カオス理論

カオス理論（またはカオス学^[1]）は、科学研究の学際的な領域であり、数学の一分野です。初期条件に非常に敏感な動的システムの根本的なパターンと決定論的法則に焦点を当てています。これらはかつて、無秩序と不規則性の完全にランダムな状態であると考えられていました。^{[2]カオス理論は、}カオス的な複雑システムの見かけ上のランダム性の中に、根本的なパターン、相互接続、一定のフィードバックループ、繰り返し、自己相似性、フラクタル、自己組織化があるとしています。^[3]カオスの根本的な原理であるバタフライ効果は、決定論的な非線形システムのある状態の小さな変化が、後の状態に大きな違いをもたらす可能性があることを説明します（つまり、初期条件に敏感に依存します）。^{[4]この動作の比喩は、}ブラジルで蝶が羽ばたくとテキサスで竜巻を引き起こす可能性があるということです。^{[5] [6] ：181–184  [7]}

測定誤差や数値計算の丸め誤差などによる初期条件の小さな違いは、そのような動的システムに対して大きく異なる結果をもたらす可能性があり、その動作の長期的な予測は一般に不可能になります。^{[8]これは、これらのシステムが}決定論的である場合でも発生する可能性があります。決定論的であるということは、将来の動作が独自の進化に従い、初期条件によって完全に決定され、ランダムな要素が関与しないことを意味します。[10] 言い換えると、これらのシステムの決定論的な性質によって^、予測可能^になるわけではありません。^{[11] [12]この動作は、}決定論的カオス、または単にカオスとして知られています。この理論は、エドワード・ローレンツによって次のように要約されました。^[13]

カオス: 現在が未来を決定するが、おおよその現在がおおよそ未来を決定しない場合。

カオス的な振る舞いは、流体の流れ、心拍の不規則性、天気、気候など、多くの自然系に存在します。^{[14] [15] [9]また、}道路交通など、人工的な要素を持つ一部のシステムでも自発的に発生します。^{[3]この振る舞いは、カオス的な}数学モデルの分析や、リカレンスプロットやポアンカレマップなどの分析手法を通じて研究できます。カオス理論は、気象学、^[9] 人類学、^[16] 社会学、環境科学、コンピューターサイエンス、工学、経済学、生態学、パンデミック 危機管理など、さまざまな分野に応用されています。^{[17] [18]この理論は、}複雑力学システム、カオス理論の境界、自己組織化プロセスなどの研究分野の基礎を形成しました。

カオス理論は、原理的にはその動作を予測できる決定論的システムに関するものです。カオスシステムはしばらくは予測可能ですが、その後ランダムになったように「見える」ようになります。カオスシステムの動作を効果的に予測できる時間は、次の 3 つの要素に依存します。予測で許容できる不確実性の程度、現在の状態をどれだけ正確に測定できるか、システムのダイナミクスに依存する時間スケール (リアプノフ時間と呼ばれます)。リアプノフ時間の例としては、カオス電気回路 (約 1 ミリ秒)、気象システム (数日 (証明されていない))、太陽系内部 (400 万年から 500 万年) などがあります。^[19]カオスシステムでは、予測の不確実性は経過時間とともに指数関数的に増大します。したがって、数学的には、予測時間を 2 倍にすると、予測の不確実性は 2 乗以上になります。つまり、実際には、リアプノフ時間の 2 倍または 3 倍を超える間隔では意味のある予測を行うことはできません。意味のある予測を行うことができない場合は、システムはランダムに見えるようになります。^[20]

一般的に「カオス」とは「無秩序な状態」を意味する。^{[21] [22]}しかし、カオス理論では、この用語はより正確に定義されている。カオスの普遍的に受け入れられている数学的定義は存在しないが、ロバート・L・デヴァニーによって最初に定式化された一般的な定義によれば、動的システムをカオスとして分類するには、次の特性を持つ必要がある。^[23]

1. 初期条件に敏感でなければならない、
2. それは位相的に推移的でなければならない、
3. 高密度の 周期軌道を持つ必要がある。

いくつかのケースでは、上記の最後の2つの特性は、実際には初期条件に対する感度を意味することが示されている。^{[24] [25]}離散時間の場合、これは距離空間上のすべての連続 マップに当てはまります。^[26]これらのケースでは、多くの場合、これは最も実用的に重要な特性ですが、「初期条件に対する感度」を定義に明記する必要はありません。

注意を間隔に限定すると、2番目の特性は他の2つの特性を暗示する。^[27]カオスの別の、そして一般的に弱い定義では、上記のリストの最初の2つの特性のみを使用する。^[28]

初期条件に対する敏感性とは、カオスシステムの各点が、将来の経路や軌道が著しく異なる他の点によって任意に近似されることを意味します。したがって、現在の軌道の任意の小さな変化や摂動が、将来の動作に著しく異なる結果をもたらす可能性があります。^[3]

初期条件に対する敏感さは、一般に「バタフライ効果」として知られています。これは、1972年にワシントンDCで開催されたアメリカ科学振興協会でエドワード・ローレンツが発表した論文「予測可能性：ブラジルの蝶の羽ばたきはテキサスで竜巻を引き起こすか？」のタイトルにちなんで名付けられました。^[29]羽ばたきは、システムの初期条件の小さな変化を表し、大規模な現象の予測可能性を妨げる一連のイベントを引き起こします。蝶が羽ばたかなければ、システム全体の軌道は大きく異なっていた可能性があります。

