パラボラ反射鏡

放物面（または放物面体、放物面状）反射鏡（皿、鏡）は、光、音、電波などのエネルギーを収集または投射するために使用される反射面です。その形状は円形放物面、つまり軸の周りを回転する放物面によって生成される面の一部です。放物面反射鏡は、軸に沿って伝わる平面波を、焦点に向かって収束する球面波に変換します。逆に、焦点に配置された点光源によって生成された球面波は、軸に沿って 平行ビームとして伝搬する平面波に反射されます。

パラボラ反射鏡は、遠くにある音源（例えば、音波や入ってくる星の光）からエネルギーを集めるのに使われます。反射の原理は可逆的なので、パラボラ反射鏡は等方性源からの放射を平行ビームにコリメートするのにも使えます。^[1]光学 では、パラボラ鏡は反射望遠鏡や太陽炉で光を集めたり、懐中電灯、サーチライト、舞台のスポットライト、車のヘッドライトで光線を投射したりするのにも使われます。無線では、パラボラアンテナは衛星放送受信アンテナやマイクロ波中継局でポイントツーポイント通信のために狭い電波ビームを放射したり、レーダー装置で航空機、船舶、車両の位置を特定したりするのにも使われます。音響学では、パラボラマイクはスポーツ中継で鳥の鳴き声などの遠くの音を録音したり、スパイ活動や法執行機関で私的な会話を盗聴したりするのにも使われます。

厳密に言えば、反射鏡の 3 次元形状は放物面と呼ばれます。放物線は 2 次元図形です。(球と円の区別に似ています。) ただし、非公式の言語では、paraboloidやparaboloidalの代わりに、parabola という単語とその関連形容詞parabolic がよく使用されます。

放物線が、頂点を原点とし、対称軸を y 軸に沿って配置され、放物線が上向きに開いている場合、その方程式は となり、 は焦点距離です。(「放物線#直交座標系」を参照してください。) 同様に、対称放物面皿の寸法は、次の方程式で関連しています。は焦点距離、は皿の深さ(頂点から縁の平面までの対称軸に沿って測定)、 は皿の中心からの半径です。半径、焦点、深さに使用する単位はすべて同じでなければなりません。これら 3 つの量のうち 2 つがわかっている場合は、この方程式を使用して 3 つ目の量を計算できます。 ${\textstyle 4fy=x^{2}}$${\textstyle f}$${\textstyle 4FD=R^{2}}$${\textstyle F}$${\textstyle D}$${\textstyle R}$

皿の表面に沿って測定された直径を求めるには、より複雑な計算が必要です。これは「線径」と呼ばれることもあり、皿を作るために切断して曲げるのに適したサイズの平らな円形のシート材料（通常は金属）の直径に等しくなります。計算では、2 つの中間結果（または同等のもの：）とが役立ちます。ここで、F 、 D 、およびR は上記のように定義されます。表面に沿って測定された皿の直径は、 で与えられます。ここで、はxの自然対数、つまり底が「 e 」の対数です。 ${\textstyle P=2F}$${\textstyle P={\frac {R^{2}}{2D}}}$${\textstyle Q={\sqrt {P^{2}+R^{2}}}}$${\textstyle {\frac {RQ}{P}}+P\ln \left({\frac {R+Q}{P}}\right)}$${\textstyle \ln(x)}$

反射皿の体積は で与えられます。ここで、記号は上記のように定義されています。これは、円柱、半球、円錐の体積の公式と比較できます。円錐は反射皿の開口部面積、つまり縁に囲まれた面積で、反射皿が遮ることができる太陽光の量に比例します。反射皿の凹面の面積は、回転面の面積公式を使用して求められます。この場合、 となります。焦点にある光源から反射皿に反射される光の割合は で与えられます。 ここで、 と は上記のように定義されています。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\pi R^{2}D,}$ ${\textstyle (\pi R^{2}D),}$ ${\textstyle ({\frac {2}{3}}\pi R^{2}D,}$${\textstyle D=R),}$ ${\textstyle ({\frac {1}{3}}\pi R^{2}D).}$ ${\textstyle \pi R^{2}}$${\textstyle A={\frac {\pi R}{6D^{2}}}\left((R^{2}+4D^{2})^{3/2}-R^{3}\right)}$${\textstyle D\neq 0}$${\textstyle 1-{\frac {\arctan {\frac {R}{D-F}}}{\pi }}}$${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle D,}$${\displaystyle R}$

