レフシェッツ鉛筆

数学において、レフシェッツ ペンシルは、ソロモン レフシェッツによって考えられた代数幾何学における構成であり、代数多様体の代数的位相を解析するために使用されます。 ${\displaystyle V}$

ペンシルは、上の因子の特別な種類の線型システム、つまり射影直線によってパラメータ化された 1 パラメータ族です。これは、複素代数多様体の場合、レフシェッツ ペンシルがリーマン球面上のファイバ化のようなもので、特異点に関する 2 つの条件があることを意味します。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

最初の点は、 が射影多様体として与えられ、 上の因子が超平面切断であると仮定した場合に生じます。 与えられた超平面 と が、鉛筆を張るとします。言い換えると、は によって与えられ、およびに対しては によって 与えられ、一般の超平面切断は と交差します 。${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L=0}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle L'=0}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda L+\mu L^{\prime }=0.\ }$

との共通部分は余次元が2である。有理数写像が存在する。${\displaystyle J}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H'}$

${\displaystyle V\rightarrow P^{1}\ :\ p\mapsto \left[L'(p):-L(p)\right]}$

これは実際にはとの交点の外側でのみ明確に定義されます。明確に定義されたマッピングを作成するには、 に何らかの拡張を適用する必要があります。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

2 つ目のポイントは、ファイバー自体が「退化」して特異点を獲得する可能性があるということです (ベルティーニの補題が適用される場合、一般的な超平面断面は滑らかになります)。レフシェッツ ペンシルは獲得された特異点の性質を制限するため、位相は消失サイクル法によって分析できます。特異点を持つファイバーは、一意の 2 次特異点のみを持つ必要があります。^[1]

レフシェッツ ペンシルは特性 0に存在することが示されています。これらは滑らかな多様体上のモース関数と似ていますが、より複雑に適用されます。また、エタール位相では、 レフシェッツ ペンシルが特性 pに存在することも示されています。

サイモン・ドナルドソンは、シンプレクティック・トポロジーにおけるレフシェッツ・ペンシルの役割を発見し、それに対する最近の研究の関心が高まっています。

• ピカール・レフシェッツ理論

• ドナルドソン、サイモン K. (1998)。「シンプレクティック幾何学におけるレフシェッツ ファイブレーション」。Documenta Mathematica (国際数学者会議議事録、第 II 巻 (ベルリン、1998 年)) 。第 II 巻特別版: 309–314。MR  1648081。
• グリフィス、フィリップ、ハリス、ジョー（1994）。代数幾何学の原理。ワイリークラシックスライブラリー。ワイリーインターサイエンス。p.509。ISBN 0-471-05059-8。

• ゴンプ、ロバート(2005) 「レフシェッツ鉛筆とは何か?」(PDF)アメリカ数学会報52 (8) 。
• Gompf, Robert (2001). 「シンプレクティック多様体のトポロジー」(PDF) . Turkish Journal of Mathematics . 25 : 43–59. MR  1829078. 2022-02-06 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。