1993 年に出版されたローレンツの著書『カオスの本質』 ^{[6] : 8}で示唆されているように、「敏感な依存性はカオスの許容可能な定義として役立つ」。同書で、ローレンツはバタフライ効果を次のように定義している。「動的システムの状態の小さな変化が、その後の状態を、変化がなかった場合の状態とは大きく異なるものにする現象」^{[6] : 23}上記の定義は、解の初期条件に対する敏感な依存性 (SDIC) と一致している。時間とともに変化する経路の初期位置に対する敏感さを示すために、理想化されたスキーモデルが開発された。^{[6] : 189–204}予測可能性の地平線は、SDIC の発生前 (つまり、初期の近くの軌道が大幅に分離する前) に決定できる。^[30]

初期条件に対する敏感さの結果として、システムについての限られた量の情報から始めると（実際には通常そうである）、ある一定の時間を過ぎると、システムはもはや予測できなくなる。これは天気の場合に最も一般的であり、天気は通常約1週間先までしか予測できない。^[31]これは、遠い将来の出来事について何も断言できないという意味ではなく、システムに対するいくつかの制約が存在するということだけを意味する。たとえば、地球上の表面温度は自然に100℃（212℉）に達したり、−130℃（−202℉）を下回ったりしないことはわかっているが（現在の地質時代）、どの日が年間で最も気温が高くなるのかを正確に予測することはできない。

より数学的に言えば、リアプノフ指数は、摂動を受けた初期条件からの指数関数的発散率の形で、初期条件に対する感度を測定する。^[32]より具体的には、位相空間における2つの開始軌道が無限に近く、初期距離が である場合、2つの軌道は最終的に次の率で発散する。 ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,}$

ここで、は時間、はリャプノフ指数です。分離率は初期分離ベクトルの方向に依存するため、リャプノフ指数のスペクトル全体が存在する可能性があります。リャプノフ指数の数は位相空間の次元数に等しくなりますが、最大のものだけを指すのが一般的です。たとえば、最大リャプノフ指数 (MLE) は、システムの全体的な予測可能性を決定するため、最もよく使用されます。正の MLE は通常、システムがカオスであることを示すものと見なされます。^[9]${\displaystyle t}$${\displaystyle \lambda}$

上記の性質に加えて、初期条件の感度に関連する他の性質も存​​在します。これらには、例えば、測度理論的 混合（エルゴード理論で議論されている）やKシステムの性質が含まれます。^[12]

カオス システムでは、進化する変数の値のシーケンスが正確に繰り返され、シーケンス内の任意のポイントから周期的な動作が開始する場合があります。ただし、このような周期シーケンスは引き合うのではなく反発します。つまり、進化する変数がシーケンスの外側にある場合、それがどんなに近くてもシーケンスに入ることはなく、実際にはシーケンスから分岐します。したがって、ほとんどすべての初期条件では、変数は非周期的な動作でカオス的に進化します。

位相的混合(または位相的推移性のより弱い条件) とは、システムが時間の経過とともに進化し、その位相空間の任意の領域または開集合が最終的に他の任意の領域と重なることを意味します。この「混合」という数学的概念は標準的な直感に対応しており、色のついた染料や液体の混合はカオス システムの例です。

位相混合は、カオスの一般的な説明では省略されることが多く、カオスは初期条件に対する感度のみを持つものとみなされます。しかし、初期条件に対する敏感な依存性だけではカオスにはなりません。たとえば、初期値を繰り返し倍増させることで生成される単純な動的システムを考えてみましょう。このシステムは、どの点のペアも最終的には大きく離れるため、どこでも初期条件に対する敏感な依存性を持ちます。しかし、この例には位相混合がないため、カオスはありません。実際、その動作は非常に単純で、0 を除くすべての点が正または負の無限大に向かいます。

空でない開集合の任意のペアに対して、が存在する場合、その写像は位相的に推移的であると言われる。位相的推移性は位相的混合の弱いバージョンである。直感的には、写像が位相的に推移的である場合、点xと領域Vが与えられたとき、軌道がVを通過する点y がx の近くに存在する。これは、システムを2つの開集合に分解することが不可能であることを意味する。^[33]${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle U,V\subset X}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset }$

関連する重要な定理として、バーコフの推移性定理がある。稠密な軌道の存在は位相的推移性を意味することは容易に分かる。バーコフの推移性定理は、Xが第2可算で完全な計量空間である場合、位相的推移性は稠密な軌道を持つX内の点の稠密な集合の存在を意味すると述べている。^[34]

カオス系が稠密な 周期軌道を持つということは、空間内のあらゆる点が周期軌道によって任意に接近することを意味する。^[33] x → 4 x (1 – x )で定義される1 次元ロジスティック写像は、周期軌道の稠密性を持つ最も単純な系の 1 つである。例えば、 →  → (またはおよそ 0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915) は周期 2 の (不安定な) 軌道であり、周期 4、8、16 などにも同様の軌道が存在する (実際、シャルコフスキーの定理で指定されるすべての周期に当てはまる)。^[35]${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}$

シャルコフスキーの定理は、周期3の規則的な周期を示す任意の連続1次元システムは、他のすべての長さの規則的な周期と完全にカオス的な軌道も示すという、リーとヨーク^[36 ]（1975）の証明の基礎です。

x → 4 x (1 – x )で定義される1次元ロジスティックマップのようないくつかの力学系はどこでもカオス的ですが、多くの場合、カオス的な振る舞いは位相空間のサブセットでのみ見られます。最も興味深いケースは、カオス的な振る舞いがアトラクター上で発生するときに発生します。これは、その場合、多数の初期条件がこのカオス領域に収束する軌道につながるためです。^[37]

