繊維カテゴリー

ファイバー カテゴリ(またはファイバー化カテゴリ) は、数学における抽象的実体であり、降下理論の一般的な枠組みを提供するために使用されます。これらは、ベクトル束などのオブジェクトの逆像(またはプルバック) を定義できる幾何学と代数のさまざまな状況を形式化します。たとえば、各位相空間には、その空間上のベクトル束のカテゴリがあり、位相空間 X から別の位相空間 Y へのすべての連続写像には、Y上の束をX上の束に引き戻すプルバック関数が関連付けられています。ファイバー化カテゴリは、これらのカテゴリと逆像関数で構成されるシステムを形式化します。同様の設定は、数学、特にファイバー化カテゴリが最初に登場したコンテキストである代数幾何学のさまざまな形で現れます。ファイバー化カテゴリは、スタックを定義するために使用されます。スタックは、サイト上のファイバー化カテゴリで「降下」します。ファイバー化は、型理論、特に従属型理論のカテゴリ意味論でも重要な役割を果たします。

ファイバー圏はアレクサンダー・グロタンディーク (1959、1971) によって導入され、ジャン・ジロー (1964、1971) によってさらに詳細に開発されました。

位相幾何学には、ある種のオブジェクトが何らかの基底空間 上またはその上に存在すると考えられる例が数多くあります。古典的な例としては、ベクトル束、主束、位相空間上の層などがあります。 別の例としては、別の多様体によってパラメータ化された代数多様体の「族」が挙げられます。 これらの状況で典型的なのは、適切なタイプの基本空間間の写像に対して、 上で定義された対象オブジェクトを上の同じタイプのオブジェクトに取る、対応する逆像(プルバックとも呼ばれる) 操作があることです。 これは、上記の例に当てはまります。たとえば、上のベクトル束の逆像は上のベクトル束です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}(E)}$${\displaystyle X}$

さらに、考慮される「基底空間上のオブジェクト」がカテゴリを形成する、つまり、それらの間にマップ（射）を持つこともしばしばあります。そのような場合、逆像演算は、オブジェクト間のこれらのマップの合成と互換性があることが多く、より技術的な言葉で言えば、関数です。これも、上記の例に当てはまります。

しかし、が別の写像である場合、逆像関数は合成写像と厳密には互換性がないことがよくあります。が（たとえばベクトルバンドル） 上のオブジェクトである場合、${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).}$

代わりに、これらの逆像は自然に 同型であるだけです。逆像のシステムに何らかの「ゆるみ」が導入されると、いくつかの微妙な問題が発生しますが、この設定がファイバーカテゴリによって形式化されます。

ファイバー カテゴリの主な応用は、トポロジーで使用される「接着」手法の広範な一般化に関係する降下理論です。代数幾何学の非自明な状況に適用できるほど十分な一般性を持つ降下理論をサポートするために、ファイバー カテゴリの定義は非常に一般的で抽象的です。ただし、上で説明した基本的な例を念頭に置いておくと、基礎となる直感は非常に簡単です。

ファイバー カテゴリには本質的に同等の技術的定義が 2 つあり、その両方について以下で説明します。このセクションのすべての議論では、 「大きな」カテゴリに関連する集合論の問題は無視されます。たとえば、小さなカテゴリに注目したり、ユニバースを使用したりすることで、議論を完全に厳密にすることができます。

が2 つのカテゴリ間の関手で、がの対象である場合、となる対象とを満たす射からなるのサブカテゴリは上のファイバー カテゴリ(またはファイバー)と呼ばれ、 と表記されます。 の射は-射と呼ばれ、の対象に対して、 -射の集合はと表記されます。 のオブジェクトまたは の射のによる像は、その射影( による) と呼ばれます。が の射である場合、 に射影されるの射は-射と呼ばれ、とのオブジェクト間の -射の集合は と表記されます。 ${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x)=S}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \phi (m)={\text{id}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(x,y)}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{f}(x,y)}$

