螺旋について

『螺旋について』（ギリシア語： Περὶ ἑλίκων ）は、紀元前225年頃に書かれたアルキメデスの論文です^{。 [1]特に、アルキメデスはこの本の中で、}円を四角形にしたり、角度を三等分したりするためにアルキメデスの螺旋を使用しました。

アルキメデスは『螺旋』の冒頭でペルシウムのドシテウスに宛てたメッセージでコノンの死を数学への損失として言及している。彼は続けて、「球と円柱について」 (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) と「円錐と回転楕円体について」 (Περὶ κωνοειδέων καὶ)の結果を要約します。 σφαιροειδέων)。彼はOn Spiralsの結果を述べ続けています。

アルキメデスの螺旋は、最初にコノンによって研究され、後にアルキメデスによって『螺旋について』で研究されました。アルキメデスは螺旋のさまざまな接線を見つけることができました。 ^[1]彼は螺旋を次のように定義しています。

一方の端が固定された直線が平面内で一定速度で回転し、開始位置に戻ると、直線が回転すると同時に、固定された端から始まって直線に沿って一定速度で点が動く場合、その点は平面内で螺旋を描く。^[2]

アルキメデスが角度を三等分した方法は次のとおりです。

角ABCを三等分するとします。線分BCを三等分し、BDがBCの3分の1であることを確認します。中心B、半径BDの円を描きます。中心Bの円が点Eで螺旋と交差するとします。角ABEは角ABCの3分の1です。^[3]

円を正方形にするために、アルキメデスは次のような作図法を与えました。

螺旋が 1 回転したときの点を P とします。P の接線が OP に垂直な線を T で切るとします。OT は半径 OP の円の円周の長さです。

アルキメデスは円の測定の第一命題として、円の面積は、その辺の長さが円の半径と円周に等しい直角三角形の面積に等しいことをすでに証明していた。したがって、半径OPの円の面積は、三角形OPTの面積に等しい。^[4]