カオス アトラクターを視覚化する簡単な方法は、アトラクターの吸引域内の点から始めて、その後の軌道を単純にプロットすることです。位相推移条件のため、これは最終的なアトラクター全体の図を作成する可能性が高く、実際、右の図に示されている両方の軌道は、ローレンツ アトラクターの一般的な形状を示しています。このアトラクターは、ローレンツ気象システムの単純な 3 次元モデルから生じます。ローレンツ アトラクターは、おそらく最もよく知られているカオス システム ダイアグラムの 1 つです。これは、おそらく、最初の 1 つであるだけでなく、最も複雑なものの 1 つでもあるためであり、そのため、少し想像力を働かせると、蝶の羽のように見える非常に興味深いパターンを生み出します。

固定点アトラクターやリミットサイクルとは異なり、カオス系から生じるアトラクターはストレンジアトラクターと呼ばれ、非常に詳細で複雑です。ストレンジアトラクターは、連続力学系 (ローレンツ系など) と一部の離散系 (エノン写像など) の両方で発生します。その他の離散力学系には、固定点の吸引域の境界に形成されるジュリア集合と呼ばれる反発構造があります。ジュリア集合はストレンジ反発子と考えることができます。ストレンジアトラクターとジュリア集合はどちらも通常フラクタル構造を持ち、フラクタル次元を計算できます。

単一タイプのカオス解とは対照的に、ローレンツモデル^{[41] [42]}を使用した最近の研究では、さまざまな種類の解を考慮することの重要性が強調されています。たとえば、同じモデリング構成を使用しても初期条件が異なる場合、同じモデル（二重振り子システムなど）内でカオスと非カオスが共存することがあります。古典的および一般化されたローレンツモデルから得られたアトラクター共存の発見^{[38] [39] [40]}は、「天気はカオスである」という従来の見方とは対照的に、「天気全体は、明確な予測可能性を備えたカオスと秩序の二重の性質を持っている」という新しい見方を示唆しています。

ロジスティック マップなどの離散カオス システムは、その次元数に関係なく、ストレンジ アトラクターを示す可能性があります。対照的に、連続的な動的システムの場合、ポアンカレ - ベンディクソンの定理により、ストレンジ アトラクターは 3 次元以上でのみ発生することが示されています。有限次元の線形システムは決して カオスではありません。動的システムがカオス的な動作を示すには、非線形または無限次元 である必要があります。

ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、2 次元微分方程式は非常に規則的な動作をすると述べています。以下で説明するローレンツ アトラクターは、次のような 3 つの微分方程式のシステムによって生成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

ここで、、、およびはシステム状態を構成し、は時間、および、、はシステムパラメータです。右辺の項のうち 5 つは線形で、2 つは二次関数です。合計 7 つの項があります。もう 1 つのよく知られたカオスアトラクタは、7 つのうち 1 つの非線形項のみを持つ Rössler 方程式 によって生成されます。Sprott [ 43 ^{] は、} 5 つの項のみを持ち、1 つの非線形項のみを持つ 3 次元システムを発見しましたが、これは特定のパラメータ値に対してカオスを示します。Zhang と Heidel ^{[44] [45]}は、少なくとも散逸型および保守型の二次関数システムの場合、右辺に 3 つまたは 4 つの項のみを持つ 3 次元二次関数システムはカオス的な動作を示さないことを示しました。その理由は、簡単に言えば、そのようなシステムの解は2 次元面に 漸近的であるため、解の動作が適切であるためです。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \beta}$

ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、ユークリッド平面上の連続的な力学系はカオスになり得ないことを示していますが、非ユークリッド幾何学を持つ2次元連続系は、依然としていくつかのカオス特性を示す可能性があります。^[46]驚くべきことに、無限次元であれば、線形システムでもカオスが発生する可能性があります。^{[47]線形カオスの理論は、}関数解析と呼ばれる数学的解析の分野で開発されています。

上記の3つの常微分方程式のセットは、3次元ローレンツモデルと呼ばれています。^{[48] 1963}年以来、非線形性の程度の増加と加熱や散逸との集合的な影響が解の安定性に与える影響を調べるために、高次元ローレンツモデルが多くの研究で開発されてきました[49 ^{] [ 50][38] [39]}。

結合離散マップ^[51]の直接的な一般化は、空間的に分布したマップ間の相互作用を媒介する畳み込み積分に基づいている： 、 ${\displaystyle \psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f [\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}}$

ここでカーネルは関連する物理システムのグリーン関数として導出される伝播関数であり、^{[52] は}ロジスティック写像または複素写像のようになる。複素写像の例としては、ジュリア集合や池田写像が使える。波長による距離での波動伝播問題を考えるとき、カーネルはシュレーディンガー方程式のグリーン関数の形をとる可能性がある。^{[53] [54]}${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)}$ ${\displaystyle f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]}$${\displaystyle \psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]}$ ${\displaystyle f[\psi ]=\psi ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}}$${\displaystyle L=ct}$${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]}$。

物理学では、ジャークは位置の時間に関する 3次微分です。したがって、次の形式の微分方程式は

${\displaystyle J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$

はジャーク方程式と呼ばれることもあります。ジャーク方程式は3つの1階の通常の非線形微分方程式のシステムと同等であり、ある意味ではカオス的な挙動を示す解の最小設定であることが示されています。これがジャークシステムに対する数学的な関心を刺激しています。4次以上の導関数を含むシステムは、それに応じてハイパージャークシステムと呼ばれます。^[55]

ジャーク システムの動作はジャーク方程式によって記述され、特定のジャーク方程式については、単純な電子回路で解をモデル化できます。これらの回路はジャーク回路と呼ばれます。

