ジャーク（物理学）

ジャーク
ジャークを含む位置の時間微分
一般的な記号	j , j , ȷ →
SI基本単位では	メートル・秒-3、メートル/秒3
寸法	LT −3​

ジャーク（またはジョルト）は、物体の加速度が時間とともに変化する割合です。ジャークはベクトル量（大きさと方向の両方を持つ）です。ジャークは、一般的には記号jで表され、m/s ³（SI 単位）または標準重力/秒（g ₀ /s）で表されます。

ベクトルとして、ジャークj は加速度の1次微分、速度の2 次微分、位置の3 次微分として表すことができます。

j ( t ) = d a ( t ) d t = d 2 v ( t ) d t 2 = d 3 r ( t ) d t 3 {\displaystyle \mathbf {j} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t^{3}}}}

どこ：

• aは加速度である
• vは速度である
• rは位置
• 時間だ

形式の 3階微分方程式は、ジャーク方程式 と呼ばれることもあります。3つの通常の1階非線形微分方程式の同等のシステムに変換すると、ジャーク方程式はカオス的な動作を示す解の最小設定になります。この条件により、ジャークシステムに対する数学的な関心が高まります。したがって、4階以上の導関数を含むシステムはハイパージャークシステムと呼ばれます。^[1]$${\displaystyle J\left({\overset {\mathbf {...} }{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0}$$

人間の体の位置は、拮抗筋の力のバランスをとることによって制御されます。重量物を持ち上げるなど、与えられた力のバランスをとる際、中心後回は制御ループを確立して、望ましい平衡を実現します。力が急速に変化しすぎると、筋肉は十分な速さで弛緩または緊張できず、いずれかの方向に行き過ぎて、一時的に制御不能になります。力の変化に反応する反応時間は、生理学的限界と脳の注意レベルによって異なります。つまり、予期される変化は、負荷の突然の減少または増加よりも早く安定します。

車両の乗客が体の動きを制御できなくなり、怪我をしないようにするためには、筋肉の緊張を調整し、わずかなストレスの変化にも適応するのに時間が必要なため、最大力（加速度）と最大ジャークの両方にさらされないようにする必要があります。急激な加速度の変化は、むち打ち症などの怪我を引き起こす可能性があります。^{[2]怪我を起こさないレベルであっても、過度のジャークは乗り心地の悪さにつながる可能性があります。エンジニアは、}エレベーター、路面電車、その他の乗り物 の「ジャーク運動」を最小限に抑えるために、かなりの設計努力を費やしています。

たとえば、車に乗るときの加速と衝撃の影響を考えてみましょう。

• 熟練した経験豊富なドライバーはスムーズに加速できますが、初心者はぎくしゃくした乗り心地になることがよくあります。足踏みクラッチを備えた車でギアを変更する場合、加速力はエンジン出力によって制限されますが、経験の浅いドライバーはクラッチの断続的な力の閉鎖により、激しいぎくしゃくした乗り心地を引き起こす可能性があります。
• 高出力のスポーツカーでシートに押し付けられているような感覚は、加速によるものです。車が停止状態から発進すると、加速度が急激に増大し、大きな正の衝撃が生じます。発進後、空気抵抗の力が車速とともに増大し、徐々に加速度が下がり、乗客をシートに押し付ける力が弱まるため、小さく持続的な負の衝撃が生じます。車が最高速度に達すると、加速度は 0 に達し、一定のままになります。その後は、ドライバーが減速するか方向転換するまで衝撃は生じません。
• 急ブレーキや衝突の際、ブレーキや衝突の開始後、筋肉の緊張がすぐに体の制御を取り戻すため、乗員はブレーキング プロセスの残りの部分よりも大きな初期加速度で前方に飛び出します。死体や衝突試験用ダミーには能動的な筋肉制御がないため、これらの効果は車両テストではモデル化されません。
• 急激な変化を最小限に抑えるために、道路のカーブは、鉄道のカーブやジェットコースターのループと同様にクロソイド曲線になるように設計されています。

一定の質量mの場合、ニュートンの運動の第二法則によれば、加速度aは力Fに正比例します。 F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }

