双曲幾何学

双曲幾何学は、見た目以上にユークリッド幾何学と密接な関係にあります。唯一の公理上の違いは平行線公準です。ユークリッド幾何学から平行線公準を取り除くと、絶対幾何学が得られます。絶対幾何学には、ユークリッド幾何学と双曲幾何学の2種類があります。ユークリッドの『原論』第1巻の最初の28の命題を含む、絶対幾何学のすべての定理は、ユークリッド幾何学と双曲幾何学の両方で有効です。ユークリッドの『原論』第1巻の命題27と28は、平行線（交わらない線）の存在を証明しています。

この違いは多くの結果をもたらします。ユークリッド幾何学で同等の概念が双曲幾何学では同等ではなく、新たな概念を導入する必要があります。さらに、平行角が存在するため、双曲幾何学には絶対的な尺度、つまり距離と角度の測定値の関係が存在します。

双曲幾何学における直線は、ユークリッド幾何学における直線と全く同じ性質を持つ。例えば、2点から一意に直線が定義され、線分は無限に延長できる。

2本の交差する直線は、ユークリッド幾何学における2本の交差する直線と同じ性質を持ちます。例えば、2本の異なる直線は最大でも1点でしか交わらず、交差する直線は等しい反対角を形成し、交差する直線の隣り合う角は補角になります。

3本目の直線が導入されると、ユークリッド幾何学における交差する直線とは異なる性質を持つ直線が現れることがある。例えば、2本の交差する直線が与えられた場合、そのどちらの直線とも交差しない直線は無限に存在する。

これらの特性は、使用するモデルによって全く異なるように見えても、すべて無関係です。

双曲幾何学では、半径rの円周は より大きい。${\displaystyle 2\pi r}$。

させて${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}$、 どこ${\displaystyle K}$は平面のガウス曲率です。双曲幾何学では、${\displaystyle K}$は負の数なので、平方根は正の数になります。

半径rの円の円周は次の式で表されます。

${\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,.}$

そして、囲まれた円盤の面積は次のとおりです。

${\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{2R}}=2\pi R^{2}\left(\cosh {\frac {r}{R}}-1\right)\,.}$

したがって、双曲幾何学では、円周と半径の比は常に厳密により大きくなります。$2π$ただし、十分に小さな円を選択すれば、任意に近づけることも可能である。

平面のガウス曲率が-1である場合、半径rの円の測地曲率は 次のようになる。${\displaystyle {\frac {1}{\tanh(r)}}}$^{[ 1 ]}

双曲幾何学では、ある直線からすべての点が等距離にあるような直線は存在しません。その代わりに、ある直線からすべての点が等距離にあるような点は、ハイパーサイクルと呼ばれる曲線上にあります。

もう一つの特別な曲線はホロサイクルで、その通常の半径（垂直線）はすべて互いに平行に収束します（すべてが漸近的に一方向に収束し、同じ理想点、つまりホロサイクルの中心に収束します）。

任意の2点間には2つのホロサイクルが存在する。ホロサイクルの中心は、それらの点間の線分の垂直二等分線の理想的な点である。

任意の3つの異なる点が与えられた場合、それらはすべて直線、ハイパーサイクル、ホロサイクル、または円のいずれか上に位置する。

線分の長さとは、2点間の最短距離のことである。

2点を結ぶハイパーサイクルの弧長は、同じ2点を結ぶ線分の弧長よりも長く、同じ2点を結ぶ弧状ホロサイクルの弧長よりも短い。

2点を結ぶ2つのホロサイクルの弧の長さは等しく、それらの点を結ぶ任意のハイパーサイクルの弧の長さよりも長く、それらの点を結ぶ任意の円の弧の長さよりも短い。

平面のガウス曲率が-1の場合、ホロサイクルの測地曲率は1であり、ハイパーサイクルの測地曲率は0から1の間である。 ^{[ 1 ]}

ユークリッド三角形では、角度の合計は常にπラジアン（180°、直線角）になりますが、双曲空間では、三角形の角度の合計は常にπラジアン（180°）より厳密に小さくなります。この差は欠陥と呼ばれます。一般に、凸双曲多角形の欠陥は、${\displaystyle n}$辺は、その角度の合計から引いたものです。$\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }}$。

