超自然的空間

関数解析において、位相ベクトル空間(TVS)は、から別の TVS へのすべての有界線型演算子が必然的に連続である場合、超ボルノロジーと呼ばれます。閉グラフ定理の一般版は、超ボルノロジー空間に対して成立します。超ボルノロジー空間は、アレクサンダー・グロタンディークによって導入されました(Grothendieck [1955, p. 17]「espace du type (β)」)。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

を位相ベクトル空間(TVS) とします。${\displaystyle X}$

円板は凸かつ均衡な集合である。TVS内の円板は、すべての有界部分集合を吸収する場合、ボーンイボロウ^[2]と呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

2つのTVS間の線形写像は、バナッハ円板を有界円板に写像する場合、インフラバウンド^[2]と呼ばれます。

TVS 内のディスクは、以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、 infrabornivorousと呼ばれます。${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle D}$ すべてのバナッハ円板を吸収する${\displaystyle X.}$

一方、局所的に凸の場合は、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$

2. のゲージは境界が定められたマップである。^[2]${\displaystyle D}$

一方、局所的に凸でハウスドルフ の場合は、このリストに以下を追加できます。${\displaystyle X}$

3. ${\displaystyle D}$すべてのコンパクトディスクを吸収します。^[2]つまり、「コンパクト」です。${\displaystyle D}$

TVS は、以下の同等の条件のいずれかを満たす場合、 超自然的であるといえます。${\displaystyle X}$

1. のすべての亜食性ディスクは起源の近傍である。^[2]${\displaystyle X}$

が局所凸空間である 場合は、このリストに以下を追加できます。${\displaystyle X}$

2. から完全距離化可能な TVSへのすべての有界線型演算子は必然的に連続である。${\displaystyle X}$
3. すべての亜幼生食性ディスクは 0 の近傍です。
4. ${\displaystyle X}$D が内のすべてのコンパクトディスク上で変化するときの空間の誘導極限とする。${\displaystyle X_{D}}$${\displaystyle X}$
5. 各バナッハ円板上で有界となる半ノルムは必然的に連続である。${\displaystyle X}$
6. 任意の局所凸空間と任意の線型写像に対して、 が各バナッハ円板上で有界である場合、 は連続である。${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$
7. あらゆるバナッハ空間とあらゆる線型写像に対して、各バナッハ円板上で有界であれば は連続である。${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

一方、がハウスドルフ局所凸空間である場合は、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$

8. ${\displaystyle X}$はバナッハ空間の帰納的極限である。^[2]

あらゆる局所凸超ボルノロジー空間は樽型空間、^[2] 準超バレル型空間、ボルノロジー空間であるが、超ボルノロジーではないボルノロジー空間も存在する。

• あらゆる超ボルノロジー空間は、核フレシェ空間の族の帰納的極限であり、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• あらゆる超ボルノロジー空間は、核DF空間族の帰納的極限であり、${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

局所凸超ボルノロジー空間の有限積は超ボルノロジーである。^[2]超ボルノロジー空間の帰納的極限は超ボルノロジーである。

全てのハウスドルフ順次完全なボルノロジー空間は超ボルノロジーである。^[2] したがって、全ての完全なハウスドルフボルノロジー空間は超ボルノロジーである。特に、全てのフレシェ空間は超ボルノロジーである。^[2]

完全なシュワルツ空間の強双対空間は超ボルノロジーである。

準完全なハウスドルフボルノロジー空間はすべて超ボルノロジーである。^[要出典]

反例

超バレル空間でありながら超ボルノロジーではない空間が存在します。 超バレル空間でありながら超ボルノロジーではない空間が存在します。

• 有界線形作用素 – 位相ベクトル空間間の線形変換リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• ボルノロジー空間 – 有界演算子が連続する空間
• ボルノロジー – 有界性の数学的一般化
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• 線型写像の空間
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間
• ベクター ボルノロジー

• 超ボルノロジー空間のいくつかの特徴

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• エドワーズ、ロバート E. (1995)。関数解析: 理論と応用。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1955)。「位相テンソル積と核空間」。アメリカ数学会誌シリーズ(フランス語)。16 。プロビデンス: アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973)。位相ベクトル空間。翻訳：チャルジュブ、オーランド。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• Khaleelulla , SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). The Convenient Setting of Global Analysis (PDF) . Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4. OCLC  37141279.
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• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.