剛体の古典力学では、加速度の微分に関連する力は存在しません。しかし、物理システムはジャークの結果として振動や変形を経験します。ハッブル宇宙望遠鏡の設計において、NASAはジャークとジャンプの両方に制限を設けました。^[3]

アブラハム・ローレンツ力は、放射線を放出しながら加速する荷電粒子にかかる反動力です。この力は、粒子の躍動感とその電荷の二乗に比例します。ホイーラー・ファインマン吸収体理論は、より高度な理論であり、相対論的および量子的な環境に適用でき、自己エネルギーを考慮しています。

加速度の不連続性は、変形、量子力学効果、およびその他の原因により、現実の環境では発生しません。ただし、理想的な設定、たとえば、部分的に滑らかな連続パスに沿って移動する理想的な質点などでは、加速度のジャンプ不連続性とそれに伴う無制限のジャークが発生する可能性があります。ジャンプ不連続性は、パスが滑らかでないポイントで発生します。これらの理想的な設定から外挿することで、実際の状況でのジャークの影響を定性的に記述、説明、および予測できます。

加速におけるジャンプの不連続性は、ジャンプの高さにスケールされた、ジャークにおけるディラック デルタ関数を使用してモデル化できます。ディラック デルタにわたってジャークを時間とともに積分すると、ジャンプの不連続性が得られます。

たとえば、半径rの円弧に沿った経路を考えます。この経路は直線に接線で接続されています。経路全体は連続しており、各部分は滑らかです。ここで、点粒子がこの経路に沿って一定の速度で移動すると仮定します。この場合、その接線加速度はゼロです。求心加速度は次のように表されます。²ページ/r⁠ は弧に対して垂直で内側を向いています。粒子が破片の接続部を通過すると、加速度のジャンプ不連続が発生します。これは⁠で表されます。²ページ/r⁠、そしてそれは、ジャンプ不連続性にスケールされたディラックデルタによってモデル化できる急激な変化を経験します。

不連続な加速のより具体的な例として、理想的なバネ-質量系を考えてみましょう。この系では、質量は摩擦のある理想的な表面上で振動しています。質量にかかる力は、バネ力 と動摩擦力のベクトル和に等しくなります。速度の符号が変わると (最大および最小変位で)、質量にかかる力の大きさは摩擦力 の大きさの 2 倍に変化します。これは、バネ力は連続的で、摩擦力は速度とともに方向が反転するためです。加速度の急上昇は、質量にかかる力を質量で割った値に等しくなります。つまり、質量が最小または最大変位を通過するたびに、質量は不連続な加速を経験し、質量が停止するまでジャークにはディラック デルタが含まれます。静摩擦力は残留バネ力に適応し、正味の力と速度がゼロの平衡状態を確立します。

ブレーキと減速を行う自動車の例を考えてみましょう。ブレーキ パッドは、車輪のディスク(またはドラム)に運動摩擦力と一定のブレーキトルクを発生させます。回転速度は一定の角減速で直線的に 0 まで減少します。摩擦力、トルク、自動車の減速が突然 0 に達し、これは物理的なジャークにおけるディラック デルタを示します。ディラック デルタは実際の環境によって平滑化され、その累積的な影響は生理学的に知覚されるジャークの減衰に類似しています。この例では、タイヤの滑り、サスペンションの沈み込み、すべての理想的な剛性メカニズムの実際のたわみなどの影響は無視しています。

最初の例に類似した、大きなジャークのもう 1 つの例は、端に粒子が付いたロープを切断することです。粒子が、求心加速度がゼロでない円軌道で振動していると仮定します。ロープが切断されると、粒子の軌道は突然直線軌道に変わり、内側方向の力は突然ゼロになります。レーザーで切断された単分子繊維を想像してください。切断時間が非常に短いため、粒子は非常に高いジャーク率を経験するでしょう。