双曲三角形の面積は、ラジアン単位の欠損にR ²を掛けたもので与えられ、これはすべての凸双曲多角形にも当てはまります。^{[ 2 ]}したがって、すべての双曲三角形の面積はR ² π以下です。3 つの角がすべて 0° である双曲理想三角形の面積は、この最大値に等しくなります。

ユークリッド幾何学と同様に、双曲三角形には内接円が存在する。双曲空間において、その3つの頂点すべてがホロサイクルまたはハイパーサイクル上にある場合、その三角形には外接円が存在しない。

球面幾何学や楕円幾何学と同様に、双曲幾何学においても、2つの三角形が相似であれば、それらは合同でなければならない。

双曲幾何学における特殊な多角形は、正多角形（アペイロゴン）と擬似多角形（プジュゴン） と呼ばれる、辺の数が無限の均一な多角形である。

ユークリッド幾何学では、このような多角形を構成する唯一の方法は、辺の長さをゼロに近づけて円と区別がつかなくするか、内角を180°に近づけて直線に近づけることである。

しかし、双曲幾何学では、正多角形または擬角形の辺の長さは任意である（つまり、辺がはっきりと見える多角形のままである）。

辺の長さと辺間の角度に応じて、辺の二等分線と角の二等分線は、平行になるか、平行に分岐するかのいずれかになります。二等分線が平行になる場合、それはアペイロゴンであり、同心円状のホロサイクルによって内接および外接することができます。

二等分線が平行に分岐している場合、それは擬角形であり、ハイパーサイクルによって内接および外接することができます（すべての頂点が直線（軸）から同じ距離にあり、辺の中点も同じ軸から等距離にあるため）。

ユークリッド平面と同様に、双曲平面も正多角形を面として敷き詰めることが可能です。

シュワルツ三角形( p q r )に基づく均一なタイリングは無限に存在し、ここで 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1 であり、p、q、rはそれぞれ基本領域三角形の 3 つの点における鏡映対称性の次数であり、対称群は双曲三角形群である。また、シュワルツ三角形から生成できない均一なタイリングも無限に存在し、例えば、基本領域として四角形を必要とするものもある。^{[ 3 ]}

ユークリッド幾何学と比較すると、双曲幾何学では座標系に関して多くの困難があります。四角形の内角の和は常に360°未満です。等間隔の直線がないため、適切な長方形は2本の直線と2つのハイパーサイクルで囲む必要があります。線分を四角形の周りを平行移動させると、原点に戻ったときに回転します。など。

しかしながら、双曲平面幾何学には様々な座標系が存在する。いずれも、選択された有向線（ x軸）上の点（原点）を選択することに基づいており、その後、多くの選択肢が存在する。

ロバチェフスキー座標xとyは、 x軸に垂線を引くことで求められます。xは垂線の足の位置を示し、yは垂線に沿って与えられた点から垂線の足までの距離（片側が正、もう片側が負）を示します。

別の座標系では、原点を中心として、その点からホロサイクルまでの距離を測定します。${\displaystyle (0,+\infty )}$そしてこのホロサイクルに沿った長さ。^{[ 5 ]}

他の座標系では、後述するクラインモデルまたはポアンカレ円盤モデルを使用し、ユークリッド座標を双曲座標として扱います。

向き付けられた双曲平面上のデカルト座標系（x、y）は、次のように構築されます。双曲平面上の直線と、その直線上の向きおよび原点oを選択します。次に、

• 点のx座標は、その点から原点までの直線への投影 (その点から直線に下ろした垂線の足) の距離の符号付き値です。
• y座標は、点から直線までの符号付き距離であり、その符号は、点が方向付けられた直線の正側にあるか負側にあるかによって決まります。