における射影は、次の条件を満たす場合、 -cartesian (または単にcartesian )と呼ばれます。${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \phi}$

が の射影であり、 が-射である場合、となるような-射がちょうど 1 つ存在します。${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n:z\to y}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle a:z\to x}$${\displaystyle m\circ a=n}$

デカルト射影は 、その射影の逆像と呼ばれます。また、オブジェクトは、 によるの逆像と呼ばれます。 ${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle f=\phi (m)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

ファイバー カテゴリの直交射は、正確には の同型です。一般に、与えられた射 に射影する直交射は複数存在し、それらは異なるソースを持つ可能性があります。したがって、による与えられたオブジェクトの逆像は複数存在できます。ただし、そのような逆像 2 つが で同型であることは、定義の直接的な帰結です。 ${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F_{T}}$

関数は-カテゴリとも呼ばれ、または -カテゴリまたは上のカテゴリを作成すると言われています。-カテゴリから-カテゴリへの -関数は、 となる関数です。-カテゴリは自然に2-カテゴリ を形成し、1-射は-関数であり、2-射は、コンポーネントが何らかのファイバーにある -関数間の自然な変換です。 ${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi :G\to E}$${\displaystyle \alpha :F\to G}$${\displaystyle \psi \circ \alpha =\phi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

2 つの-カテゴリ間の -関手は、それが直積射を直積射に変換する場合、直積関手と呼ばれます。2つの -カテゴリ間の直積関手は、自然変換を射として持つカテゴリを形成します。を恒等関手を介して -カテゴリと見なす特別なケースが提供されます。このとき、 から-カテゴリへの直積関手は直積切断と呼ばれます。したがって、直積切断 は、内の各オブジェクトに対して内の1 つのオブジェクトを選択し、各射に対して逆像 を選択することから構成されます。したがって、直積切断 は、 のオブジェクト上の逆像の (厳密に) 互換なシステムです。 の直積切断 のカテゴリはによって表されます 。${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F,G}$${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x_{S}}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle m_{f}:x_{T}\to x_{S}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).}$

が終端オブジェクトを持つ重要なケース（特に がトポスまたはをターゲットとする矢印のカテゴリである場合）では、関数 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{/S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

完全に忠実である（Giraud（1964）の補題5.7）。

ファイバーカテゴリの技術的に最も柔軟かつ経済的な定義は、デカルト写像の概念に基づいています。これは分裂による定義と同等であり、後者の定義は実際には Grothendieck (1959) で最初に提示された定義です。デカルト写像による定義は、1960 年から 1961 年にかけて Grothendieck (1971) で導入されました。

カテゴリーがファイバー化カテゴリー（またはファイバー化-カテゴリー、または上にファイバー化されたカテゴリー）であるとは、 の射影の範囲内に余域がある各射に少なくとも1 つの逆像があり、さらに内の任意の 2 つの直交射の合成が常に直交である場合です。言い換えると、逆像が常に存在し（余域が の射影の範囲内にある射に対して）、推移的である場合、 -カテゴリーはファイバー化カテゴリーです。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle m\circ n}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$

に終端オブジェクトがあり、 が上ファイバー化されている場合、前のセクションの最後で定義されたから へのデカルト断面の関数は、カテゴリの同値であり、さらにオブジェクト上で射影的です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle e}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle F_{e}}$

がファイバー化 -カテゴリである場合、 の各射との各オブジェクトに対して、（選択公理 を使用することにより）正確に 1 つの逆像を選択することが常に可能です。このように選択された射のクラスは分裂と呼ばれ、選択された射は（分裂の）輸送射と呼ばれます。ファイバー化カテゴリと分裂を合わせたものは、分裂カテゴリと呼ばれます。輸送射が のすべての恒等射を含む場合、分裂は正規化されていると呼ばれます。つまり、恒等射の逆像が恒等射として選択されるということです。明らかに、分裂が存在する場合、正規化されるように選択できます。以下では、正規化された分裂のみを検討します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle F}$