慣性座標系で固定軸を中心に回転する剛体を考えます。時間の関数としての角度位置がθ ( t )である場合、角速度、加速度、ジャークは次のように表すことができます。

• 角速度 ω ( t ) = θ ˙ ( t ) = d θ ( t ) d t {\displaystyle \omega (t)={\dot {\theta }}(t)={\frac {\mathrm {d} \theta (t)}{\mathrm {d} t}}} は θ ( t )の時間微分です。
• 角加速度、 α ( t ) = ω ˙ ( t ) = d ω ( t ) d t {\displaystyle \alpha (t)={\dot {\omega }}(t)={\frac {\mathrm {d} \omega (t)}{\mathrm {d} t}}} は 、 ω ( t )の時間微分です。
• 角加速度はα ( t )の時間微分です。${\displaystyle \zeta (t)={\dot {\alpha }}(t)={\ddot {\omega }}(t)={\overset {...}{\theta }}(t)}$

角加速度は、物体に作用するトルクを、瞬間的な回転軸に対する 物体の慣性モーメントで割った値に等しくなります。トルクの変化は、角加速度をもたらします。

回転する剛体の一般的なケースは、 1つの軸ベクトル、角速度Ω ( t )と1つの極ベクトル、線速度v ( t )を含む運動学的ねじ理論を使用してモデル化できます。これにより、角加速度は次のように定義されます。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}(t)={\dot {\boldsymbol {\omega }}}(t)}$$

そして、角加速度は次のように表される。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\alpha }}(t)={\dot {\boldsymbol {\alpha }}}(t)={\ddot {\boldsymbol {\omega }}}(t)}$$

角加速度を3次元の角加速度#粒子からとると 、 $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {d{\boldsymbol {\alpha }}}{dt}}={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {a} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {a} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)\\\\+{\frac {2}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\end{aligned}}}$$

を置き換えると、最後の項目は となり 、最終的に ${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}&=-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}\right)\\\\&=-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)+{\frac {4}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {j} }{r^{2}}}+{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {4}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)+{\frac {6}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

またはその逆の場合は、次のように置き換えます。 ${\displaystyle \left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} \right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {j} }{r^{2}}}+{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {4}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\alpha }}-{\frac {2}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}{\boldsymbol {\omega }}-{\frac {2}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}}$$

たとえば、ジュネーブ駆動装置について考えてみましょう。これは、駆動輪 (アニメーションの赤い車輪) を連続的に回転させることによって、従動輪 (アニメーションの青い車輪) を断続的に回転させる装置です。駆動輪の 1 サイクル中に、従動輪の角度位置θは 90 度変化し、その後一定のままになります。駆動輪のフォーク (駆動ピンのスロット) の厚さは有限であるため、この装置では、角加速度αに不連続性が生じ、従動輪に 無制限の角加速度ζ が生じます。

ジャークは、ジュネーブ ドライブが映画映写機やカムなどのアプリケーションで使用されることを妨げるものではありません。映画映写機では、フィルムはフレームごとに送られますが、フィルム負荷が低い (数グラムのフィルムの小さな部分のみが駆動されます)、速度が中程度 (2.4 m/s)、摩擦が低いため、映写機の動作はノイズが少なく、信頼性が高くなります。

カム駆動システム では、デュアル カムを使用すると、シングル カムのジャークを回避できますが、デュアル カムはかさばり、高価です。デュアル カム システムでは、1 つの車軸に 2 つのカムがあり、2 番目の車軸を 1 回転の何分の 1 かだけシフトします。図は、駆動車軸の 1 回転につき 1/6 回転と 1/3 回転のステップ ドライブを示しています。ステップ ホイールの 2 つのアームは常にダブル カムと接触しているため、ラジアル クリアランスはありません。一般に、複合接触を使用すると、シングル フォロワに関連するジャーク (および摩耗とノイズ) を回避できます (たとえば、1 つのフォロワがスロットに沿って滑り、接触点がスロットの片側からもう一方の側に変更される場合は、同じスロットに沿って 2 つのフォロワを片側ずつスライドさせることで回避できます)。

弾性変形可能な質量は、加えられた力（または加速度）によって変形します。変形は、その剛性と力の大きさの関数です。力の変化が遅い場合、ジャークは小さく、変形の伝播は加速度の変化に比べて瞬間的であると考えられます。歪んだ物体は、準静的状態にあるかのように動作し、変化する力（非ゼロのジャーク）のみが機械波（または荷電粒子の場合は電磁波）の伝播を引き起こします。したがって、非ゼロから高ジャークの場合、衝撃波と物体を介したその伝播を考慮する必要があります。

