プログラム概要

「プログラムのスケッチ」は、ドイツ生まれのフランスの数学者アレクサンダー・グロタンディークが1984年に作成した、数学の長期研究のための有名な提案です。 ^[1]彼は1984年から1988年までの重要なプロジェクト提案で、論理的に結びついたアイデアの連続を追求しましたが、彼の提案した研究は今日でも高度な数学のいくつかの分野で大きな関心を集めています。グロタンディークのビジョンは、現在彼の最初の提案に基づいて拡張されている ガロア理論の拡張と一般化など、数学のいくつかの発展にインスピレーションを与えています。

1984年に提出された「Esquisse d'un Programme」^{[2] [3]}は、アレクサンダー・グロタンディークがフランス国立科学研究センターの職を得るために提出した提案書である。この提案は不成功に終わったが、グロタンディークはモンペリエ大学に所属したままCNRSから給与を受け取り、教育義務から解放されるという特別な地位を得た。グロタンディークは1984年から1988年までこの職に就いた。^{[4] [5]}この提案書は、著者が「見つからず、許可を求めることもできなかった」ため、1997年まで正式には出版されなかった。^{[6]この原稿に含まれる「}子供の絵」や「遠アーベル幾何学」の概要は、現在も研究の刺激となっている。したがって、「遠アーベル幾何学は数学で提唱された理論であり、代数多様体Vの代数基本群 Gまたは関連する幾何学的対象が、 G が強く非可換であるという意味での アーベル群ではないという仮定の下で、V を別の幾何学的対象Wに写像する方法を決定する方法を記述する。遠アーベル(アーベルの前にアルファ否定的an- がある)という概念は、ファルティングスへの手紙(1983 年 6 月 27 日) ^[7]で初めて導入され、 Esquisse d'un Programmeで展開されている。グロタンディークの研究は長年未発表であり、従来の正式な学術チャネルでは入手できなかったが、提唱された理論の定式化と予測は多くの注目を集め、多くの数学者の手によっていくつかの変更が行われた。この分野を研究した人々は、いくつかの予想された関連する結果を得ており、21 世紀にはそのような理論の始まりが利用可能になり始めた。」

（「概要」）

• 1. 提案と事業（「Envoi」）。
• 2. 「タイヒミュラーのレゴ ゲームとQ 上のQのガロア群」 (「Un jeu de “Lego-Teichmüller” et le groupe de Galois de Q sur Q」)。
• 3. dessins d'enfant ". ("Corps de nombres associés à un dessin d'enfant")に関連付けられたフィールドに番号を付けます。
• 4.有限体上の正多面体(「Polyèdres réguliers sur les corps finis」)。
• 5.一般トポロジまたは「モデレート トポロジ」 (「Haro sur la topologie dite 'générale', et réflexions heuristiques vers une topologie dite 'modérée」)。
• 6. 微分可能な理論と穏健な理論 ("Théories différentiables" (à la Nash) および "théories modérées")。
• 7.スタックの追求(「À la Poursuite des Champs」)。^[8]
• 8. 2 次元幾何学(「幾何学の余談」)。^[9]
• 9. 提案された研究の概要 (「Bilan d'une activité enseignante」)。
• 10. エピローグ。
• 注記

数学に興味のある読者のために、参考文献セクションに推奨される追加資料が記載されています。

ガロアは、現在ガロア群理論として知られている代数的概念群を利用することで、特定の代数的問題に対する非常に効率的な計算を提供する、数学における強力で基本的な代数理論を開発した。このような計算は以前は不可能であり、また多くの場合、群を使用しない「直接的な」計算よりもはるかに効率的である。^[10]まず、アレクサンダー・グロタンディークは提案書の中で、「したがって、ガロア群は、この群に不可欠な特定の構造を尊重する具体的なプロ有限群の自己同型群として実現される」と述べた。この数学における基本的なガロア群理論は、最初はアレクサンダー・グロタンディークのEsquisse d' un Programme ( EdP )で提案されたように群類に大幅に拡張され、現在では群類に対してすでに部分的に実行されている。後者は現在、いくつかの数学者グループによって群類を超えてカテゴリへとさらに発展している。ここでは、十分に確立され、十分に検証されたガロア理論の拡張にのみ焦点を当てます。したがって、EdP は、1960 年代に開催されたグロタンディークの以前のIHÉSセミナー ( SGA1からSGA4 ) とともに、カテゴリ、関数、自然変換を利用することで、元のガロアの群の理論のさらに強力な拡張の開発、およびアレクサンダー グロタンディークの降下理論で提示されたアイデアの多様性のさらなる拡張も提案し、予測していました。動機の概念も積極的に追求されてきました。これは、動機ガロア群、グロタンディーク位相、グロタンディークカテゴリに発展しました。このような開発は、最近、表現可能関数と基本群関数を介して代数位相幾何学に拡張されました。

