子供の絵

数学 において、デッサン・ダンファンは、リーマン面を研究し、有理数の絶対ガロア群の作用に対する組合せ不変量を提供するために使用されるグラフ埋め込みの一種です。これらの埋め込みの名前はフランス語で「子供の絵」を意味し、複数形はdessins d'enfant (「子供の絵」)、またはdessins d'enfants (「子供の絵」) です。

デッサン・ダンファンは、頂点が交互に黒と白に着色されたグラフで、多くの場合は単なる平面である有向面に埋め込まれています。色付けが存在するためには、グラフは2 部グラフでなければなりません。埋め込みの面は位相ディスクである必要があります。面と埋め込みは、回転システム、つまりグラフの各頂点を囲む辺の循環順序を使用して組み合わせ的に記述できます。回転システムとは、面上で頂点の周りの小さなループで時計回りに移動するパスが辺を横切る順序を記述するものです。

任意のデッサンが、それが埋め込まれている面にリーマン面としての構造を与えることができます。どのリーマン面がこのようにして生じるのかと尋ねるのは自然なことです。その答えは、デッサンによって記述できるリーマン面は、代数的数体上の代数曲線として定義できるものとまったく同じである、というベールイの定理によって与えられます。絶対ガロア群は、これらの特定の曲線を互いに変換し、それによって基礎となるデッサンも変換します。

この主題のより詳細な説明については、Schneps (1994) または Lando & Zvonkin (2004) を参照してください。

デッサン・ダンファンの初期の原型は、1856年にウィリアム・ローワン・ハミルトンのイコシアン計算に登場しました。^{[1]現代の言葉で言えば、これらはイコサヘドロングラフ上の}ハミルトン経路です。

フェリックス・クラインは、現代のよく知られた子供用図法とベールイ関数を使用した。^[2]クラインはこれらの図をLinienzüge (ドイツ語で、Linienzug「線路」の複数形、多角形の用語としても使用される) と呼んだ。現代の表記法のように 0 に黒丸、1 に白丸を使用するのではなく、彼は 0 の逆像に白丸、1 の逆像に「+」を使用した。 ^{[3]彼はこれらの図を使用して、}クラインの四次方程式に接続されたモノドロミーを含む 7 重被覆の以前の構築に従って、モノドロミー群を含むリーマン球面の 11 重被覆をそれ自体で構築した。^{[4]これらはすべて、彼の有名な 1884/88 年の「二十}面体に関する講義」にまとめられた、五次方程式と群 の幾何学に関する調査に関連している。このように 3 つのグループから構築された 3 つの面は、ずっと後になって三位一体の現象を通じて密接に関連していることが示されました。 ${\displaystyle PSL(2,11)}$${\displaystyle PSL(2,7)}$${\displaystyle A_{5}=PSL(2,5)}$

現代の形のデッサン・ダンファンは1世紀以上後に再発見され、1984年にアレクサンダー・グロタンディークが著書『プログラム集』で命名した。^[5]ザッポーニ（2003）は、デッサン・ダンファンに対するガロア作用の発見に関するグロタンディークの言葉を引用している。

この発見は技術的には非常に単純ですが、私に非常に強い印象を与え、私の考察の過程で決定的な転換点となりました。特に、突然、私の数学への興味の中心が強く焦点を絞られたことによるものです。これほど強く私を驚かせた数学的事実も、これに匹敵する心理的衝撃を与えた事実も、私はかつてなかったと思います。これは間違いなく、検討対象の非常に身近で非技術的な性質によるもので、子供が紙に走り書きした絵 (少なくとも鉛筆を持ち上げずに描いた場合) は、その明確な例を示しています。このようなデッサンには、微妙な算術不変量が関連していますが、もう 1 筆加えるとすぐに、完全にひっくり返ってしまいます。

理論の一部は、グロタンディークより少し前にジョーンズとシンガーマン (1978) によって独立してすでに開発されていました。彼らは、位相面上の写像、リーマン面上の写像、および特定の優れた生成元を持つ群の間の対応を概説しましたが、ガロア作用は考慮していません。彼らの写像の概念は、子供の絵の特定の例に対応しています。ブライアントとシンガーマン (1985) による後の研究は、境界を持つ曲面への扱いを拡張しています。