変形の伝播は、弾性変形可能な材料を通る圧縮平面波として、図「圧縮波パターン」に示されています。また、角加速度については、せん断応力やその他の振動モードを引き起こす可能性のある円形パターンで伝播する変形波も示されています。境界に沿った波の反射により、建設的な干渉パターン(図には示されていません) が発生し、材料の限界を超える応力が発生します。変形波は振動を引き起こす可能性があり、特に共振の場合は、騒音、摩耗、故障につながる可能性があります。

「巨大な上部を持つポール」というキャプションの付いた図は、弾性ポールと巨大な上部に接続されたブロックを示しています。ブロックが加速するとポールが曲がり、加速が止まると、上部はポールの剛性の領域で振動 (減衰) します。小さな振動は衝撃波によって強化される前に減衰されるため、より大きな (周期的な) ジャークによって大きな振幅の振動が励起される可能性があると主張することもできます。また、衝撃波の大きな波の成分はより高い周波数とフーリエ係数を持つため、ジャークが大きいほど共振モードを励起する確率が高くなると主張することもできます。

励起された応力波と振動の振幅を減らすには、動きを形作り、できるだけ傾斜を平坦にして加速度を連続させることでジャークを制限できます。抽象モデルの制限により、振動を減らすアルゴリズムには、ジャウンスなどの高次の導関数が含まれるか、加速度とジャークの両方に連続的なレジームが提案されます。ジャークを制限するための 1 つの概念は、間にゼロ加速度がある正弦波状に加速と減速を形成し (「正弦波加速プロファイル」という図を参照)、速度が一定の最大速度で正弦波のように見えるようにすることです。ただし、ジャークは、加速度がゼロ フェーズに入る点とゼロ フェーズから出る点で不連続のままになります。

道路や線路は、曲率の変化によって生じるジャーク（加速度）を制限するように設計されています。高速鉄道の設計基準は、0.2 m/s ³から0.6 m/s ³の範囲です。^[4] 線路の遷移曲線は、直線から曲線へ、またはその逆へ遷移する際のジャーク（加速度）を制限します。円弧に沿った一定速度の動きでは、加速度は接線方向ではゼロで、内向きの法線方向ではゼロではないことを思い出してください。遷移曲線は徐々に曲率を増加させ、その結果、求心加速度が増加します。

理論的に最適な遷移曲線であるオイラー螺旋は、求心加速度を直線的に増加させ、一定のジャークをもたらします（図を参照）。実際のアプリケーションでは、線路の平面は曲線部分に沿って傾斜しています（カント）。傾斜により垂直方向の加速が発生しますが、これは線路と盛土の摩耗を考慮した設計上の考慮事項です。ウィーン曲線は、この摩耗を最小限に抑えるように設計された特許取得済みの曲線です。^{[5] [6]}

ジェットコースター^[2]も、ジャーク（急激な動き）を制限するために軌道遷移が設計されています。ループに入ると、加速度は約4g （ 40m/s2 ^）に達することがありますが、このような高加速度環境での乗車は軌道遷移によってのみ可能になります。8の字カーブなどのS字カーブでも、スムーズな乗り心地のために軌道遷移が使用されています。

モーション コントロールでは、設計の焦点は直線的な線形運動にあり、システムを 1 つの安定した位置から別の位置 (ポイントツーポイント運動) に移動させる必要があります。ジャークの観点から見た設計上の懸念は垂直ジャークです。直線運動は回転運動ではないため、接線方向の加速によるジャークは実質的にゼロです。

動作制御の用途には、乗客用エレベーターや工作機械などがあります。エレベーターの乗り心地を良くするためには、垂直ジャークを制限することが不可欠だと考えられています。^[7] ISO 8100-34 ^{[8] は}、ジャーク、加速度、振動、騒音に関するエレベーターの乗り心地の測定方法を規定していますが、この規格では乗り心地の許容レベルや許容できないレベルは規定していません。ほとんどの乗客は、垂直ジャークが 2 m/s ³の場合は許容範囲、6 m/s ^{3 の場合は許容できないと評価すると報告されています[9]}。病院の場合、0.7 m/s ³が推奨される制限値です。