ファイバー化された-カテゴリの（正規化された）分裂の選択は、の各射に対して、関数を指定します。オブジェクト上の は、対応する転送射による逆像にすぎず、射上では、デカルト射の定義的普遍特性によって自然に定義されます。ファイバーカテゴリのオブジェクトと射に逆像関数を関連付ける操作は、カテゴリのカテゴリへの反変関数とほぼ等しくなります。ただし、一般に、これは射の合成と厳密には交換できません。代わりに、と がの射である場合、関数の同型があります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F_{S}}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle g:U\to T}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

これらの同型性は次の 2 つの互換性を満たします。

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. 3つの連続する射とオブジェクトに対して、次のことが成り立ちます。${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$${\displaystyle x\in F_{S}}$${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

逆に、上記の互換性を満たす同型性を持つ任意の関手の集合は、分裂カテゴリを定義することが示されます (Grothendieck (1971) セクション 8 を参照)。これらの逆像関手の集合は、ファイバー カテゴリに対するより直感的な見方を提供します。実際、ファイバー カテゴリは、Grothendieck (1959) でそのような互換性のある逆像関手の観点から導入されました。 ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$${\displaystyle c_{f,g}}$

以下に参照されるグレイの論文では、これらのアイデアと空間の ファイバ化の概念との類似点が示されています 。

これらの考え方は、以下で参照されるブラウンの論文に示されているように、 群体の場合には単純化され、群体のファイバ化から正確な数列の有用な族が得られます。

2 つの輸送射の合成が常に輸送射となるような (正規化された) 分裂は分割 と呼ばれ、分割を持つファイバー カテゴリは分割(ファイバー)カテゴリと呼ばれます。逆像関数の観点から見ると、分割であるという条件は、 における合成可能射に対応する逆像関数の合成が、 に対応する逆像関数と等しいことを意味します。言い換えると、前のセクションの互換性同型はすべて分割カテゴリの恒等写像です。したがって、分割カテゴリは、カテゴリのカテゴリ からへの真の関数に正確に対応します。${\displaystyle f,g}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle c_{f,g}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

分裂とは異なり、すべての繊維カテゴリが分割を許容するわけではありません。例については以下を参照してください。

上記の定義の矢印の方向を逆にすると、コカルティシアン射、コファイバーカテゴリ、分割コファイバーカテゴリ（またはコスプリットカテゴリ）の対応する概念に到達できます。より正確には、が関数である場合、 の射は、反対の関数に対してカルティシアンである場合に、コカルティシアンと呼ばれます。また、 は直接像、に対するの直接像とも呼ばれます。コファイバーカテゴリは、の各射に対して直接像が存在し、直接像の合成が直接像であるような -カテゴリです。共開と共分割も同様に定義され、逆像関数ではなく 直接像関数に対応します。${\displaystyle \phi :F\to E}$${\displaystyle m:x\to y}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f=\phi (m)}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

固定されたカテゴリ上のファイバー化されたカテゴリは2-カテゴリ を形成します。ここで、2 つのファイバー化されたカテゴリと間の射のカテゴリは、からへのデカルト関数のカテゴリとして定義されます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {Fib} (E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

同様に、 上の分割カテゴリは2 カテゴリ(フランス語のcatégorie scindéeに由来) を形成します。ここで、2 つの分割カテゴリと間の射のカテゴリは、の各トランスポート射を のトランスポート射に変換する関数から構成される、から への-関数の完全なサブカテゴリです。分割-カテゴリのこのような各射は、 -ファイバー カテゴリの射でもあります。つまり、 です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbf {Scin} (E)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$

分割を単に忘れる 自然な忘却型 2 関数が存在します。${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$

