クリスタル（数学）

数学において、結晶とは、特定の繊維状カテゴリの直交断面のことである。結晶はアレクサンダー・グロタンディーク(1966a)によって導入され 、ある意味で「堅固」かつ「成長する」ことから結晶と名付けられた。特に、結晶サイト上の準コヒーレント結晶は、スキーム上の準コヒーレントモジュールに類似している。

アイソクリスタル は、同型性までのクリスタルです。これらは、グロタンディーク (1966a) とベルテロット & オガス (1983) によって導入された- 進エタール層の- 進類似体です (ただし、アイソクリスタルの定義は、この論文のパート II のオガス (1984) によってのみ登場します)。収束アイソクリスタルは、非完全体に対してより適切に機能するアイソクリスタルのバリエーションであり、過収束アイソクリスタルは、過収束コホモロジー理論に関連する別のバリ​​エーションです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{l}}$

デュドネ結晶は、ヴェルシエブング写像とフロベニウス写像を持つ結晶です。F結晶は、結晶に多少関連する半線型代数の構造です。

無限小サイトは、 の開集合の無限小拡大をオブジェクトとして持ちます。が 上のスキームである場合、層はの = 座標環によって定義されます 。ここで、のオブジェクトの省略形として と書きます。このサイトの層は、開集合から開集合の無限小拡大に拡張できるという意味で成長します。 ${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle O_{X/S}}$${\displaystyle O_{X/S}(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U\to T}$${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$

サイト上のクリスタルは、次の意味で 固定されたモジュールの束です。${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle O_{X/S}}$

、の任意のオブジェクト間の写像に対して、からへの自然な写像は同型である。${\displaystyle f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T'}$${\displaystyle {\text{Inf}}(X/S)}$${\displaystyle f^{*}F(T)}$${\displaystyle F(T')}$

これは、ザリスキ位相におけるモジュールの 準コヒーレント層の定義に似ています。

結晶の一例としては束があります。 ${\displaystyle O_{X/S}}$

結晶サイト上の結晶も同様の方法で定義されます。

一般に、 が上のファイバー カテゴリである場合、クリスタルはファイバー カテゴリの直交断面です。 がスキームの無限小拡大のカテゴリであり、のオブジェクト上の準コヒーレント モジュールのカテゴリである特別な場合、このファイバー カテゴリのクリスタルは無限小サイトのクリスタルと同じになります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

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