主均質空間

数学において、群Gの主同次空間[ ^1]またはトルソルとは、任意の点の安定部分群が自明であるようなGの同次空間X のことである。同様に、群Gの主同次空間とは、 G が自由に推移的に作用する非空集合Xのことである（つまり、Xの任意のx、yに対して、 Gにx · g = yとなる唯一のg が存在する。ここで · はGのXへの（右）作用を表す）。類似の定義は他のカテゴリでも成り立ち、たとえば、

• Gは位相群、Xは位相空間であり、作用は連続である。
• Gはリー群、Xは滑らかな多様体であり、作用は滑らかである。
• Gは代数群、X は代数多様体であり、作用は正則です。

Gが非可換である場合、作用が左側か右側かによって、左側トルサーと右側トルサーを区別する必要があります。この記事では、右側作用を使用します。

定義をより明確に述べると、XがG -トルソーまたはG -主同次空間であるとは、 Xが空でなく、（適切なカテゴリにおける）写像X × G → Xを備え、

x ·1 = x

x ·( gh ) = ( x · g )· h

すべてのx ∈ Xおよびすべてのg , h ∈ Gに対して成り立ち、写像X × G → X × Xが次式で与えられる。

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,x\cdot g)}$

は、（適切な場合、すなわち問題のカテゴリ内の）集合、位相空間、または...の 同型です。

これは、XとGが同型であることを意味します (問題のカテゴリでは、グループとしてではありません。以下を参照)。ただし、これが重要な点ですが、Xには優先される「恒等」点はありません。つまり、どの点が恒等点であるかを忘れていることを除けば、 X はGとまったく同じです。(この概念は、数学では「原点を捨てる」という見出しの下、より本質的な観点に移行する方法としてよく使用されます。)

X は群ではないので、元を掛け合わせることはできませんが、その「商」を取ることはできます。つまり、( x , y )を唯一の元g = x \ y ∈ Gに送る写像X × X → Gが存在し、 y = x · gとなります。

しかし、後者の演算を右群作用と合成すると、三項演算 X × ( X × X ) → Xとなり、これは群乗法のアフィン一般化として機能し、主同次空間を代数的に特徴付けるとともに、それが関連する群を本質的に特徴付けるのに十分である。この三項演算の結果を と表記すると、次の恒等式が成り立つ。${\displaystyle x/y\cdot z\,:=\,x\cdot (y\backslash z)}$

${\displaystyle x/y\cdot y=x=y/y\cdot x}$

${\displaystyle v/w\cdot (x/y\cdot z)=(v/w\cdot x)/y\cdot z}$

主たる同次空間を定義するには十分であるが、追加のプロパティ

${\displaystyle x/y\cdot z=z/y\cdot x}$

アーベル群に関連付けられた空間を識別する。群は同値関係に従う 形式商として定義できる。${\displaystyle x\backslash y}$

${\displaystyle x\backslash y=u\backslash v\quad {\text{iff}}\quad v=u/x\cdot y}$、

群積、単位元、逆元はそれぞれ次のように定義される。

${\displaystyle (x\backslash y)\cdot (u\backslash v)=x\backslash (y/u\cdot v)=(u/y\cdot x)\backslash v}$、

${\displaystyle e=x\backslash x}$、

${\displaystyle (x\backslash y)^{-1}=y\backslash x,}$

そして、

${\displaystyle x\cdot (y\backslash z)=x/y\cdot z.}$

すべての群Gは、左乗法または右乗法の自然な作用の下で、 それ自体が左または右のGトルソルであると考えることができます。

もう 1 つの例は、アフィン空間の概念です。ベクトル空間V の基礎となるアフィン空間Aの考え方は、 A が、並進の加法群として作用するVの主要な同次空間であると言うことで簡潔に表現できます。

任意の正多面体の旗は、その対称群のトルサーを形成します。

ベクトル空間 Vが与えられている場合、G を一般線型群GL( V )とし、XをVのすべての（順序付けられた）基底の集合とすることができます。すると、G は、 Vのベクトルに作用するのと同じようにXに作用します。また、任意の基底は G を介して他の任意の基底に変換できるため、Gは推移的に作用します。さらに、基底の各ベクトルを固定する線型変換は、 Vのすべてのv を固定し、したがって一般線型群 GL( V ) の中立要素になります。したがって、X は確かに主同次空間です。線型代数の議論で基底依存性をたどる1つの方法は、 X内の変数x を追跡することです。同様に、正規直交基底の空間（nフレームのシュティーフェル多様体）は、直交群の主同次空間です。 ${\displaystyle V_{n}(\mathbf {R} ^{n})}$

