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代数幾何学において、モジュライ・スキームは、フランスの数学者アレクサンダー・グロタンディークが開発したスキームのカテゴリ内に存在するモジュライ空間である。代数幾何学の重要なモジュライ問題には、スキーム理論のみで十分に解決できるものもあるが、他の問題には「幾何学的オブジェクト」概念の拡張が必要である（代数空間、マイケル・アルティンの代数スタック）。
歴史
グロタンディークとデイヴィッド・マンフォードの研究（幾何学的不変量理論を参照）は、1960年代初頭にこの分野を切り開きました。モジュライ問題に対するより代数的で抽象的なアプローチは、それらを表現可能な関数の問題として設定し、次にスキームに対して表現可能な関数を選び出す基準を適用することです。このプログラム的なアプローチが機能する場合、結果は優れたモジュライスキームになります。より幾何学的なアイデアの影響下では、正しい幾何学的点を与えるスキームを見つけるだけで十分です。これは、モジュライ問題が集合（たとえば楕円曲線の同型類）に自然に付随する代数構造を表現することであるという古典的なアイデアに近いものです。
その結果、粗いモジュライ スキームが得られます。大まかに言えば、オブジェクトのファミリーに対して、細かいモジュライ スキームに固有のものが保証されないため、洗練されていません。Mumford が著書「Geometric Invariant Theory」で指摘したように、細かいバージョンが必要になる場合もありますが、そのような回答が得られる可能性のある質問を得るには、解決しなければならない技術的な問題 (レベル構造やその他の「マーキング」) があります。
松阪輝久は、現在松阪の大定理として知られる結果を証明し、粗いモジュライスキームの存在に対するモジュライ問題上の必要条件を確立した。 [1]
例
マンフォードは、 g > 1の場合、種数gの滑らかな曲線の粗いモジュライ スキームが存在し、これは準射影的であることを証明しました。[2]ヤノシュ コラーによる最近の調査によると、それは「数学と理論物理学の多くの分野の主要な問題に関連する、豊かで興味深い固有の幾何学を持っています。」[3]ブラウンガードは、ベーリの定理が代数的数体上の高次元多様体に一般化できるかどうかという問題を提起し、それらは一般に曲線のモジュライ空間の有限エタール被覆に対して双有理的であるという定式化を行いました。 [4]
安定ベクトル束の概念を用いると、任意の滑らかな複素多様体上のベクトル束の粗いモジュライスキームが存在し、準射影的であることが示されており、この記述では半安定性の概念が用いられている。[5]数理物理学では、特定のケースにおいて、特殊インスタントン束の粗いモジュライ空間を古典的な円錐幾何学における対象と同一視することが可能である。 [6]
参考文献
注記
- ^ Kovács, SJ (2009). 「高次元多様体のモジュライに関する若者向けガイド」代数幾何学、シアトル 2005: 2005 年夏季研究会、2005 年 7 月 25 日～8 月 12 日、ワシントン大学。アメリカ数学会。pp. 711–743。ISBN 978-0-8218-4703-9。PDF の 13 ページ
- ^ Hauser, Herwig; Lipman, Joseph; Oort, Frans; Quirós, Adolfo (2012-12-06). 「10.4 粗いモジュライスキーム」.特異点の解決: オスカー・ザリスキに捧げる研究教科書 1997 年 9 月 7 日から 14 日までオーストリアのオーバーグルグルで開催されたワーキング ウィークで行われたコースに基づく。Birkhäuser。p. 83。ISBN 9783034883993. 2017年8月22日閲覧。
- ^ Kollár, János (2017 年 7 月 20 日). 「1.1. モジュライ問題の短い歴史: 定理 1.14」. 一般型の多様体の族(PDF) . p. 11.
- ^ Goldring, W. (2012). 「Belyi の定理が示唆する統一テーマ」.数論、解析、幾何学. Springer. pp. 181–214 参照p. 203. doi :10.1007/978-1-4614-1260-1_10. ISBN 978-1-4614-1260-1。
- ^ ハリス、ジョー (1987)。「曲線とその係数」。代数幾何学: ボウディン 1985。アメリカ数学会 pp. 99–143 103 ページを参照。ISBN 978-0-8218-1480-2。
- ^ ベーマー、W.トラウトマン、G. (2006)。 「特別なインスタントン バンドルとポンスレ カーブ」。グリューエルでは、ゲルト・マーティン。トラウトマン、ギュンター（編）。特異点、代数の表現、およびベクトル バンドル: ランブレヒト/ファルツで開催されたシンポジウムの議事録。ドイツ、1985 年 12 月 13 ～ 17 日。数学の講義ノート。 Vol. 1273. スプリンガー。 325–336ページ。土井：10.1007/BFb0078852。ISBN 978-3-540-47851-5。