この座標系における( x_i, y_i ) ( i=1,2)で表される2点間の距離は$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(\cosh y_{1}\cosh(x_{2}-x_{1})\cosh y_{2}-\sinh y_{1}\sinh y_{2}\right)\,.}$$

この公式は、双曲三角形に関する公式から導き出すことができる。

対応する計量テンソル場は次のとおりです。${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\cosh ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$。

この座標系では、直線は次のいずれかの形式をとります（( x , y )は直線上の点、x₀ _、y₀ _、A、αはパラメータです）。

x軸に超平行

${\displaystyle \tanh(y)=\tanh(y_{0})\cosh(x-x_{0})}$

負の側では漸近的に平行

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(x)}$

正の側では漸近的に平行

${\displaystyle \tanh(y)=A\exp(-x)}$

垂直に交差する

${\displaystyle x=x_{0}}$

角度αで交差する

${\displaystyle \tanh(y)=\tan(\alpha )\sinh(x-x_{0})}$

一般的に、これらの式は（ xの値が）限定された領域内でのみ成り立ちます。その領域の端では、yの値は±無限大に発散します。

19世紀には、双曲幾何学はニコライ・ロバチェフスキー、ヤーノシュ・ボヤイ、カール・フリードリヒ・ガウス、フランツ・タウリヌスによって広く研究された。ユークリッド幾何学の公理から平行線公準を排除することだけを目的としていた先人たちとは異なり、これらの著者は新しい幾何学を発見したことを認識していた。^{[ 11 ] [ 12 ]}

ガウスは1824年にフランツ・タウリヌスに宛てた手紙の中で、自分がそれを構築したと書いたが、ガウスは自分の研究を発表しなかった。ガウスはそれを「非ユークリッド幾何学」^{[ 13 ]}と呼んだため、現代の著者の中には「非ユークリッド幾何学」と「双曲幾何学」を同義語とみなす者もいる。タウリヌスは1826年に双曲三角法に関する結果を発表し、双曲幾何学は自己無矛盾であると主張したが、ユークリッド幾何学の特別な役割を依然として信じていた。双曲幾何学の完全な体系は1829/1830年にロバチェフスキーによって発表されたが、ボヤイはそれを独自に発見し、1832年に発表した。

1868年、エウジェニオ・ベルトラーミは双曲幾何学のモデルを提示し、それを用いて、双曲幾何学が矛盾しないのはユークリッド幾何学が矛盾しない場合に限ることを証明した。

「双曲幾何学」という用語は、1871 年にフェリックス・クラインによって導入されました。 ^{[ 14 ]}クラインは、射影幾何学の変換を使用して等長変換を生成するというアーサー・ケイリーのイニシアチブに従いました。このアイデアでは、円錐曲線または二次曲面を使用して領域を定義し、交差比を使用して計量を定義します。円錐曲線または二次曲面を安定させる射影変換が等長変換です。「クラインは、ケイリー絶対が実曲線である場合、その内部の射影平面の部分は双曲平面と等長であることを示しました...」^{[ 15 ]}

双曲幾何学の発見は、哲学的に重要な意味を持っていた。その発見以前は、多くの哲学者（ホッブズやスピノザなど）は、哲学の厳密さを「幾何学的方法」という観点から捉えており、これはユークリッドの『原論』で用いられた推論方法を指していた。

カントは『純粋理性批判』の中で、空間（ユークリッド幾何学において）と時間は、人間が世界の客観的な特徴として発見するものではなく、私たちの経験を整理するための避けられない体系的な枠組みの一部であると結論づけた。^{[ 16 ]}

ガウスは、古代アテナイ人によって愚鈍者と決めつけられていた「ボイオティア人の騒動」 ^{[ 17 ]}を恐れて、双曲幾何学について何も発表しなかったと言われている。この騒動は、彼が数学者の王子（ラテン語で「数学者の王子」）としての地位を失墜させることになるからである。 ^{[ 18 ]} 「ボイオティア人の騒動」は起こり、そして収まり、数学の厳密性、分析哲学、論理学 の大きな進歩に拍車をかけた。双曲幾何学は最終的に無矛盾であることが証明され、したがって、もう一つの有効な幾何学となった。