ジャーク回路の最も興味深い特性の 1 つは、カオス的な動作の可能性です。実際、ローレンツ アトラクターやレスラー マップなどのよく知られたカオス システムは、1 つの (ただしかなり複雑な) ジャーク方程式に組み合わせることができる 3 つの 1 次微分方程式のシステムとして慣例的に説明されます。 の大きさが非線形であるジャーク方程式の別の例は次のとおりです。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.}$

ここで、A は調整可能なパラメータです。この方程式は、A =3/5 のときにカオス解を持ち、次のジャーク回路で実装できます。必要な非線形性は、2 つのダイオードによって実現されます。

上記の回路では、 を除くすべての抵抗器の値が等しく、すべてのコンデンサのサイズも等しくなります。支配的な周波数は です。オペアンプ0の出力はx 変数に対応し、 1 の出力は x の 1 次導関数に対応し、 2 の出力は 2 次導関数に対応します。 ${\displaystyle R_{A}=R/A=5R/3}$${\displaystyle 1/2\pi RC}$

同様の回路ではダイオードが1個だけ必要となる場合もあり^[56]、ダイオードが全く必要ない場合もあります^[57]。

また、カオス的真性乱数発生器の基礎の1つである、よく知られているチュアの回路も参照してください。 ^[58]この回路は構築が容易なため、現実世界ではカオスシステムの例として広く知られています。

適切な条件下では、カオスは自発的に同期パターンへと進化する。倉本モデルでは、カオス系で同期を生み出すには4つの条件を満たすだけで十分である。例としては、クリスティアーン・ホイヘンスの振り子、ホタル、ニューロン、ロンドン・ミレニアム・ブリッジの共鳴、ジョセフソン接合の大規模配列の結合振動などが挙げられる。^[59]

さらに、理論物理学の観点からは、動的カオス自体は、最も一般的な形では、自発的秩序である。ここでの本質は、自然界の秩序のほとんどが、さまざまな対称性の自発的な崩壊から生じるということである。この大きな現象群には、弾性、超伝導、強磁性などが含まれる。確率力学の超対称理論によれば、カオス、より正確にはその確率的一般化もこの群の一部である。破られている対応する対称性は、すべての確率的（偏）微分方程式に隠されている位相的超対称性であり、対応する秩序パラメータは、バタフライ効果の場の理論的具体化である。^[60]

ジェームズ・クラーク・マクスウェルは最初に「バタフライ効果」を強調し、1860年代と1870年代の研究でカオス理論を議論した最初期の一人とみなされている。^{[61] [62] [63]}カオス理論の初期の提唱者はアンリ・ポアンカレである。1880年代に三体問題を研究しているときに、彼は非周期的でありながら永遠に増加したり固定点に近づいたりしない軌道が存在する可能性があることを発見した。^{[64] [65] [66]} 1898年、ジャック・アダマールは「アダマールのビリヤード」と呼ばれる一定の負の曲率の表面上を摩擦なしで滑る自由粒子のカオス運動に関する影響力のある研究を発表した。^[67]アダマールは、すべての粒子軌道が互いに指数関数的に発散し、正のリアプノフ指数を持つという点で、すべての軌道が不安定であることを示すことができた。

カオス理論はエルゴード理論の分野で始まった。非線形微分方程式をテーマにしたその後の研究は、ジョージ・デイヴィッド・バーコフ^[68]、 アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフ^[69]、^{[70]、[71]、} メアリー・ルーシー・カートライトとジョン・エデンソル・リトルウッド^[72]、スティーブン・スメール^[73]によって行われた。カオス的な惑星運動は観測されていなかったが、実験者は流体運動の乱流や無線回路の非周期的な振動に遭遇していたが、彼らが見ているものを説明する理論の恩恵は受けていなかった。

20 世紀前半に最初の洞察があったにもかかわらず、カオス理論が形式化されたのは、当時主流だったシステム理論である線形理論では、ロジスティック マップなどの特定の実験で観察された動作を説明できないことが一部の科学者に初めて明らかになった 20 世紀半ば以降でした。測定の不正確さと単純な「ノイズ」に起因すると考えられていたものが、カオス理論家によって研究対象のシステムの完全な構成要素とみなされました。1959 年にボリス ヴァレリアノヴィッチ チリコフは、ハミルトン システムにおける古典的カオスの発生基準 (チリコフ基準) を提案しました。彼はこの基準を適用して、オープン ミラー トラップでのプラズマ閉じ込めに関するいくつかの実験結果を説明しました。^{[74] [75]}これは、具体的な実験を説明することに成功した最初のカオス物理理論と見なされています。そして、ボリス チリコフ自身は、古典的カオスと量子カオスの先駆者と見なされています。^{[76] [77] [78]}

カオス理論の発展の主たるきっかけは電子計算機であった。カオス理論の数学の多くは単純な数式の反復計算を伴うが、これは手作業では非現実的である。電子計算機はこれらの反復計算を実用的にし、図や画像によってこれらのシステムを視覚化することが可能となった。京都大学の林千尋研究室の大学院生だった上田義介は、アナログ計算機の実験中に、1961年11月27日に「ランダム遷移現象」と彼が呼ぶ現象に気づいた。しかし、指導教官は当時彼の結論に同意せず、1970年まで彼の研究結果の報告を許可しなかった。^{[79] [80]}