パラボラ反射鏡は、放物面形状の幾何学的特性に基づいて機能します。つまり、皿の軸に平行な入射光線はすべて、中心点、つまり「焦点」に反射されます。(幾何学的証明については、ここをクリックしてください。) このように多くの種類のエネルギーを反射できるため、放物面反射鏡を使用して、特定の角度で反射鏡に入るエネルギーを収集して集中させることができます。同様に、焦点から皿に放射されるエネルギーは、皿の軸に平行なビームで外側に伝達されます。

球面反射鏡は、ビーム径と焦点距離の比率が大きくなるにつれて球面収差が強くなるのに対し、放物面反射鏡は、任意の幅のビームに対応できます。ただし、入射ビームが軸に対してゼロ以外の角度をなす場合 (または放射点光源が焦点に配置されていない場合)、放物面反射鏡はコマと呼ばれる収差の影響を受けます。これは主に望遠鏡で重要であり、他のほとんどの用途では放物面の軸から外れた鮮明な解像度は必要ないためです。

エネルギーをうまく集中させるためにパラボラアンテナをどの程度の精度で作らなければならないかは、エネルギーの波長によって異なります。アンテナが 1/4 波長ずれていると、反射エネルギーは 1/2 波長ずれてしまいます。つまり、アンテナの別の部分から正しく反射されたエネルギーと干渉して破壊的になってしまいます。これを防ぐには、アンテナを約⁠以内で正確に作らなければなりません。1/20⁠波長の。可視光の波長範囲は約 400 ～ 700 ナノメートル (nm) であるため、すべての可視光を適切に焦点を合わせるには、反射鏡の精度が約 20 nm 以内でなければなりません。比較すると、人間の髪の毛の直径は通常約 50,000 nm であるため、可視光を焦点を合わせる反射鏡に必要な精度は、髪の毛の直径の約 2500 分の 1 です。たとえば、ハッブル宇宙望遠鏡のミラーの欠陥 (周辺部で約 2,200 nm 平坦すぎる) は、COSTARで修正されるまで深刻な球面収差を引き起こしました。^[2]

衛星テレビ信号に使用されるようなマイクロ波の波長は 10 ミリメートル程度なので、これらの波を集束させるアンテナは 0.5 ミリメートル程度の誤差があっても、十分に機能します。

反射皿の重心が焦点と一致すると便利な場合があります。これにより、ターゲットが位置する焦点を固定したまま、空の太陽などの移動する光源に向けることができるように、皿を簡単に回転させることができます。皿は、焦点を通る軸を中心に回転し、その軸を中心にバランスが取れています。皿が対称で、一定の厚さの均一な材料で作られており、F が放物面の焦点距離を表す場合、この「焦点がバランスした」状態は、頂点から皿の縁の平面までの放物面の軸に沿って測定された皿の深さがFの 1.8478 倍である場合に発生します。縁の半径は 2.7187  Fです。^[a]焦点から見た縁の角半径は 72.68 度です。

焦点バランス構成（上記参照）では、反射皿の深さが焦点距離よりも長く、焦点が皿の内側にあることが必要である。これにより、焦点へのアクセスが困難になる可能性がある。代替アプローチの例としては、発明者のヴォルフガング・シェフラーにちなんで名付けられたシェフラー反射鏡が挙げられる。これは放物面鏡で、質量の中心を通る軸を中心に回転するが、これは皿の外側にある焦点とは一致しない。反射鏡が硬い放物面であれば、皿が回転すると焦点が移動する。これを避けるために、反射鏡は柔軟で、回転すると焦点が固定されるように曲がる。理想的には、反射鏡は常に正確に放物面である。実際にはこれを正確に達成することはできないため、シェフラー反射鏡は高精度を必要とする用途には適していない。これは、太陽光を調理鍋に当たる程度に十分に集光する必要があるが、正確な点に集光する必要はないソーラークッキングなどの用途で使用される。 ^[3]

円形放物面は理論上、大きさに制限はありません。実際の反射鏡は、その一部だけを使用します。多くの場合、その一部には、放物面の頂点、つまり曲率が最大で、対称軸が放物面と交差する場所が含まれます。しかし、反射鏡を使用して受信エネルギーを受信機に集中させると、受信機の影が反射鏡の一部である放物面の頂点に落ちるため、反射鏡の一部が無駄になります。頂点と対称軸からオフセットされた放物面の一部から反射鏡を作ることで、これを避けることができます。反射鏡全体がエネルギーを受け取り、それが受信機に集中します。これは、たとえば衛星テレビ受信アンテナや、一部のタイプの天体望遠鏡 (グリーンバンク望遠鏡、ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡など) でよく行われます。