• 遠アーベル幾何学
• グロタンディークのガロア理論
• グロタンディークの幾何学セミナー
• 階層化された空間

• アレクサンダー・グロタンディーク。 1971 年、Revêtements Étales et Groupe Fondamental ( SGA1 )、第 VI 章:繊維と降伏のカテゴリー、数学の講義ノート。 224、シュプリンガー・フェルラーク：ベルリン。
• アレクサンダー・グロタンディーク。 1957、Sur quelques point d'algebre homologique、東北数学ジャーナル、9、119-221。
• Alexander Grothendieck およびJean Dieudonné : 1960、Éléments de géométrie algébrique、Publ.研究所des Hautes Études Scientifiques、( IHÉS )、4。
• Alexander Grothendieck 他、1971 年。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie、Vol. 1-7、ベルリン: Springer-Verlag。
• アレクサンダー・グロタンディーク。 1962. Séminaires en Géométrie Algébrique du Bois-Marie、Vol. 2 - Cohomologie Locale des Faisceaux Cohèrents et Théorèmes de Lefschetz Locaux et Globaux.、287 ページ (ミシェル・レイノー夫人による追加寄稿解説付き)。 (タイプ打ち原稿はフランス語で入手可能。英語の簡単な要約も参照)
  • ジャン・ピエール・セール1964年。コホモロジー・ガロワジェンヌ、シュプリンガー・フェルラーク：ベルリン。
  • JL ヴェルディエ。 1965. 相同性代数とカテゴリの派生。北オランダ出版。シエ）。
• より詳しい情報と多数の結果については、 Alexander Grothendieck ら著「Séminaires en Géometrie Algèbrique- 4, Tome 1, Exposé 1」（またはN. Bourbaki著の「Exposée 1」の付録）を参照してください。AG4 はフランス語版が無料で入手可能です。また、英語版の詳細な概要も入手可能です。
• Alexander Grothendieck、1984 年。「Esquisse d'un Programme」(1984 年の原稿)、最終的には L. Schneps、P. Lochak 編著「Geometric Galois Actions」、London Math. Soc. Lecture Notes 242、Cambridge University Press 、 1997 年、pp. 5-48 に掲載。英語訳、同書、pp. 243-283。MR 1483107。
• アレクサンダー・グロタンディーク「ガロワの理論を巡る長い行進」。 = 「ガロア理論に向けて/ガロア理論を越えての長行」、1981 年の原稿、モンペリエ大学プレプリント シリーズ 1996 年、J. マルゴワール編集。

• シュネップス、レイラ（1994）、グロタンディークの子供の絵の理論、ロンドン数学協会講義ノートシリーズ、ケンブリッジ大学出版局。
• シュネップス、レイラ、ロチャック、ピエール編 (1997)、幾何学的ガロア作用 I: グロタンディークのプログラムについての考察、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 242 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59642-8
• シュネップス、レイラ、ロチャック、ピエール編 (1997)、幾何学的ガロア作用 II: 逆ガロア問題、モジュライ空間、写像類群、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第 243 巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-59641-1
• Harbater, David; Schneps, Leila (2000)、「モジュライの基本群と Grothendieck–Teichmüller 群」、Trans. Amer. Math. Soc.、352 (7): 3117–3148、doi : 10.1090/S0002-9947-00-02347-3。

• 史上最高のプロポーズ拒否、Never Ending Books、リーヴェン・ル・ブリュイン
• 注釈 Anabéliennes Archived 2022-05-20 at the Wayback Machine、A. Grothendieck。