エドワード・ローレンツは、この理論の先駆者でした。彼のカオスへの関心は、1961年の天気予報に関する研究を通じて偶然に生まれました。 ^[14]ローレンツと共同研究者のエレン・フェッター、マーガレット・ハミルトン^[81]は、シンプルなデジタルコンピュータ、ロイヤルマクビー LGP-30を使用して天気のシミュレーションを実行していました。彼女たちはデータのシーケンスをもう一度見たいと考え、時間を節約するためにシミュレーションを途中から開始しました。彼女たちは、元のシミュレーションの途中の状態に対応するデータのプリントアウトを入力することでこれを行いました。驚いたことに、マシンが予測し始めた天気は、以前の計算とはまったく異なっていました。彼女たちは、この原因をコンピュータのプリントアウトに求めました。コンピュータは6桁の精度で動作していましたが、プリントアウトでは変数を3桁の数字に切り上げていたため、0.506127のような値は0.506と印刷されていました。この差はごくわずかで、当時は実質的な影響はないというのがコンセンサスでした。しかし、ローレンツは、初期条件の小さな変化が長期的な結果に大きな変化をもたらすことを発見しました。^{[82]ローレンツの発見は、}ローレンツアトラクターに名前を与えましたが、詳細な大気モデリングでさえ、一般的には正確な長期天気予報を行うことはできないことを示しました。

1963年、情報理論を研究していたブノワ・マンデルブロは、株価や電話回線を含む多くの現象のノイズが、無限の粗さと詳細さを持つ点の集合であるカントール集合のようにパターン化されていることを発見した。 ^[83]マンデルブロは、「ノア効果」（突然の不連続な変化が起こることがある）と「ジョセフ効果」（しばらく値が持続するが、その後突然変化することがある）の両方について説明した。^{[84] [85]} 1967年、彼は「イギリスの海岸線の長さはどれくらいか？統計的自己相似性と分数次元」を出版し、海岸線の長さは測定器のスケールによって変化し、すべてのスケールでそれ自体に似ており、無限に小さい測定器に対しては長さが無限であることを示した。^[86]より糸の玉は遠くから見ると点（0次元）、かなり近くから見ると球（3次元）、または曲がったより糸（1次元）に見えると主張し、物体の寸法は観察者に対して相対的であり、分数である可能性があると主張した。異なるスケールにわたって不規則性が一定である物体（「自己相似性」）はフラクタルである（例として、メンガースポンジ、シェルピンスキーガスケット、コッホ曲線またはスノーフレークがあり、無限に長いが有限の空間を囲み、フラクタル次元は約1.2619である）。1982年、マンデルブロはカオス理論の古典となった『自然のフラクタル幾何学』^{を出版した。 [87]}

1977年12月、ニューヨーク科学アカデミーはカオスに関する最初のシンポジウムを開催し、デイヴィッド・ルーエル、ロバート・メイ、ジェームズ・A・ヨーク（数学で「カオス」という用語の考案者）、ロバート・ショー、気象学者エドワード・ローレンツが出席した。翌年、ピエール・クーレとシャルル・トレサーは「Itérations d'endomorphismes et groupe de renormalisation」を発表し、ミッチェル・ファイゲンバウムの論文「Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations」は、3年間の査読拒否を経て、ようやく雑誌に掲載された。^{[88] [89]}こうして、ファイゲンバウム（1975年）とクーレ＆トレサー（1978年）はカオスの普遍性を発見し、カオス理論をさまざまな現象に適用することが可能になった。

1979年、アルバート・J・リブチャバーは、ピエール・ホーエンベルグがアスペンで開催したシンポジウムで、レイリー・ベナール対流系におけるカオスと乱流につながる分岐カスケードの実験的観察を発表しました。彼は、その刺激的な業績により、ミッチェル・J・ファイゲンバウムとともに1986年にウルフ物理学賞を受賞しました。^[90]

1986年、ニューヨーク科学アカデミーは、国立精神衛生研究所および海軍研究局と共催し、生物学と医学におけるカオスに関する最初の重要な会議を開催しました。そこで、ベルナルド・フーバーマンは、統合失調症患者の視線追跡機能障害の数学的モデルを発表しました。^{[91]これにより、1980年代には、病的な}心拍周期の研究などにおけるカオス理論の応用を通じて、生理学の刷新が起こりました。

1987年、Per Bak、Chao Tang、Kurt WiesenfeldはPhysical Review Letters ^[92]に論文を発表し、自然界で複雑性が生じるメカニズムの1つと考えられている自己組織化臨界性（SOC）について初めて説明した。

Bak-Tang-Wiesenfeld 砂山のような主に実験室ベースのアプローチと並行して、スケール不変の挙動を示すことが知られている (または疑われる) 大規模な自然システムまたは社会システムに焦点を当てた調査が数多く行われてきました。これらのアプローチは、研究対象の専門家に必ずしも歓迎されたわけではないが（少なくとも当初は）、それでもSOCは、地震（SOCが発見されるずっと前から、地震の規模の統計的分布を記述するグーテンベルク・リヒターの法則や余震の頻度を記述する大森の法則^[93]など、スケール不変な動作の原因として知られていた）、太陽フレア、金融市場などの経済システムの変動（経済物理学ではSOCへの言及が一般的）、地形の形成、森林火災、地滑り、疫病、生物進化（SOCは、例えば、ナイルズ・エルドリッジとスティーブン・ジェイ・グールドが提唱した「断続平衡」理論の背後にある動的メカニズムとして引用されている）など、多くの自然現象を説明する強力な候補として確立されている。イベントサイズのスケールフリー分布の意味合いを考慮して、一部の研究者は、戦争の発生もSOCの例として考えるべき別の現象であると示唆している。これらの SOC の調査には、モデリングの試み (新しいモデルの開発、または既存のモデルを特定の自然システムの詳細に適合させる) と、自然のスケーリング法則の存在や特性を判断するための広範なデータ分析の両方が含まれています。