ユークリッド幾何学、双曲幾何学、楕円幾何学はすべて整合性があるため、次の疑問が生じる。空間の真の幾何学はどれなのか、そしてそれが双曲幾何学または楕円幾何学である場合、その曲率はどのくらいなのか？

ロバチェフスキーは、シリウスの視差を測定し、シリウスを平行角の理想的な点として扱うことで、宇宙の曲率を測定しようと試みていた。彼は、自分の測定が明確な答えを出すには十分な精度ではないことに気づいていたが、宇宙の幾何学が双曲的であれば、絶対的な長さは地球の軌道の直径の少なくとも100万倍であるという結論に達した。2,000,000 AU 、10パーセク）。^{[ 19 ]}彼の測定は方法論的に欠陥があったと主張する人もいる 。^{[ 20 ]}

アンリ・ポアンカレは、球体世界という思考実験を通して、日常的な経験が必ずしも他の幾何学を排除するものではないという結論に達した。

幾何学化予想は、宇宙の基本幾何学に関する8つの可能性の完全なリストを提供します。どれが適用されるかを決定する際の問題は、決定的な答えに到達するには、地球上、あるいは銀河系内の何よりもはるかに大きな極めて大きな形状を観察する必要があることです。^{[ 21 ]}

特殊相対性理論では、空間と時間を同等に扱い、空間と時間を別々に考えるのではなく、統一された時空の幾何学を考える。 ^{[ 22 ] [ 23 ]}ミンコフスキー幾何学は、ガリレオ幾何学（ガリレオ相対性理論の時間を持つ3次元ユークリッド空間）に取って代わる。^{[ 24 ]}

相対性理論では、ユークリッド幾何学、楕円幾何学、双曲幾何学ではなく、^{ミンコフスキー}空間、ド・ジッター空間、反ド・ジッター空間[ ^{25 ] [ 26 ]}を考慮するのが適切であり、それぞれゼロ、正、負の曲率に対応します。

双曲幾何学は、速度を表すラピディティを通して特殊相対性理論に導入され、双曲角で表現されます。この速度幾何学の研究は、運動学的幾何学と呼ばれています。相対論的速度の空間は3次元の双曲幾何学を持ち、距離関数は「近い」点の相対速度（速度）から決定されます。^{[ 27 ]}

ベルトラーミ・クラインモデルは、射影円盤モデル、クライン円盤モデル、クラインモデルとも呼ばれ、エウジェニオ・ベルトラーミとフェリックス・クラインにちなんで名付けられました。

このモデルでは、2次元の場合、単位円の内部を完全な双曲平面として使用し、この円の弦が双曲線となる。

高次元の場合、このモデルは単位球の内部を使用し、このn次元球の弦は双曲線線になります。

• このモデルの利点は、線が直線になることですが、欠点は、角度が歪むこと（マッピングが等角写像ではないこと）、そして円が円として表現されないことです。
• このモデルにおける距離は、アーサー・ケイリーが射影幾何学で導入した交差比の対数の半分である。

ポアンカレ円盤モデル（共形円盤モデルとも呼ばれる）も単位円の内部を用いるが、線は境界円に直交する円弧と境界円の直径によって表される。

• このモデルは角度を保存するため、等角写像である。したがって、このモデル内のすべての等長変換はメビウス変換である。
• 円盤内に完全に含まれる円は、その円のユークリッド中心が円盤の中心に双曲中心よりも近い場合でも、依然として円である。
• ホロサイクルとは、ディスク内部にある円で、境界円に接する円のうち、接点を除いた円のことである。
• ハイパーサイクルとは、円盤内部にある開弦および円弧であり、境界円上で直交しない角度で終端するものである。

