gの曲線をパラメータ化する。このスキームを構築することは、代数曲線のモジュライスタックの構築における最初のステップである。他の主要な技術的ツールはGIT商である。このモジュライ空間は商として構築される。

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]}$、

ここで、ヒルベルト方式における滑らかな曲線の部分軌跡です。 ${\displaystyle U_{g}}$

「ヒルベルト スキーム」は、スキーム上の 0 次元サブスキームの正確なヒルベルト スキームを指すこともあります。非公式には、これはスキーム上の点の有限集合のようなものと考えることができますが、複数の点が一致する場合、この図は非常に誤解を招く可能性があります。

縮小されたヒルベルト点スキームから、任意の 0 次元スキームをそれに関連する 0 サイクルに導くチャウ多様体サイクルへのヒルベルト - チャウ射が存在する(Fogarty 1968、1969、1973)。

M上のn点のヒルベルト スキームには、 Mのn次対称積への自然な射が備わっている。この射は、最大 2 次元のMに対しては双有理的である。少なくとも 3 次元のMに対しては、大きなnに対しては射は双有理的ではない。ヒルベルト スキームは一般に約分可能であり、対称積の次元よりもはるかに大きな次元の成分を持つ。 ${\displaystyle M^{[n]}}$

曲線C (次元 1 の複素多様体)上の点のヒルベルト スキームは、 Cの対称冪に同型です。これは滑らかです。

曲面上のn点のヒルベルト スキームも滑らかです (グロタンディーク)。 の場合、は対角線を拡張し、によって誘導される作用で割ることで得られます。 これは、マーク ハイマンがいくつかのマクドナルド多項式の係数の正値性の証明で使用しました。 ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

3 次元以上の滑らかな多様体のヒルベルト スキームは通常は滑らかではありません。

M を( K3 曲面またはトーラス)の複素ケーラー面とします。M の標準バンドルは、曲面の Kodaira 分類からわかるように自明です。したがって、Mは正則シンプレクティック形式を許容します。これは、藤木 明 ( について) とArnaud Beauvilleによって観察され、これも正則シンプレクティックです。これは、たとえば について、確認するのはそれほど難しくありません。実際、はMの対称正方形の拡大です。 の特異点はに局所的に同型です。 の拡大はであり、この空間はシンプレクティックです。これは、シンプレクティック形式が の例外因子の滑らかな部分に自然に拡張されることを示すために使用されます。これは、ハートッグスの原理によっての残りの部分に拡張されます。 ${\displaystyle c_{1}=0}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle M^{[n]}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle M^{[2]}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}M}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}}$${\displaystyle T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle M^{[n]}}$${\displaystyle M^{[n]}}$

正則シンプレクティックなケーラー多様体は、カラビ・ヤウの定理からわかるように、ハイパーケーラーです。K3面上と 4 次元トーラス上の点のヒルベルト スキームは、ハイパーケーラー多様体の 2 種類の例、つまり K3 上の点のヒルベルト スキームと一般化されたクンマー面を与えます。

• 引用スキーム
• カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性
• 松坂の大定理
• 代数曲線の係数
• モジュライ空間
• ヒルベルトモジュラー面
• シーゲルモジュラー多様体

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