圏論では、2 つのオブジェクトXとYが同型である場合、それらの間の同型性 Iso( X , Y ) は、 Xの自己同型群Aut( X )のトルサーを形成し、Aut( Y ) についても同様です。オブジェクト間の同型性を選択すると、これらのグループ間の同型性が生じ、トルサーがこれらの 2 つのグループと同一視され、トルサーにグループ構造が与えられます (基点を持つようになったため)。

主等質空間の概念は、主バンドルの概念の特殊なケースです。つまり、単一点を基底とする主バンドルを意味します。言い換えると、主バンドルの局所理論は、基底のいくつかのパラメータに依存する主等質空間の族の概念です。「原点」はバンドルの切断によって提供できます。このような切断は通常、基底上に局所的に存在すると想定されます。バンドルは局所的に自明であるため、局所構造は直積の構造になります。ただし、切断は大域的には存在しないことがよくあります。たとえば、微分多様体 M には、その接バンドルに関連付けられたフレームの主バンドルがあります。大域切断は (定義により) Mが平行化可能である場合にのみ存在し、これは強い位相的制約を意味します。

数論では、体K上に定義された楕円曲線 E (およびより一般的なアーベル多様体)に対して、主同次空間を考慮する (表面的には異なる) 理由があります。これが理解されると、他の代数群に対するさまざまな例が「」という見出しの下に集められました。直交群に対する二次形式、および射影線型群に対するセヴェリ-ブラウアー多様体は2 つです。

楕円曲線の場合、ディオファントス方程式が興味深い理由は、 K が代数的に閉じていない可能性があるためです。K上に定義された点を持たず、より大きな体上でEと同型になる曲線C が存在する可能性があり、 E は定義により、その加法則の単位元として機能するK上の点を持ちます。つまり、この場合は、種数1 の C を、 K 点を持つ楕円曲線E (または、言い換えると、Kに解を持つディオファントス方程式を提供する) と区別する必要があります。曲線C はE上のトルソルであることが判明し、 K が数体である場合(セルマー群の理論) に豊富な構造を持つ集合を形成します。実際、Q上の典型的な平面 3 次曲線Cには、有理点を持つ特別な理由はありません。標準的なワイエルシュトラスモデルでは常に有理点、つまり無限遠点がありますが、 C をK上のその形にするには、K上の点が必要です。

この理論は局所解析に細心の注意を払って発展し、テイト・シャファレビッチ群の定義につながった。一般に、代数的に閉じた体上でトルソー理論を採用し、より小さな体に戻ろうとするアプローチは降下法の一側面である。トルソーは群コホモロジーH ¹のクラスを表すため、これは直ちにガロアコホモロジーの問題につながる。

主同次空間の概念は、次のようにグローバル化することもできます。X を「空間」（スキーム/多様体/位相空間など）とし、 GをX上の群、つまり X 上の空間のカテゴリ内のグループオブジェクトとします。この場合、X上の（右、 たとえば）GトルソーEは、X上の（同じタイプの）空間Eであり、 （右）G作用を持ち、射

${\displaystyle E\times _{X}G\rightarrow E\times _{X}E}$

与えられた

${\displaystyle (x,g)\mapsto (x,xg)}$

は適切なカテゴリにおける同型であり、E がX上で局所的に自明であり、E → X がX上で局所的に切断を獲得する。 この意味でのトルソルの同型類は、コホモロジー群H ¹ ( X , G )の類に対応する。

滑らかな多様体カテゴリの場合、Gトルソー ( Gはリー群) は、上で定義したとおり、正確に主Gバンドルになります。

例: Gがコンパクト リー群 (とします) である場合、 は分類空間上のG -トルソルです。 ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle BG}$

• 均質空間
• ヒープ（数学）

• ガリバルディ、スキップ、メルクリェフ、アレクサンダー、セール、ジャン＝ピエール（2003）。ガロアコホモロジーにおけるコホモロジー不変量。大学講義シリーズ。第28巻。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-3287-5.ZBL1159.12311  。​
• Skorobogatov, A. (2001).トルソルと有理点. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 144. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-80237-7.ZBL0972.14015  。​

• ジョン・バエズによるトルソーの簡単な作り方