同じく1987年にジェームズ・グレイックは『カオス：新しい科学の創造』を出版し、ベストセラーとなり、カオス理論の一般原理とその歴史を広く一般に紹介した。^[94]当初は少数の孤立した個人の領域であったカオス理論は、主に非線形システム分析という名前で、徐々に学際的かつ制度的な分野として浮上した。トーマス・クーンの『科学革命の構造』 （1962年）で明らかにされたパラダイムシフトの概念に言及して、多くの「カオス学者」（一部の人は自らをそう称した）は、この新しい理論はそのようなシフトの一例であり、グレイックが支持した命題であると主張した。

より安価で強力なコンピュータが利用できるようになったことで、カオス理論の適用範囲が広がりました。現在、カオス理論は活発な研究分野であり、^[95]数学、位相幾何学、物理学、^[96] 社会システム、^[97] 人口モデリング、生物学、気象学、天体物理学、情報理論、計算神経科学、パンデミック危機管理、^{[17] [18]}など、 さまざまな分野が関与しています。

エドワード・ローレンツ教授は、そのキャリアを通じて合計61の研究論文を執筆し、そのうち58は彼自身が執筆したものです。^[98] 1960年の日本での会議を皮切りに、ローレンツはSDICとカオス的特徴を明らかにすることを目的とした多様なモデルの開発に乗り出しました。1960年から2008年にかけてのローレンツのモデル^{[99] [100]}の進展に関する最近のレビューでは、彼がさまざまな物理システムを用いてカオス的現象を説明することに長けていたことが明らかになりました。これらのシステムには、準地衡流システム、保守的渦度方程式、レイリー・ベナール対流方程式、浅水方程式が含まれていました。さらに、ローレンツは、カオス的解を探索するためのロジスティックマップの早期の応用で評価されており、これは彼が同僚に先駆けて達成したマイルストーンです（例：Lorenz 1964 ^[101]）。

1972年、ローレンツは、小さな摂動が最終的に3次元で組織化された一貫した構造を持つ竜巻を生み出すかどうかを議論するための比喩として「バタフライ効果」という用語を作り出した。初期条件への敏感な依存性に基づく元のバタフライ効果と関連しているが、その比喩的な変種は独特のニュアンスを持っている。このマイルストーンを記念して、両方のバタフライ効果への理解を深める招待論文を含む復刻本が、比喩的なバタフライ効果の50周年を祝うために正式に出版された。^[102]

初期条件への敏感な依存性（すなわちバタフライ効果）は、次のような言い伝えによって説明されている。^[94]

上記に基づいて、多くの人々は、小さな初期摂動の影響が時間とともに単調に増加し、どんな小さな摂動でも最終的には数値積分に大きな影響を与える可能性があると誤って信じています。しかし、2008年にローレンツは、この詩が真のカオスを説明しているとは思わないが、不安定性のより単純な現象をよりよく示しており、その後の小さなイベントが結果を覆さないことを暗に示唆していると述べました。^[103]分析に基づくと、この詩は発散のみを示しており、有界性を示していません。^[7]有界性は、蝶のパターンの有限サイズにとって重要です。^{[7] [103] [104]}最近の研究で、^[105]前述の詩の特性は最近「有限時間に敏感な依存性」と示されました。

カオス理論は気象パターンの観察から生まれたが、他の様々な状況にも応用できるようになった。今日カオス理論の恩恵を受けている分野としては、地質学、数学、生物学、コンピュータサイエンス、経済学、^{[107] [108] [109]} 工学、^{[110] [111]} 金融、^{[112] [113] [114] [115] [116]} 気象学、哲学、人類学、^[16] 物理学、^{[117] [118] [119]} 政治学、^{[120] [121]} 人口動態、^[122]ロボット工学などがある。以下にいくつかのカテゴリーを例とともに挙げるが、新しい応用が登場しているため、これは決して包括的なリストではない。

カオス理論は長年暗号学で使われてきました。過去数十年間、カオスと非線形ダイナミクスは何百もの暗号プリミティブの設計に使われてきました。これらのアルゴリズムには、画像暗号化アルゴリズム、ハッシュ関数、安全な疑似乱数生成器、ストリーム暗号、透かし、ステガノグラフィーが含まれます。^[123]これらのアルゴリズムの大部分は単峰性カオスマップに基づいており、これらのアルゴリズムの大部分はカオスマップの制御パラメータと初期条件を鍵として使用しています。^[124]一般性を失うことなく、より広い視点から見ると、カオスマップと暗号システムの類似性が、カオスベースの暗号アルゴリズムを設計する主な動機となっています。^[123]暗号化の1つのタイプである秘密鍵または対称鍵は、拡散と混乱に依存しており、これはカオス理論によって適切にモデル化されています。^[125]別のタイプのコンピューティングであるDNAコンピューティングは、カオス理論と組み合わせると、画像やその他の情報を暗号化する方法を提供します。^[126] DNAカオス暗号化アルゴリズムの多くは安全ではないことが証明されているか、適用された技術が効率的ではないことが示唆されています。^{[127] [128] [129]}

ロボット工学は、最近カオス理論の恩恵を受けているもう一つの分野です。ロボットが試行錯誤しながら環境と相互作用するのではなく、カオス理論は予測モデルの構築に使用されています。^{[130]カオスダイナミクスは、}受動的に歩行する二足歩行ロボット によって実証されています。 ^[131]

