補題集

『補題の書』（アラビア語：Maʾkhūdhāt Mansūba ilā Arshimīdis ）は、タービト・イブン・クルラによってアルキメデスの著作とされているが、その著者が誰であるかは疑わしい。この本は円に関する15の命題（補題）から構成されている。^[1]

『補題集』は、タビット・イブン・クルラによって初めてア​​ラビア語で紹介され、彼はアルキメデスの著作としました。アラビア語からラテン語へのジョン・グリーブスの翻訳は、サミュエル・フォスター（1650年頃）によって改訂され、1659年に『レマタ・アルキメデス』として出版されました。アブラハム・エッケレンシスによる別のラテン語訳は、ジョヴァンニ・A・ボレッリによって編集され、1661年に『リベル・アサンプトルム』という名前で出版されました。^[2] T・L・ヒースはハイバーグのラテン語作品を英語に翻訳し、『アルキメデスの全集』を出版しました。^{[3] [4]}タビット・イブン・クルラのアラビア語訳の最近発見された写本は、2018年にエムレ・コシュクンによって英語に翻訳されました。^[5]

『補題集』の原著者が誰なのかは疑問視されてきた。なぜなら、命題4ではアルキメデスを三人称で言及しているからである。しかし、これは翻訳者によって付け加えられた可能性もあると示唆されている。^{[6]もう1つの可能性は、『}補題集』はアルキメデスの命題集であり、後にギリシャの作家によって集められたものであるというものである。 ^[1]

『補題集』ではいくつかの新しい幾何学図形が紹介されています。

アルキメデスは、著書の第 4 命題で初めてアルベロス (靴屋のナイフ) を紹介しました。

AB を半円の直径、N を AB 上の任意の点とすると、最初の半円内に半円が描かれ、それぞれ AN、BN を直径とすると、3 つの半円の円周間に含まれる図形は「アルキメデスが αρβηλος と呼んだもの」となり、その面積は PN 上の円の直径に等しくなります。ここで PN は AB に垂直で、P 内の元の半円と交わります。^[1]

この図は命題 4 から 8 で使用されています。命題 5 では、アルキメデスはアルキメデスの双子円を導入し、命題 8 では、アレクサンドリアのパップスによって正式に導入されたパップス連鎖を使用します。

アルキメデスは著書の第 14 の命題で 初めてサリノン (塩入れ) を導入しました。

ACB を AB 上の直径としての半円とし、AD、BE をそれぞれ A、B から AB に沿って測った等しい長さとします。AD、BE 上の直径は C に向かう側に半円を描き、DE 上の直径は反対側の半円を描きます。最初の半円の中心である O を通る AB への垂線は、それぞれ C、F の反対側の半円と交わります。すると、すべての半円の円周で囲まれた図形の面積は、CF 上の直径としての円の面積に等しくなります。^[1]

アルキメデスは、円とサリノンの面積が等しいことを証明しました。

1. 2 つの円が A で接し、CD、EF がそれらの円の平行直径である場合、ADF は直線になります。
2. AB を半円の直径とし、半円の B での接線と半円上の他の任意の点 D での接線が T で交わるとします。ここで DE を AB に垂直に描き、AT と DE が F で交わる場合、DF = FE となります。
3. P を底辺が AB である円の線分上の任意の点とし、PN を AB に垂直にします。AB 上に D をとり、AN = ND とします。ここで PQ が円弧 PA に等しい円弧であり、BQ が結合されている場合、BQ と BD は等しくなります。
4. AB が半円の直径で、N が AB 上の任意の点である場合、最初の半円内に半円が描かれ、それぞれ AN、BN が直径である場合、3 つの半円の円周間に含まれる図形は「アルキメデスが αρβηλος と呼んだもの」であり、その面積は PN 上の円の直径に等しくなります。ここで、PN は AB に垂直で、P 内の元の半円と交わります。
5. AB を半円の直径、C を AB 上の任意の点、CD をそれに垂直な点とし、最初の半円内に AC、CB を直径とする半円を描くとします。次に、異なる辺で CD に接し、それぞれが 2 つの半円に接する 2 つの円を描くと、そのようにして描かれた円は等しくなります。
6. 半円の直径 AB を C で分割し、AC = 3/2 × CB [または任意の比率] とします。最初の半円内および AC、CB 上の半円を直径として記述し、3 つの半円すべてに接する円を描きます。この円の直径を GH とすると、GH と AB の関係がわかります。
7. 円が正方形に外接し、また正方形に内接する場合、外接円は内接する正方形の 2 倍になります。
8. AB が中心 O の円の任意の弦であり、AB が C まで延長されて BC が半径に等しくなる場合、さらに CO が D で円と交わり、E で 2 度目に円と交わるように延長されると、円弧 AE は円弧 BD の 3 倍に等しくなります。
9. 円内で、中心を通らない 2 本の弦 AB、CD が直角に交差する場合、(弧 AD) + (弧 CB) = (弧 AC) + (弧 DB) となります。
10. TA、TB が円の 2 つの接線であり、TC が円を切断するとします。BD を B を通って TC に平行な弦とし、AD が E で TC と交わるとします。次に、EH を BD に垂直に描くと、H で BD を二等分します。
11. 円内の 2 本の弦 AB、CD が中心ではなく点 O で直角に交差する場合、AO ² + BO ² + CO ² + DO ² = (直径) ^{2 と}なります。
12. AB が半円の直径で、TP、TQ が任意の点 T から半円に引かれる接線であり、AQ、BP が R で交わる場合、TR は AB に垂直です。
13. 円の直径 AB が E で直径ではなく任意の弦 CD と交わり、AM、BN が CD に垂直に描かれている場合、CN = DM となります。
14. ACB を AB 上の直径の半円とし、AD、BE をそれぞれ A、B から AB に沿って測った等しい長さとします。AD、BE 上の直径は C に向かう側に半円を描き、DE 上の直径は反対側の半円を描きます。最初の半円の中心である O を通る AB への垂線が、それぞれ C、F の反対側の半円と交わるとします。すると、すべての半円の円周で囲まれた図形の面積は、CF 上の直径の円の面積に等しくなります。
15. ABを円の直径、ACを内接正五角形の辺、DをACの円弧の中点とします。CDを結んでEで作ったBAと交わるようにします。ACとFで交わるDBを結び、ABに垂直なFMを描きます。するとEM = (円の半径)となります。^[1]