複素数は、 として示される特別な点とともに、リーマン球面と呼ばれる位相空間を形成します。任意の多項式、およびより一般的にはと が多項式である任意の有理関数は、リーマン球面をそれ自身に写像することによって変換します。たとえば、^{[6] の}有理関数を考えてみましょう。${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$ $${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$$

リーマン球面のほとんどの点では、この変換は局所同相写像です。つまり、任意の点を中心とする小さな円板を別の円板に 1 対 1 で写します。ただし、特定の臨界点では、写像はより複雑になり、点を中心とする円板をその像に -対 1 で写します。この数は臨界点の次数と呼ばれ、臨界点の変換された像は臨界値と呼ばれます。上記の例 には、次の臨界点と臨界値があります。(リーマン球面のいくつかの点も、それ自体は臨界ではないが、臨界値の 1 つに写像することがあり、それらも含まれています。これらは次数が 1 であることで示されます。) ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$

0 の原像(つまり、1 と 9)に黒い点を、1 の原像 (つまり) に白い点を、線分[0, 1] の原像に円弧を配置することで、 からデッサン・ダンファンを作成できます。この線分には 4 つの原像があり、1 から 9 までの線分に沿って 2 つ、および0 を囲んで 1 からそれ自体にループする単純な閉曲線を形成する 2 つです。結果として得られるデッサンを図に示します。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle 3\pm 2{\sqrt {3}}}$

逆に、臨界点の位置を指定せずに組み合わせオブジェクトとして記述されたこのデッサンから、コンパクトなリーマン面と、その面からリーマン球面への写像（デッサンが最初に作成された写像と同等）を形成できます。そのためには、デッサンの各領域内にラベルの付いた点（2 番目の図の赤い点として表示）を配置し、この点を領域の境界を形成する黒と白の点に接続して各領域を三角形分割します。領域の境界に同じ黒または白の点が複数回現れる場合は、その点を複数回接続します。三角形分割された各三角形には、0 (黒の点)、1 (白の点)、または のラベルの付いた 3 つの頂点があります。各三角形を半平面 で置き換えます。半平面は、0、1、が反時計回りの順序で存在する三角形の場合は上半平面、時計回りの順序で存在する三角形の場合は下半平面です。そして、隣接する三角形のペアごとに、対応する半平面を、頂点ラベルで示される境界の部分に沿って接着します。結果として得られるリーマン面は、各半平面内の恒等写像を使用してリーマン球面にマッピングできます。したがって、 から形成される dessin d'enfant は、双正則写像まで自身を記述するのに十分です。ただし、この構成では、リーマン面は複素構造を持つ多様体としてのみ識別されます。この多様体を複素射影平面に代数曲線として埋め込むことは構築されませんが、そのような埋め込みは常に存在します。 ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

が任意のリーマン面であり、がベーリ関数である場合、より一般的に同じ構成が適用されます。ベーリ関数とは、0、1、および のみを臨界値として持つリーマン球面への正則関数です。このタイプのペアはベーリペアとして知られています。任意のベーリペアから、曲面上に描かれた、黒点が 0 の逆像に、白点が 1 の逆像に、辺が線分 の逆像に沿って配置されるようなデッサンダンファンを形成できます。逆に、任意の曲面上の任意のデッサンダンファンを使用して、 に同相なリーマン面を形成する半空間のコレクションの接着命令を定義できます。各半空間を恒等式でリーマン球面にマッピングすると、上にベーリ関数が生成され、したがってベーリペア につながります。組合せ的に同値な dessins d'enfants につながる任意の2 つの Belyi ペアは双正則であり、Belyi の定理は、代数的数上に定義された任意のコンパクトなリーマン面に対して、との両方の組合せ的記述を提供するBelyi 関数と dessin d'enfantが存在することを意味します。${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \infty}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(0)}$${\displaystyle f^{-1}(1)}$${\displaystyle f^{-1}([0,1])}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

デッサン内の頂点はグラフ理論の次数、つまり入射辺の数を持ち、これは Belyi 関数の臨界点としての次数に等しい。上の例では、すべての白点の次数は 2 である。各白点が 2 辺を持つという特性を持つデッサンをクリーンと呼び、それに対応する Belyi 関数を純粋と呼ぶ。この場合、デッサンをより単純な埋め込みグラフで記述することができる。埋め込みグラフは、黒点のみを頂点とし、各白点の辺を持ち、その端点は白点の 2 つの黒点に接する。たとえば、図に示すデッサンをより単純に、2 つの黒点の間に辺があり、一方の点に自己ループがあるという形で描くことができる。クリーンなデッサンでは、黒点のみを描き、白点はマークしないのが一般的である。マップの各辺の中点に白点を追加することで、完全なデッサンを復元することができる。