太陽炉やその他の重要でない用途で使用するための正確な軸外反射鏡は、溶融ガラスの容器を回転軸からオフセットした回転炉を使用することで非常に簡単に作ることができます。衛星放送受信アンテナに適した、それほど正確ではない反射鏡を作るには、形状をコンピューターで設計し、複数のアンテナを金属板から打ち抜きます。

中緯度から赤道上空の静止テレビ衛星に向かうオフアクシス反射鏡は、同軸反射鏡よりも傾斜が急です。その結果、アンテナを保持するアームが短くなり、アンテナの下部に雪が積もりにくくなります。

放物面反射鏡の原理は古代から知られており、数学者ディオクレスが著書『鏡の燃焼について』でその原理を説明し、平行光線を一点に集めることを証明した。^{[4]紀元前3世紀の} アルキメデスは、静水力学的平衡の研究の一環として放物面を研究し、^[5]シラクサ包囲戦の際には、反射鏡を使ってローマ艦隊を焼き払ったとされている。^[6] しかし、この主張は2世紀より前の文献には登場せず、ディオクレスは著書でもそのことについて触れていないため、真実ではないと思われる。^[7]放物面鏡と反射鏡は、 13世紀に物理学者ロジャー・ベーコン によっても広範に研究された。 ^[8]ジェームズ・グレゴリーは、1663年の著書『オプティカ・プロモタ』 (1663)で、放物面鏡を備えた反射望遠鏡は、屈折望遠鏡に見られる色収差だけでなく球面収差も補正できると指摘した。彼が考案した設計は「グレゴリアン望遠鏡」と名付けられたが、グレゴリー自身の告白によると、グレゴリーには実用的な技術がなく、実際に製作できる光学技師を見つけることができなかった。^[9]アイザック・ニュートンは放物面鏡の特性を知っていましたが、製作を簡素化するためにニュートン望遠鏡の鏡に球形を選択しました。^[10]灯台でも、ランタンからの光の点をビームにコリメートするために放物面鏡がよく使用されていましたが、19世紀により効率的なフレネルレンズに置き換えられました。1888年、ドイツの物理学者ハインリッヒ・ヘルツが世界初の放物面反射アンテナを製作しました。^[11]

パラボラ反射鏡の最も一般的な現代的な用途は、衛星放送受信アンテナ、反射望遠鏡、電波望遠鏡、パラボラマイクロホン、ソーラークッカー、およびスポットライト、自動車のヘッドライト、PARランプ、LEDハウジングなどの多くの照明装置です。^[13]

オリンピックの聖火は伝統的にギリシャのオリンピアで太陽光を集中させる放物面反射鏡を使って点火され、その後、オリンピックの会場まで運ばれます。放物面反射鏡は、燃えるガラスのさまざまな形状のうちの 1 つです。

パラボラ反射鏡は、錯視を作り出すのによく使われます。これは、向かい合った 2 つのパラボラ鏡で構成され、上部の鏡の中央に開口部があります。物体を下部の鏡に置くと、鏡は開口部に現れる元の物体と実質的に同一のコピーである実像を作り出します。画像の品質は、光学系の精度に依存します。このような錯視の中には、100 万分の 1 インチの許容誤差で製造されるものもあります。

上向きの放物面反射鏡は、水銀などの反射液体を垂直軸の周りで回転させることによって形成できます。これにより、液体鏡望遠鏡が可能になります。同じ技術は、固体反射鏡を作成するために回転炉でも使用されます。

パラボラ反射鏡も無線信号強度を高めるための一般的な代替手段です。単純なものでも3dB以上のゲインが得られると報告されています。 [ ^{14] [15]}

• ジョン・D・クラウス
• 液体鏡望遠鏡、回転によって生成される放物面
• パラボラアンテナ
• パラボリックトラフ
• 太陽炉
• トロイダル反射鏡

• パラボラ反射鏡の Java デモ
• パラボラ反射アンテナ www.antenna-theory.com
• QED によるパラボラミラーのアニメーション
• 平面セグメントを使用して大きな放物面反射鏡を作成する