スタックの追求

Pursuing Stacks（フランス語： À la Poursuite des Champs ）は、アレクサンダー・グロタンディークによる1983年の影響力のある数学論文です。 ^[1]ダニエル・キレンへの12ページの手紙と、それに続く約600ページの研究ノートで構成されています。

この研究のテーマは、高次圏理論を用いた一般化されたホモトピー理論である。タイトルの「スタック」という言葉は、今日では「∞-群」と呼ばれるものを指し、グロタンディークは原稿の中でその定義の 1 つを概説している。(代数幾何学のスタックもグロタンディークに遡るが、この原稿の焦点では​​ない。) この研究で導入された概念の中には、微分子とテスト カテゴリがある。

原稿の一部は後に次のように展開されました。

• Georges Maltsiniotis (2005)、「La théorie de l'homotopie de Grothendieck」[グロタンディークのホモトピー理論] (PDF)、Astérisque、301、MR  2200690
• Denis-Charles Cisinski (2006)、「Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie」[ホモトピー型のモデルとしてのプレシーブ] (PDF)、Astérisque、308、ISBN 978-2-85629-225-9、MR  2294028

スタックの追求は、グロタンディークがダニエル・キレンに宛てた手紙から始まりました。この手紙で、彼はホモトピー理論の基礎に関するキレンの進歩^[2]について論じ、それ以降の進歩がないことについて述べています。彼は、ロナルド・ブラウンを含むバンガー大学の友人の何人かが位相空間の高次基本群を研究していたこと、そしてそのようなトピックの基礎がトポス理論を使用してどのように確立され相対化され、高次ゲルブに道を開くことができるかについて述べています。さらに、彼はこれらの基礎を築くために厳密群を使用することに批判的でした。なぜなら、それらは彼が思い描いた完全な理論を展開するには不十分だからです。 ${\displaystyle \Pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle X}$

彼は、そのような∞群がどのようなものであるべきかというアイデアを述べ、それをどのように思い描いているかを示す公理をいくつか示した。本質的には、それらはオブジェクト、矢印、矢印間の矢印などを含むカテゴリであり、高次ホモトピーの状況に類似している。これは、カテゴリと関数の連続的なシーケンスを調べることで達成できると推測されている。

${\displaystyle C_{0}\to C_{1}\to \cdots \to C_{n}\to C_{n+1}\to \cdots }$

は、あらゆる種類の高次群に関して普遍的です。これにより、オブジェクトと包含関数に依存する∞群の帰納的定義が可能になり、カテゴリはレベルまでの高次ホモトピー情報を追跡します。このような構造は、すべての高次コヒーレンスを追跡するため、後にコヒーレータと呼ばれるようになりました。この構造は、George Malsiniotis ^[3]によって正式に研究され、これらの基礎を確立し、ホモトピー仮説を示すことに進展が見られました。 ${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle C_{n}\to C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle n}$

実際のところ、この記述は形式的には鎖状複体のホモロジー群の記述と類似しており、ほぼ同一である。したがって、スタック（より具体的には Gr スタック）は、ある意味では鎖状複体の可能な限り非可換な一般化に最も近いものであり、鎖状複体のホモロジー群は「非可換鎖状複体」またはスタックのホモトピー群になると考えられる。 - Grothendieck ^{[1] 23 ページ}

これは、後にドルド・カン対応によってもたらされる直感によって説明される。すなわち、単体アーベル群はアーベル群の鎖複体に対応するので、単体群としてモデル化された高次のスタックは「非アーベル」鎖複体に対応するはずである。さらに、これらはホモロジーおよびコホモロジーによって与えられるアーベル化を持つはずであり、これは示唆的にまたはと書かれる。なぜなら、関連する6 個の関数形式論があるはずであるからである^{[1] 24 ページ。さらに、}レイノーのテーゼに似た、関連するレフシェッツ演算の理論があるはずである。^[4]${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\bullet }}$${\displaystyle H^{k}(X,{\mathcal {F}}_{\bullet })}$${\displaystyle \mathbf {R} F_{*}({\mathcal {F}}_{\bullet })}$

グロタンディークは球状群を用いた高次スタックの別の定式化を構想し、立方体集合を用いた対応する理論が存在するはずであることに気づいたため、テストカテゴリとテスト関数というアイデアを思いついた。^{[1] pg 42}本質的に、テストカテゴリは、幾何学的実現関数が存在するような 弱同値性のクラスを持つカテゴリであるべきである。${\displaystyle M}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle |\cdot |:M\to {\text{スペース}}}$

弱い同値性

${\displaystyle M[W^{-1}]\simeq {\text{ホット}}}$

ここで、Hot はホモトピーカテゴリを表します。

• ホモトピー仮説
• ∞-群
• 派生語
• Nグループ（圏論）

• スタックの追求、A Grothendieck 1983
• nラボでスタックを追求
• グロタンディークの「スタックの追求」における予想、Mathoverflow.net
• 閉じたモデルカテゴリとしての猫
• 「単体」が「ホモトピー理論的」につながる理由について、高概念的な説明はありますか?、Mathoverflow.net
• Simplex カテゴリの特別な点は何ですか?
• R. ブラウン、アレクサンダー・グロタンディークの「スタックの追求」の起源