このように、各面が円板である曲面（つまり位相写像）へのグラフの埋め込みは、グラフの頂点をデッサンの黒点として扱い、埋め込まれた各グラフの辺の中点に白点を配置することによってデッサンを生成する。写像がベリイ関数に対応する場合、その双対写像（線分 の原像から形成されたデッサンは逆数に対応する。^[7]${\displaystyle f}$${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle 1/f}$

クリーンでないデッサンを、そのすべての点を黒に再着色し、各辺に新しい白い点を追加することで、同じ面内でクリーンなデッサンに変換できます。Belyi ペアの対応する変換は、Belyi 関数を純粋な Belyi 関数 に置き換えることです。 の臨界点は、次の式から直接計算できます。、、および。したがって、は線分 の中点の の下の逆像であり、 から形成されるデッサン の辺はから形成されるデッサン の辺を細分します。 ${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \gamma =4\beta (1-\beta )}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(0)=\beta ^{-1}(0)\cup \beta ^{-1}(1)}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(\infty )=\beta ^{-1}(\infty )}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)=\beta ^{-1}({\tfrac {1}{2}})}$${\displaystyle \gamma ^{-1}(1)}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \beta}$

クリーンなデッサンをマップとして解釈すると、任意のデッサンがハイパーマップになります。つまり、黒い点が頂点を表し、白い点がハイパーエッジを表す ハイパーグラフの描画になります。

5 つのプラトン立体(正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体) を 2 次元面として見ると、任意の旗 (頂点、辺、面の 3 つが互いに交わるもの) は、面の対称性によって他の任意の旗に変換できるという特性があります。より一般的には、任意の旗を対称性によって他の任意の旗に変換できるという同じ特性を持つ面に埋め込まれたマップは、正マップと呼ばれます。

正則写像を使用してクリーンなデッサンを生成し、その結果得られたデッサンを使用して三角形分割されたリーマン面を生成する場合、三角形の辺は面の対称線に沿っており、それらの線をまたぐ反射によって三角形群 と呼ばれる対称群が生成され、三角形群の基本領域が三角形によって形成されます。たとえば、図は、正十二面体から始めてこのように生成された三角形の集合を示しています。正則写像が種数が 1 より大きい面内にある場合、面の普遍被覆は双曲平面であり、持ち上げられた三角形分割から形成される双曲平面内の三角形群は、双曲平面の等長変換の離散集合を表す (ココンパクト)フックス群です。この場合、開始面は、この群内の 有限指数部分群Γによる双曲平面の商です。

逆に、タイリング（球、ユークリッド平面、または双曲平面を角度、、 を持つ三角形でタイリングすること）の商であるリーマン面が与えられた場合、関連付けられたデサンは、グループの次数 2 および次数 3 の生成元によって与えられるケイリー グラフ、または同等に、頂点ごとに 3 つが交わる - 角形で同じ面をタイリングすることです。このタイリングの頂点はデサンの黒い点、辺の中心は白い点、面の中心は無限大上の点になります。 ${\displaystyle (2,3,n)}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{n}}}$${\displaystyle n}$

最も単純な二部グラフは木である。木の任意の埋め込みは単一の領域を持つため、オイラーの公式により球面上に存在する。対応する Belyi 対はリーマン球面の変換を形成し、極を に置くと、多項式として表すことができる。逆に、有限の臨界値として 0 と 1 を持つ任意の多項式は、リーマン球面からそれ自体への Belyi 関数を形成し、単一の無限値の臨界点を持ち、木である dessin d'enfant に対応する。多項式の次数は、対応する木の辺の数に等しい。このような多項式 Belyi 関数は、ジョージ・シャバットにちなんでシャバット多項式として知られている^[8]。 ${\displaystyle \infty}$

