機械的利点

機械的利点は、ツール、機械装置、または機械システムを使用することで達成される力の増幅の尺度です。装置は、出力力の望ましい増幅を得るために、入力の力と動きをトレードオフします。これをモデル化するのがてこの法則です。 このように力と動きを管理するように設計された機械部品は、メカニズムと呼ばれます。^[1] 理想的なメカニズムは、力を増減することなく伝達します。つまり、理想的な機械には動力源がなく、摩擦がなく、たわんだり摩耗したりしない剛体で作られています。この理想に対する実際のシステムのパフォーマンスは、理想からの逸脱を考慮した効率係数で表現されます。

てこは、固定点に取り付けられた支点、または固定点を横切る支点を中心に回転する可動バーです。てこは、支点またはピボットから異なる距離に力を加えることによって動作します。支点の位置によって、てこのクラスが決まります。てこが連続的に回転する場合、回転式 2 級てことして機能します。てこの終点の動きは、機械エネルギーを交換できる固定軌道を描きます (例として、手回しハンドルを参照)。

現代では、この種の回転てこは広く使用されています。(回転式)第 2 種てこ、機械式動力伝達方式で使用される歯車、滑車、または摩擦駆動を参照してください。機械的利点は、複数の歯車 (歯車セット) を使用して「折りたたまれた」形で操作されるのが一般的です。このような歯車セットでは、半径が小さく、固有の機械的利点が少ない歯車が使用されます。折りたたまれていない機械的利点を利用するには、「真の長さ」の回転てこを使用する必要があります。また、特定の種類の電気モーターの設計に機械的利点を組み込むことも参照してください。1 つの設計は「アウトランナー」です。

レバーが支点を中心に回転すると、支点から遠い点の方が支点に近い点よりも速く動きます。レバーに入力される力と出力される力は同じなので、計算を行う際には同じ結果にならなければなりません。出力は力と速度の積なので、支点から遠い点にかかる力は、支点に近い点にかかる力よりも小さくなければなりません。^[1]

aとbが支点から点Aと点Bまでの距離であり、Aに作用する力F _Aが入力力、Bに作用する力F _Bが出力力である場合、点Aと点Bの速度の比はa / bで与えられるため、出力力と入力力の比、つまり機械的利点は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{b}}{F_{a}}}={\frac {a}{b}}.}$$

これは、アルキメデスが幾何学的推論を用いて定式化したてこの法則です。^{[2] て}この法則は、支点から入力力が加えられる場所 (点A ) までの距離aが、支点から出力力が加えられる場所 (点B ) までの距離bより大きい場合、てこの法則は入力力を増幅することを示しています。支点から入力力までの距離が、支点から出力力までの距離より小さい場合、てこの法則は入力力を低減します。てこの法則の深い意味と実用性を認識していたアルキメデスは、「私に立つ場所を与えてください。そしててこの力で世界中を動かしましょう」という有名な主張を残しました。^[3]

てこの静的解析における速度の使用は、仮想仕事の原理の応用です。

理想的なメカニズムへの入力電力が出力電力と等しくなるようにするという要件により、システムの入力と出力の速度比から機械的利点を簡単に計算できるようになります。

角速度ω _Aで回転する駆動プーリにトルクT _Aが加えられた場合のギアトレインへの入力電力は、P = T _A ω _Aです。

動力の流れは一定なので、出力ギアの トルクT _Bと角速度ω _{Bは次の関係を満たす必要がある。}

${\displaystyle P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!}$

その結果

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.}$

これは、理想的なメカニズムの場合、入力と出力の速度比がシステムの機械的利点に等しいことを示しています。これは、ロボットからリンク機構に至るまで、すべての機械システムに当てはまります。

歯車の歯は、歯車の歯の数がピッチ円の半径に比例し、かみ合う歯車のピッチ円が滑ることなく互いに転がるように設計されています。かみ合う歯車のペアの速度比は、ピッチ円の半径の比と各歯車の歯の数の比、つまり歯車比から計算できます。

ピッチ円上の接触点の 速度vは両方の歯車で同じであり、次のように表される。

${\displaystyle v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!}$

ここで入力ギアAは半径r _Aを持ち、出力ギアBの半径r _Bとかみ合う ので 、

${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

ここで、N _Aは入力ギアの歯の数、N _Bは出力ギアの歯の数です。

入力ギアがN _A歯、出力ギアがN _B歯の噛み合うギアの機械的利得は 次のように表される。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