生物学者は100年以上にわたり、個体群モデルを用いてさまざまな種の個体群を追跡してきました。ほとんどのモデルは連続的ですが、最近、科学者は特定の個体群にカオスモデルを実装できるようになりました。^{[132]たとえば、}カナダオオヤマネコのモデルに関する研究では、個体群の成長にカオス的な動作があることが示されました。^{[133]カオスは、}水文学などの生態系にも見られます。水文学のカオスモデルには欠点がありますが、カオス理論のレンズを通してデータを見ることで学ぶことはたくさんあります。^[134]もう1つの生物学的応用は、心拍陣痛記録にあります。胎児の監視は、正確な情報を得ることと可能な限り非侵襲性であることの微妙なバランスです。カオスモデリングにより、胎児低酸素症の警告サインのより良いモデルを得ることができます。^[135]

ペリーが指摘するように、生態学におけるカオス的な時系列のモデリングは制約によって助けられる。^{[136] : 176, 177}実際のカオスとモデル内のみのカオスを区別することは、常に潜在的な困難を伴う。^{[136] : 176, 177}したがって、モデル内の制約と、比較のための時系列データの複製は、モデルを現実に近いものに制約するのに役立つ（例えば、ペリーとウォール 1984）。^{[136] : 176, 177}遺伝子対遺伝子の共進化は、対立遺伝子頻度においてカオス的なダイナミクスを示すことがある。^[137]変数を追加すると、これが誇張される。カオスは、実際の個体群の追加の側面を反映するために追加の変数を組み込んだモデルでより一般的である。 ^[137]ロバート・M・メイ自身もこれらの基礎的な作物の共進化研究のいくつかを行い、これが今度は分野全体を形作るのに貢献した。^[137]安定した環境であっても、単に1つの作物と1つの病原体を組み合わせるだけで、病原体の集団に準周期的またはカオス的な振動が生じる可能性があります。^{[138] : 169}

カオス理論を応用することで経済モデルも改善できる可能性があるが、経済システムの健全性とそれに最も影響を与える要因を予測することは極めて複雑な作業である。^[139]経済システムと金融システムは、人々の相互作用から生じるため本質的に確率的であり、したがって純粋な決定論的モデルではデータの正確な表現が得られない可能性が高いため、古典的な自然科学のシステムとは根本的に異なる。経済と金融におけるカオスをテストする実証的文献は、カオスの特定のテストと非線形関係のより一般的なテストとの混同により、非常に複雑な結果を示している。^[140]

経済学におけるカオスは、再発量化分析によって発見できる。実際、オーランドら^[141]は、いわゆる再発量化相関指数を用いて、時系列の隠れた変化を検出することができた。その後、同じ手法を用いて、層流（規則的）から乱流（カオス的）への移行やマクロ経済変数間の違いを検出し、経済ダイナミクスの隠れた特徴を浮き彫りにした。^[142]最後に、カオス理論は、経済がどのように機能するかをモデル化したり、COVID-19などの外部イベントによるショックを埋め込んだりするのに役立つ可能性がある。^[143]

バタフライ効果としても知られる、解の初期条件に対する敏感な依存性 (SDIC) のため、Lorenz 1963 モデルのようなカオス系は、有限の予測可能性地平線を意味します。これは、有限の期間内では正確な予測が可能であっても、無限の時間スパンでは実行可能ではないことを意味します。Lorenz のカオス解の性質を考慮して、1966 年に Charney らが率いた委員会^[144]は、一般循環モデルから 5 日間の倍加時間を外挿し、2 週間の予測可能性限界を示唆しました。5 日間の倍加時間と 2 週間の予測可能性限界の間のこの関係は、1969 年の地球大気研究プログラム (GARP) のレポートにも記録されています。^[145] Mintz と Arakawa モデルおよび Lorenz のモデルからの直接的および間接的な影響と、Charney らのリーダーシップを認めるために、Shen らは、1966 年に、このモデルを、大気大循環モデルから 5 日間の倍加時間と 2 週間の予測可能性限界の間の関連を持つ新しいモデルに改良しました。^[146]は、 2週間の予測可能性の限界を「予測可能性限界仮説」と呼び、ムーアの法則との類似性を指摘している。

AI駆動型大規模言語モデルでは、応答はフォーマットの変更やプロンプトのバリエーションなどの要因に対して敏感になることがあります。これらの敏感さはバタフライ効果に似ています。^[147] AI駆動型大規模言語モデルを古典的な決定論的カオスシステムとして分類することは困難ですが、カオスに触発されたアプローチとテクニック（アンサンブルモデリングなど）を使用して、これらの拡張言語モデルから信頼性の高い情報を抽出できます（「大衆文化におけるバタフライ効果」も参照）。

化学では、ガスの溶解度を予測することはポリマーの製造に不可欠ですが、粒子群最適化(PSO) を使用するモデルは間違った点に収束する傾向があります。カオスを導入することで PSO の改良版が作成され、シミュレーションが行き詰まるのを防ぎます。^[148]天体力学では、特に小惑星を観測する場合、カオス理論を適用すると、これらの物体が地球や他の惑星に接近する時期をより正確に予測できます。^[149]冥王星の5 つの衛星のうち 4 つはカオス的に回転します。量子物理学と電気工学では、ジョセフソン接合の大規模な配列の研究がカオス理論から大きな恩恵を受けました。^[150]身近なところでは、炭鉱は常に危険な場所であり、頻繁な天然ガス漏れで多くの死者が出ています。最近まで、いつ発生するかを予測する確実な方法はありませんでした。しかし、これらのガス漏れにはカオス的な傾向があり、適切にモデル化すればかなり正確に予測できます。^[151]