すべての繊維状カテゴリが分割を許容するわけではありませんが、各繊維状カテゴリは実際には分割カテゴリと同値です。実際、上の特定の繊維状カテゴリに対して同値の分割カテゴリを構築する標準的な方法が 2 つあります。より正確には、忘却 2 関数は右 2 随伴と左 2 随伴を許容し(Giraud 1971 の定理 2.4.2 と 2.4.4)、およびは2 つの関連付けられた分割カテゴリです。随伴関数と は どちらも直積同値です (同上)。ただし、それらの合成は(カテゴリの、そして実際には繊維状カテゴリの) 同値ですが、一般に分割カテゴリの射ではありません。したがって、2 つの構成は一般に異なります。分割カテゴリの前述の 2 つの構成は、繊維状カテゴリに関連付けられたスタック(特に、プレスタックに関連付けられたスタック)の構築で重要な方法で使用されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L}$${\displaystyle S(F)}$${\displaystyle L(F)}$${\displaystyle S(F)\to F}$${\displaystyle F\to L(F)}$${\displaystyle S(F)\to L(F)}$

繊維状カテゴリに関連する構成として、群内 に繊維状カテゴリと呼ばれるものがある。これらは、${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. オブジェクトを固定する${\displaystyle c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$
2. サブカテゴリのオブジェクトは${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle p(x)=c}$
3. 矢印は次のように与えられる。${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle p(f)={\text{id}}_{c}}$

は群 と表記される。グロタンディーク構成の付随する 2 関数はスタックの例である。簡単に言えば、付随する関数はオブジェクトをカテゴリ に送り、射はファイバー化されたカテゴリ構造から関数を誘導する。つまり、のオブジェクトとして考えられるオブジェクトに対して、となるオブジェクトが存在します。この付随により、群 の関数である 関数が得られる。${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$${\displaystyle F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$${\displaystyle d\to c}$${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle p(y)=d}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}}$

1. カテゴリをそのオブジェクトの集合に送信する関数 はファイバ化です。集合 の場合、ファイバはを持つカテゴリで構成されます。直交矢印は完全に忠実な関数です。${\displaystyle {\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Ob}}(C)=S}$
2. 矢印のカテゴリ: 任意のカテゴリに対して、の矢印のカテゴリは内の射をオブジェクトとして持ち、 内の可換平方を射として持ちます(より正確には、から への射はとなる射と からなる)。矢印をそのターゲットに導く関数は-カテゴリを作成します。ファイバーの対象は内の -オブジェクトのカテゴリ、つまり をターゲットとする 内の矢印です。 内の直交射は内の直交平方とまったく同じであり、したがって にファイバー積が存在するときだけ上ファイバー化されます。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:X\to T}$${\displaystyle g:Y\to S}$${\displaystyle a:X\to Y}$${\displaystyle b:T\to S}$${\displaystyle bf=ga}$${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle E_{/S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$
3. ファイバー束: ファイバー積は位相空間のカテゴリに存在するため、前の例により は上でファイバー化されます。 がファイバー束の射影マップである矢印で構成されるの完全なサブカテゴリである場合、 は上のファイバー束のカテゴリであり 、 は 上でファイバー化されます。 分裂を選択することは、ファイバー束の通常の逆像 (または引き戻し) 関数を選択することに相当します。${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle A({\text{Top}})}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle {\text{Fib}}}$${\displaystyle A({\text{Top}})}$${\displaystyle {\text{Fib}}_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Fib}}}$${\displaystyle {\text{Top}}}$
4. ベクトル束: これまでの例と同様に、実数 (複素数) ベクトル束の基底空間への射影は、(ファイバーのベクトル空間構造を尊重するベクトル束の射影)上のカテゴリ( ) を形成します。この-カテゴリもファイバー化されており、逆像関数はベクトル束の通常の引き戻し関数です。これらのファイバー化されたカテゴリは、 の (非完全な) サブカテゴリです。${\displaystyle p:V\to S}$${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle {\text{Fib}}}$
5. 位相空間上の層:層の逆像関数は、位相空間上の層のカテゴリを上の(分裂した) ファイバー カテゴリにします。このファイバー カテゴリは、層のエタール空間からなるの完全なサブカテゴリとして記述できます。ベクトル束と同様に、群と環の層も のファイバー カテゴリを形成します。${\displaystyle {\text{Sh}}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\text{Sh}}}$${\displaystyle {\text{Top}}}$${\displaystyle A({\text{Top}})}$${\displaystyle {\text{Top}}}$
6. トポス上の層:がトポスでが内のオブジェクトである場合、 -オブジェクトのカテゴリもトポスであり、 上の層のカテゴリとして解釈されます。が内の射である場合、逆像関数は次のように記述できます。上の層と内のオブジェクトに対して、 は に等しいです。これらの逆像により、カテゴリは上の分割ファイバー カテゴリになります。これは、特に位相空間の「大きな」トポスに適用できます。${\displaystyle E}$${\displaystyle S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:T\to S}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f^{*}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle p:U\to T}$${\displaystyle E_{T}}$${\displaystyle f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)}$${\displaystyle E_{S}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle TOP}$
7. スキーム上の準連接層:準連接層は、スキームのカテゴリ上のファイバーカテゴリを形成します。これは、ファイバーカテゴリの定義の動機となる例の 1 つです。
8. 分割を許さないファイバー圏: 群は、1 つのオブジェクトと の要素を射とする圏と見なすことができ、射の合成は群法則によって与えられます。群準同型は、関数と見なすことができ、これは-圏になります。この設定では、 のすべての射が直積的であることが確認できます。したがって、が射影的であるとき、 は正確に上でファイバー化されます。この設定での分割は、 の (集合論的)セクションであり、そのセクションは合成と厳密に可換です。言い換えると、 のセクションは準同型でもあります。しかし、群論でよく知られているように、これは常に可能であるとは限りません (非分割群拡張で射影を取ることができます)。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$
9. 層の共繊維圏:層の直接像関数は、位相空間上の層の圏を共繊維圏にします。直接像の推移性は、これが自然に共分割されることさえ示しています。