これは、出力ギアG _Bの歯数が入力ギアG _Aよりも多い場合、ギア トレインが入力トルクを増幅することを示しています。また、出力ギアの歯数が入力ギアより少ない場合、ギア トレインは入力トルクを減らします。

ギアトレインの出力ギアが入力ギアよりも遅く回転する場合、ギアトレインは減速機（力倍増器）と呼ばれます。この場合、出力ギアは入力ギアよりも多くの歯を持つ必要があるため、減速機は入力トルクを増幅します。

チェーンで接続された 2 つのスプロケット、またはベルトで接続された 2 つのプーリで構成される機構は、動力伝達システムに特定の機械的利点を提供するように設計されています。

チェーンまたはベルトの 速度v は、2 つのスプロケットまたはプーリと接触しているときは同じです。

${\displaystyle v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!}$

ここで、入力スプロケットまたはプーリAはピッチ半径r _Aに沿ってチェーンまたはベルトとかみ合い、出力スプロケットまたはプーリBはピッチ半径r _Bに沿ってこのチェーンまたはベルトとかみ合う。

したがって

${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

ここで、N _Aは入力スプロケットの歯の数、N _{B は}出力スプロケットの歯の数です。歯付きベルト駆動の場合、スプロケットの歯の数を使用できます。摩擦ベルト駆動の場合、入力プーリと出力プーリのピッチ半径を使用する必要があります。

入力スプロケットの歯数がN _Aで 出力スプロケットの歯数がN _Bのチェーン駆動または歯付きベルト駆動の機械的利点は 次のように表される。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.}$

摩擦ベルト駆動の機械的利点は次のように表される。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}.}$

チェーンとベルトは摩擦、伸び、摩耗によって動力を消散します。つまり、実際の出力は動力入力よりも少なく、実際のシステムの機械的利点は理想的なメカニズムで計算された機械的利点よりも少なくなります。チェーンまたはベルト駆動は、摩擦熱、変形、摩耗によってシステム全体の動力の 5% を失う可能性があり、その場合、駆動の効率は 95% になります。

7インチ（半径）のクランクと26インチ（直径）のホイールを備えた18段変速の自転車を考えてみましょう。クランクと後輪のスプロケットが同じサイズであれば、タイヤの出力とペダルの入力の比率はてこの法則から次のように計算できます。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {7}{13}}=0.54.}$

ここで、フロントスプロケットの歯数は28と52、リアスプロケットの歯数は16と32であると仮定します。さまざまな組み合わせを使用して、フロントスプロケットとリアスプロケットの速度比を次のように計算できます。

自転車を動かす力とペダルにかかる力の比率、つまり自転車の総合的な機械的利点は、速度比（または出力スプロケット/入力スプロケットの歯の比率）とクランクホイールのレバー比の積です。

いずれの場合も、ペダルにかかる力は自転車を前進させる力よりも大きいことに注意してください (上の図では、地面に対する対応する後方向きの反力が示されています)。

ブロックアンドタックルは、荷物を持ち上げるために使用されるロープと滑車の集合体です。いくつかの滑車がブロックを形成するために組み立てられており、1つは固定され、もう1つは荷物とともに動きます。ロープは滑車に通され、ロープに加わる力を増幅する機械的利点を提供します。^[4]

ブロックとタックルのシステムの機械的利点を判断するには、1 つの固定滑車と 1 つの可動滑車を備えた単純なガンタックルのケースを検討します。ロープは固定ブロックに巻き付けられ、可動ブロックまで下がって滑車に巻き付けられ、再び引き上げられて固定ブロックに結び付けられます。

固定ブロックの車軸からロープの端までの距離をSとします。これは入力力が適用されるAです。固定ブロックの車軸から移動ブロックの車軸までの距離をRとします。これは荷重が適用される Bです。

ロープの全長Lは次のように表される。

${\displaystyle L=2R+S+K,\!}$

ここで、K は滑車を通過するロープの一定の長さであり、ブロックとタックルが動いても変化しません。

点Aと点_Bの速度V _AとV Bはロープの長さが一定であることに関連しており、

${\displaystyle {\dot {L}}=2{\dot {R}}+{\dot {S}}=0,}$

または

${\displaystyle {\dot {S}}=-2{\dot {R}}.}$

負の符号は、荷重の速度が加えられた力の速度と反対であることを示しており、つまり、ロープを下に引っ張ると荷重が上に移動することを意味します。

V _Aを正の下向き、V _{B を}正の上向きとすると、この関係は速度比として表すことができます。

${\displaystyle {\frac {V_{A}}{V_{B}}}={\frac {\dot {S}}{-{\dot {R}}}}=2,}$

ここで、2 は移動ブロックを支えるロープセクションの数です。

F _{A を}ロープの端Aに適用される入力力とし、 F _{B を}移動ブロックのBにおける力とします。速度と同様に、 F _Aは下向き、F _{B は}上向きです。