ポアンカレ半平面モデルは、ユークリッド平面の半分（平面上の直線Bで囲まれた部分）を双曲平面のモデルとして用いる。直線B自体はモデルに含まれない。

ユークリッド平面は、デカルト座標系を持つ平面とみなすことができ、x軸は直線Bとみなされ、半平面はこの平面の上半分（y > 0）である。

• 双曲線は、 Bに直交する半円か、 Bに垂直な光線のいずれかである。
• 光線上の区間の長さは対数尺度で与えられるため、相似変換の下で不変である。${\displaystyle (x,y)\mapsto (\lambda x,\lambda y),\quad \lambda >0.}$
• ポアンカレ円盤モデルと同様に、このモデルは角度を保存するため、等角写像である。したがって、このモデル内のすべての等長変換は、平面のメビウス変換となる。
• 半平面モデルは、ポアンカレ円盤モデルの境界が円盤モデルの半径が無限大に近づくにつれてBに接する点となる、ポアンカレ円盤モデルの極限である。

双曲面モデルまたはローレンツモデルは、3 次元ミンコフスキー空間に埋め込まれた2 次元回転双曲面(2 枚のシートを持つが、1 枚を使用) を採用している。このモデルは一般的にポアンカレに帰せられているが、レイノルズ^{[ 33 ]}は、ヴィルヘルム・キリングが1885 年にこのモデルを使用したと述べている。

• このモデルは特殊相対性理論に直接応用できる。ミンコフスキー3次元空間は時空のモデルであり、1つの空間次元を省略しているからである。双曲面は、共通の事象から出発した様々な慣性運動する観測者が、一定の固有時間内に到達する事象（時空における位置）を表すものとすることができる。
• 双曲面上の2点間の双曲距離は、対応する2人の観測者間の相対的な速さによって特定することができる。
• このモデルは、さらに別の次元に直接一般化できる。すなわち、双曲3空間という3次元双曲幾何学は、ミンコフスキー4空間と関連している。

半球モデルは単独でモデルとして使用されることはあまりないが、他のモデル間の変換を視覚化するための有用なツールとして機能する。

半球モデルは単位球の上半分を使用します。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,z>0.}$

双曲線は、半球の境界に直交する半円である。

半球モデルはリーマン球面の一部であり、異なる投影法を用いると双曲平面の異なるモデルが得られる。

• 立体 投影${\displaystyle (0,0,-1)}$飛行機に${\displaystyle z=0}$ポアンカレ円盤モデル 上の対応する点を投影する
• 立体 投影${\displaystyle (0,0,-1)}$表面に${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1,z>0}$双曲面モデル 上の対応する点を投影する
• 立体投影${\displaystyle (-1,0,0)}$飛行機に${\displaystyle x=1}$ポアンカレ半平面モデル上の対応する点を投影する
• 平面への正射投影${\displaystyle z=C}$ベルトラミ・クラインモデル上の対応する点を投影する。
• 球の中心から平面への中心投影${\displaystyle z=1}$Gansモデル上の対応する点を投影する

すべてのモデルは基本的に同じ構造を記述しています。それらの違いは、同じ計量空間、すなわち双曲平面上に置かれた異なる座標チャートを表している点です。双曲平面自体の特徴は、使用する座標チャートに関係なく一定の負のガウス曲率を持つことです。測地線も同様に不変です。つまり、座標変換の下で測地線は測地線に写像されます。双曲幾何学は一般に、双曲平面上の測地線とその交点によって導入されます。^{[ 34 ]}

座標チャート（「モデル」の1つ）を選択すると、常に同じ次元のユークリッド空間に埋め込むことができますが、埋め込みは明らかに等長ではありません（ユークリッド空間の曲率は0であるため）。双曲空間は無限に多くの異なるチャートで表現できますが、これら4つの特定のチャートによるユークリッド空間への埋め込みは、いくつかの興味深い特徴を示します。

これら4つのモデルは同じ距離空間を記述しているため、それぞれを他のモデルに変換することができる。

例えば、以下を参照。

• ベルトラーミ・クラインモデルと双曲面モデルの関係、
• ベルトラミ・クラインモデルとポアンカレ円盤モデルの関係、
• そして、ポアンカレ円盤モデルと双曲面モデルの関係。