群体にファイバー化されたカテゴリの主な例の1つは、カテゴリの内部にある群体オブジェクトから来ます。したがって、群体オブジェクトが与えられた場合、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

関連する群オブジェクトが存在する

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

米田埋め込みからの反変関手のカテゴリで。この図をオブジェクトに適用すると、集合の内部の群が得られるので、 ${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

関連する小さな群体 があります。これにより、反変 2 関数 が得られ、グロタンディーク構成 を使用すると、 上の群体にファイバー化されたカテゴリが得られます。オブジェクト上のファイバー カテゴリは、集合内の元の群体から関連する群体にすぎないことに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

からのオブジェクトに作用するグループオブジェクトが与えられた場合、関連する群オブジェクトが存在する。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle a:G\to {\text{Aut}}(X)}$

${\displaystyle G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X}$

ここで、は への射影であり、は合成写像です。この群体は、 で表される群体に繊維化された誘導カテゴリを与えます。 ${\displaystyle s:G\times X\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t:G\times X\to X}$${\displaystyle G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X}$${\displaystyle p:[X/G]\to {\mathcal {C}}}$

アーベル圏 では任意の2項複素数${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}_{0}}$

関連する群を持つ

${\displaystyle s,t:{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{0}\rightrightarrows {\mathcal {E}}_{0}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}s(e_{1}+e_{0})&=e_{0}\\t(e_{1}+e_{0})&=d(e_{1})+e_{0}\end{aligned}}}$

この群体は群体に繊維化されたカテゴリを構築するために使用できます。この顕著な例の 1 つは、局所完全交差のコタンジェント複体の研究とexalcommの研究です。

• グロタンディーク構築
• スタック（数学）
• アルティンの基準
• 単体集合のファイブレーション

• SGA 1.VI - 繊維カテゴリーと系統 - 119-153 ページ
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