理想的な滑車と滑車システムでは、滑車に摩擦がなく、ロープにたわみや摩耗がないため、加えられた力F _A V _{Aによる入力電力は、荷重}F _B V _Bに作用する出力と等しくなければなりません。つまり、

${\displaystyle F_{A}V_{A}=F_{B}V_{B}.\!}$

出力力と入力力の比は理想的なガンタックルシステムの機械的利点であり、

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=2.\!}$

この解析は、 n本のロープセクション によって支えられた移動ブロックを備えた理想的なブロックとタックルに一般化される。

${\displaystyle {\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=n.\!}$

これは、理想的なブロックとタックルによって及ぼされる力が入力力のn倍であることを示しています。ここで、 nは移動するブロックを支えるロープのセクションの数です。

機械のたわみ、摩擦、摩耗による動力損失がないという仮定に基づいて計算される機械的利点は、達成可能な最大のパフォーマンスです。このため、これは理想的な機械的利点 (IMA) と呼ばれることがよくあります。動作中は、たわみ、摩擦、摩耗により機械的利点が減少します。理想的な機械的利点(AMA) から実際の機械的利点(AMA)へのこの減少量は、実験によって決定される量である 効率と呼ばれる係数によって定義されます。

例えば、6つのロープセクションと1つのブロックとタックルを使用すると、600ポンドの負荷の場合、理想的なシステムのオペレーターはロープを6フィート引っ張り、 1フィートの荷物を持ち上げるには100 ポンド_{Fの力が必要です。F out} / F _inとV _in / V _outの比率はどちらもIMAが6であることを示しています。最初の比率では、100  lb _F の力を入力すると、600  lb _F の力が出ます。実際のシステムでは、プーリーの摩擦により、力は 600 ポンド未満になります。2 番目の比率でも、理想的なケースでは MA は 6 になりますが、実際のシナリオではより小さな値になります。ロープの伸びなどのエネルギー損失が適切に考慮されていないためです。IMA からこれらの損失を差し引くか、最初の比率を使用すると、AMA が得られます。

理想的な機械的利点(IMA)、または理論的な機械的利点は、デバイスのコンポーネントが曲がらず、摩擦がなく、摩耗がないという仮定に基づくデバイスの機械的利点です。これはデバイスの物理的寸法を使用して計算され、デバイスが達成できる最大のパフォーマンスを定義します。

理想的な機械の仮定は、機械がエネルギーを蓄積したり散逸させたりしないという要件に等しい。したがって、機械に入る電力は出力される電力に等しい。したがって、電力Pは機械を通して一定であり、機械に入る力と速度の積は、機械から出る力と速度の積に等しい。つまり、

${\displaystyle P=F_{\text{in}}v_{\text{in}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}.}$

理想的な機械的利点は、機械から出る力（負荷）と機械に入る力（努力）の比、つまり

${\displaystyle {\mathit {IMA}}={\frac {F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}}}.}$

一定の出力関係を適用すると、速度比の観点からこの理想的な機械的利点を表す式が得られます。

${\displaystyle {\mathit {IMA}}={\frac {F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}}}={\frac {v_{\text{in}}}{v_{\text{out}}}}.}$

機械の速度比は、その物理的な寸法から計算できます。したがって、一定の出力を仮定すると、速度比を使用して機械的利点の最大値を決定することができます。

実際の機械的利点( AMA) は、入力力と出力力を物理的に測定して決定される機械的利点です。実際の機械的利点は、たわみ、摩擦、摩耗によるエネルギー損失を考慮に入れます。

機械のAMAは、測定された力の出力と測定された力の入力の比として計算されます。

${\displaystyle {\mathit {AMA}}={\frac {F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}}},}$

ここで、入力力と出力力は実験的に決定されます。

実験的に決定された機械的利点と理想的な機械的利点の比が機械の 機械効率ηである。

${\displaystyle \eta ={\frac {\mathit {AMA}}{\mathit {IMA}}}.}$

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• フィッシャー、レン（2003）『ドーナツをダンクする方法：日常生活の科学』アーケード出版、ISBN 978-1-55970-680-3。
• 米国海軍人事局（1971年）「基本的な機械とその仕組み（1994年改訂版）」、Courier Dover Publications、ISBN 978-0-486-21709-3。

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