形式的に滑らかな地図

代数幾何学と可換代数において、環準同型が次の微小持ち上げ特性を満たす場合、 その環準同型は 形式的に滑らかである（フランス語：Formellement lisseから来ている）と呼ばれる。${\displaystyle f:A\to B}$

B に写像fを介してA代数の構造が与えられているとする。可換A代数Cと冪零イデアルが与えられると、任意のA代数準同型写像はA代数写像に持ち上げられる。さらに、そのような持ち上げが一意である場合、f は形式的にエタールであると言われる。^{[1] [2]} ${\displaystyle N\subseteq C}$${\displaystyle B\to C/N}$${\displaystyle B\to C}$

形式的に滑らかなマップは、Alexander GrothendieckによってÉléments de géométrie algébrique IVで定義されました。

有限に提示された射の場合、形式的な滑らかさは通常の滑らかさの概念 と同等です。

すべての滑らかな射は、有限表現の局所的に形式的に滑らかな射と同値である。したがって、形式的な滑らかさは滑らかな射のわずかな一般化である。^[3]${\displaystyle f:X\to S}$

スキームの形式的な滑らかさを検出する方法の1つは、無限小持ち上げ基準を使用することです。たとえば、切り捨て射を使用すると、無限小持ち上げ基準は可換平方を使用して記述できます。${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{3})\to k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}\right)\\\downarrow &&\downarrow \\S&\leftarrow &{\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\end{matrix}}}$

ここで、例えば、${\displaystyle X,S\in Sch/S}$

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{(xy)}}\right)}$そして${\displaystyle Y={\text{Spec}}(k)}$

次に、環射によって与えられる原点における接線ベクトルを考える。${\displaystyle (0,0)\in X(k)}$

${\displaystyle {\frac {k[x,y]}{(xy)}}\to {\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{2})}}}$

送信

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon \\y&\mapsto \varepsilon \end{aligned}}}$

なので、これは可換環の有効な射であることに注意。そして、この射を${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}=0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {k[\varepsilon ]}{(\varepsilon ^{3})}}\right)\to X}$

形式は次の通りである

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto \varepsilon +a\varepsilon ^{2}\\y&\mapsto \varepsilon +b\varepsilon ^{2}\end{aligned}}}$

そして、これはゼロではないので無限小リフトは存在できず、したがって形式的に滑らかではありません。これは、有限表現の局所的に形式的に滑らかな射と滑らかな射との間の同値から、この射が滑らかでないことも証明しています。 ${\displaystyle xy\mapsto \varepsilon ^{2}+(a+b)\varepsilon ^{3}=\varepsilon ^{2}}$${\displaystyle X\in Sch/k}$

• 二重番号
• 滑らかな射影
• 変形理論

• 形式的には滑らかで、滑らかな繊維を持つが、滑らかではない https://mathoverflow.net/q/333596
• 形式的には滑らかだが滑らかではない https://mathoverflow.net/q/195