カオス理論は自然科学以外にも応用できるが、歴史的にそのような研究のほとんどが再現性の欠如、外部妥当性の低さ、および/またはクロスバリデーションへの配慮の欠如に悩まされており、その結果、予測精度が低くなっている（サンプル外予測が試みられた場合）。Glass ^[152]と Mandell と Selz ^[153]は、EEG 研究ではまだ奇妙なアトラクターの存在やカオス的行動の他の兆候が示されていないことを発見した。

レディントとリードボード (1992) は、人間の心臓がカオス的特性を示す可能性があることを実証しようとした。彼らは、心理療法を受けている一人の患者が、セラピーセッション中にさまざまな感情の強さの期間を経るにつれて、心拍間隔の変化をモニターした。結果は明らかに決定的なものではなかった。著者らがカオス的ダイナミクスの証拠を示すために作成したさまざまなグラフ (スペクトル分析、位相軌跡、自己相関グラフ) に曖昧さがあっただけでなく、カオス的行動のより決定的な確認としてリアプノフ指数を計算しようとした際にも、著者らはそれを確実に行うことができないことを発見した。^[154]

1995 年の論文で、メトカーフとアレン^{[155] は}、動物の行動において、カオスにつながる周期倍増のパターンを発見したと主張しました。著者らは、スケジュール誘発性多飲症と呼ばれるよく知られた反応を調査しました。これは、一定時間餌を与えられなかった動物が、ようやく餌が与えられたときに異常な量の水を飲むというものです。ここで作用する制御パラメータ (r) は、再開された後の給餌間隔の長さでした。著者らは、多数の動物をテストし、多くの反復を含めるように注意し、r の開始場所の違いによって反応パターンが変化する可能性を排除するように実験を設計しました。

時系列と最初の遅延プロットは、主張を最もよく裏付けるものであり、給餌時間が長くなるにつれて、周期性から不規則性へとかなり明確に移行していることを示しています。一方、さまざまな位相軌跡プロットとスペクトル分析は、他のグラフや全体的な理論と十分に一致していないため、必然的にカオスの診断に至ることはありません。たとえば、位相軌跡は、ますます複雑になる方向 (および周期性から離れる方向) への明確な進行を示していません。プロセスは非常に不明瞭です。また、メトカーフとアレンがスペクトル プロットで 2 と 6 の周期を確認した場所には、別の解釈の余地があります。このすべての曖昧さにより、結果がカオス モデルに適合することを示すには、曲がりくねった事後的な説明が必要になります。

アムンドソンとブライトは、従業員と雇用市場の関係の混沌とし​​た解釈をキャリアカウンセリングのモデルに取り入れることで、キャリアの決定に悩む人々に対してよりよい提案ができると発見した。^[156]現代の組織は、混沌をもたらす可能性のある内部および外部の力の影響を受ける、基本的な自然な非線形構造を持つオープンで複雑な適応型システムとして見られるようになってきている。例えば、チームビルディングとグループ開発は、異なる個人が初めて会うという不確実性によりチームの軌跡が予測不可能になるため、本質的に予測不可能なシステムとしてますます研究されている。^[157]

交通予測はカオス理論の応用から恩恵を受ける可能性がある。渋滞がいつ発生するかをより正確に予測できれば、渋滞が発生する前に渋滞を解消する対策を講じることができる。カオス理論の原理と他のいくつかの方法を組み合わせることで、より正確な短期予測モデルが生まれた（右のBML交通モデルのグラフを参照）。^[158]

カオス理論は、降雨量や流量などの環境水循環データ（水文学的データでもある）に適用されてきた。 ^[159]これらの研究は、カオスの特徴を検出する方法が比較的主観的であることが多いため、物議を醸す結果をもたらしてきた。初期の研究はカオスの発見に「成功」​​する傾向があったが、その後の研究やメタ分析はそれらの研究に疑問を投げかけ、これらのデータセットが低次元のカオスダイナミクスを持つ可能性が低い理由を説明した。^[160]

カオスシステムの例

その他の関連トピック

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• イタリア、フィレンツェのCSDC の非線形動力学研究グループ
• 非線形ダイナミクス: 科学はカオスをどのように理解するか、Sunny Auyang による講演、1998 年。
• 非線形ダイナミクス。分岐とカオスのモデル（エルマー・G・ウィーンズ著）
• グレイクのカオス（抜粋） 2007-02-02 にWayback Machineでアーカイブ
• オックスフォード大学のシステム分析、モデリング、予測グループ
• マッキー・グラス方程式に関するページ
• 高い不安 — 混沌の数学 (2008) BBC ドキュメンタリー、監督:デイビッド・マローン
• 進化のカオス理論 - 生命のフラクタルな性質やカオスなど、進化と非線形システムの類似点を特集した Newscientist に掲載された記事。
• Jos Leys、Étienne Ghys、Aurélien Alvarez による「Chaos, A Mathematical Adventure」。幅広い視聴者を対象とした、力学システム、バタフライ効果、カオス理論に関する 9 つの映画。
• 「カオス理論」、BBCラジオ4、スーザン・グリーンフィールド、デイヴィッド・パピノー、ニール・ジョンソンとの討論（In Our Time、2002年5月16日）
• カオス：バタフライ効果の科学（2019）デレク・ミュラーによる解説

•  この記事には、フリーコンテンツ作品からのテキストが組み込まれています。CC-BY（ライセンスステートメント/許可）の下でライセンスされています。テキストは、Three Kinds of Butterfly Effects within Lorenz Models​、Bo-Wen Shen、Roger A. Pielke、Sr.、Xubin Zeng、Jialin Cui、Sara Faghih-Naini、Wei Paxson、およびRobert Atlas、MDPI、百科事典から引用されています。