モーション コントロールの主な設計目標は、速度、加速度、またはジャークの制限を超えずに遷移時間を最小限に抑えることです。速度の 2 次ランプおよびデランプ フェーズを持つ 3 次モーション コントロール プロファイルを検討してください (図を参照)。

このモーション プロファイルは、次の 7 つのセグメントで構成されます。

1. 加速の立ち上がり - 正のジャーク限界、正の加速限界までの加速度の直線的増加、速度の二次的増加
2. 加速上限 - ゼロジャーク、速度の直線的増加
3. 加速の減少 - 負のジャーク制限、加速度の線形減少、速度の（負の）二次増加、目的の速度制限に近づく
4. 速度制限 - ゼロジャーク、ゼロ加速
5. 減速の増大 - 負のジャーク限界、負の加速限界までの加速度の直線的減少、速度の（負の）二次的減少
6. 減速下限値 - ゼロジャーク、速度の直線的減少
7. 減速ランプダウン - 正のジャーク制限、加速度がゼロまで直線的に増加、速度が二次的に減少、速度と加速度がゼロで目的の位置に近づく

セグメント 4 の時間周期 (一定速度) は、2 つの位置間の距離に応じて変化します。この距離が短すぎてセグメント 4 を省略しても不十分な場合は、セグメント 2 と 6 (一定加速度) を均等に短縮しても一定速度の制限には達しません。この変更で交差距離が十分に短縮されない場合は、セグメント 1、3、5、7 を均等に短縮しても一定加速度の制限には達しません。

他の動作プロファイル戦略としては、与えられた遷移時間に対するジャークの二乗を最小化する^[10]や、上で説明したように正弦波状の加速プロファイルなどが使用される。動作プロファイルは、機械、ピープルムーバー、チェーンホイスト、自動車、ロボットなどの特定のアプリケーションに合わせて調整される。

ジャークは製造工程において重要な考慮事項です。切削工具の加速度が急激に変化すると、工具が早期に摩耗し、切削が不均一になる可能性があります。そのため、最新のモーションコントローラにはジャーク制限機能が含まれています。機械工学では、速度と加速度に加えて、摩擦学的な意味合いと、作動体がチャタリングなしでカム プロファイルに追従する能力のため、ジャークがカム プロファイルの開発で考慮されます。^[11] ジャークは、振動が懸念される場合によく考慮されます。ジャークを測定するデバイスは「ジャーク メーター」と呼ばれます。

さらに、時間微分には、スナップ音やジャウンス音（4次微分）、パチパチ音（5次微分）、ポップ音（6次微分）などの名前が付けられている。7次微分は、サイクルの論理的継続であるため、「バン」と呼ばれている。8次微分は「ブーム」と呼ばれ、9次微分は「クラッシュ」と呼ばれている。^{[12] [13]}ただし、4次以上の位置の時間微分はめったに現れない。^[14]

snap、crackle、popという用語は、位置の4番目、5番目、6番目の導関数を表し、広告マスコットのSnap、Crackle、Popに触発されました。^[13]

• 地磁気ジャーク
• 衝撃（力学）
• ヤンク

• Sprott JC (2003)。カオスと時系列分析。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850839-5。
• Sprott JC (1997). 「いくつかの単純なカオス的ジャーク関数」(PDF) . Am J Phys . 65 (6): 537–43. Bibcode :1997AmJPh..65..537S. doi :10.1119/1.18585. 2010-06-13 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2009-09-28に取得。
• Blair G (2005)。「カムの製作」(PDF)。レースエンジンテクノロジー(10)。2008年5月15日にオリジナルからアーカイブ(PDF) 。 2009年9月29日閲覧。

• 位置の 3 次導関数に使用される用語は何ですか? Archived 2016-11-30 at the Wayback Machine、Usenet Physics FAQ の jerk の説明 Archived 2011-06-23 at the Wayback Machine
• モーションコントロールプロファイルの数学 2020-10-02 にWayback Machineでアーカイブされました
• エレベーターの乗り心地 アーカイブ 2022-03-28ウェイバックマシン
• エレベーターメーカーのパンフレット
• ウィーン曲線の特許
• (ドイツ語)ウィーン曲線の説明