たとえば、を、唯一の有限の臨界点と臨界値（両方ともゼロ）を持つ単項式とします。 1 は の臨界値ではありませんが、その臨界値はすべて集合 内にあるため、リーマン球面からそれ自体へのベールイ関数として解釈することは可能です。対応する dessin d'enfant は、中央の 1 つの黒い頂点が白い葉に接続された星です（完全な二部グラフ）。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(x)=x^{d}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K_{1,d}}$

より一般的には、2つの臨界値を持つ多項式はシャバット多項式と呼ばれることがあります。このような多項式は、式によって臨界値が0と1であるベリイ関数に正規化できます が、正規化されていない形式のままに しておく方が便利な場合があります。 ^[9]${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$$${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$$${\displaystyle p}$

シャバット多項式の重要な例として、第一種チェビシェフ多項式が挙げられ、これは -1 と 1 を臨界値として持ちます。対応する描画はパスグラフの形をとり、パスに辺を持ち、黒と白の頂点が交互に現れます。シャバット多項式とチェビシェフ多項式の関係から、シャバット多項式自体は一般化チェビシェフ多項式と呼ばれることもあります。^{[9] [10]}${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle n}$

一般に、異なるツリーは異なるシャバット多項式に対応し、同じツリーの異なる埋め込みや色付けも同様です。正規化と引数の線形変換まで、シャバット多項式は埋め込みツリーの色付けから一意に決定されますが、特定の埋め込みツリーをその dessin d'enfant として持つシャバット多項式を見つけることは必ずしも簡単ではありません。

多項式は 、 ^[11] を選択することでシャバット多項式にすることができます。 の 2つの選択により、2つのベリイ関数とが得られます。 これらの関数は、互いに密接に関連していますが、図に示す 2つの非同型ツリーによって記述されるため、同等ではありません。$${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$$ $${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

しかし、これらの多項式は代数体 上で定義されているため、有理数の絶対ガロア群の作用によって変換される可能性があります。に変換するの元はに変換され、その逆も同様です。したがって、図に示されている 2 つのツリーをそれぞれ他のツリーに変換するとも言えます。より一般的には、任意の Belyi 関数の臨界値は純粋有理数 0、1、および であるという事実により、これらの臨界値はガロア作用によって変更されないため、この作用は Belyi ペアを他の Belyi ペアに移動します。任意の dessin d'enfant への の作用を、対応する Belyi ペアへの作用によって定義できます。この作用は、たとえば、図に示されている 2 つのツリー を並べ替えます。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$ ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle {\sqrt {21}}}$${\displaystyle -{\sqrt {21}}}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \Gamma }$

ベリイの定理により、デッサンへの の作用は忠実である（つまり、 の 2 つの要素ごとに、デッサン集合上の異なる順列が定義される）^[12]ため、デッサン・ダンファンの研究から、デッサン自体について多くのことがわかる。この観点から、 の作用によってどのデッサンが相互に変換可能で、どのデッサンが変換不可能かを理解することは非常に興味深い。たとえば、示されている 2 つのツリーは、黒ノードと白ノードに対して同じ次数列を持っていることに気づくだろう。どちらも次数 3 の黒ノード、次数 2 の黒ノードが 2 つ、次数 2 の白ノードが 2 つ、次数 1 の白ノードが 3 つある。この等式は偶然ではない。 が1 つのデッサンを別のデッサンに変換するときはいつでも、どちらも同じ次数列を持つ。次数列はガロア作用の既知の不変量の1 つだが、唯一の不変量ではない。 ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

デッサン の安定子は、デッサン を変更しないグループ要素から成る の部分群です。の部分群と代数体 の間のガロア対応により、安定子は体、つまりデッサン のモジュライ体に対応します。デッサン の軌道は、それが変換される可能性のある他のすべてのデッサン の集合です。次数不変量により、軌道は必然的に有限であり、安定子のインデックスは有限です。同様に、軌道 の安定子 (軌道のすべての要素を固定する部分群) と、デッサン の別の不変量である対応する軌道のモジュライ体 を定義できます。軌道 の安定子は、デッサン の安定子に含まれるの最大正規部分群であり、軌道のモジュライ体は、デッサン のモジュライ体を含む の最小の正規拡大 に対応します。例えば、この節で考察する2つの共役デッサンでは、軌道のモジュライ体は である。この例の2つのベリイ関数と はモジュライ体上で定義されているが、ベリイ関数の定義体がモジュライ体よりも大きくなければならないデッサンも存在する。^[13]${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {21}})}$${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$