等式（数学）

恒等式とは、与えられた領域における変数のすべての値に対して真となる等式のことです。^{[ 26 ] [ 27 ]}「方程式」は恒等式を意味することもありますが、多くの場合、方程式が真となる変数空間の部分集合を指定します。例を挙げると、${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1,}$これは各実数に当てはまります${\displaystyle x.}$等式と恒等式、または等号関係の他の使用法を区別する標準的な表記法はありません。式の意味と文脈から適切な解釈を推測する必要があります。^{[ 28 ]}恒等式は、常にではありませんが、三重線で表記されることがあります。${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$^{[ 29 ]}この記法は、ベルンハルト・リーマン1857年の楕円関数講義（1899年出版）で導入した。 ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

あるいは、恒等式は関数の等式と見なすことができ、その場合、 と書く代わりに と書くことができる。${\displaystyle f(a)=g(a){\text{すべての }}a について}$単にこう書くこともできる${\displaystyle f=g.}$^{[ 33 ] [ 34 ]}これは関数の外延性と呼ばれます^{。 [ 35 ] [ 36 ]}この意味で、関数適用特性は、合成^{[ 37 ]}や微分、関数空間（関数間のマッピング関数）演算子。 ^{[ 38 ]}恒等式は「未知数」として関数を含むことができ、これは通常の方程式と同様に解くことができ、関数方程式。 ^{[ 39 ]}微分を含む関数方程式は微分方程式。 ^{[ 40 ]}

方程式は、定数の新しい用語や記号を導入したり、等式を主張したり、複雑な式の略記法を導入したりするためによく使用されます。これは「定義により等しい」と呼ばれ、しばしば (${\displaystyle$ :=} ). ^{[ 41 ]}これは、コンピュータサイエンスにおける変数の代入の概念に似ています。たとえば、${\textstyle \mathbb {e}$ :=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} は オイラー数を定義する^{[ 42 ]}。${\displaystyle i^{2}=-1}$虚数を定義する性質は${\displaystyle i.}$^{[ 43 ]}

数理論理学では、これは定義による拡張（等式による拡張）と呼ばれ、形式体系への保守的な拡張である。^{[ 44 ]}これは、新しい定数記号を定義する方程式を理論の新しい公理として採用することによって行われる。「定義による等式」の最初の記録された記号的使用は、イタリアの数学者チェーザレ・ブラリ＝フォルティによる『Logica Matematica』（1894年）に現れた。ブラリ＝フォルティは著書の中で、記法（${\displaystyle =_{\text{Def}}}$) ^{[ 45 ] [ 46 ]}

平等はしばしば原始的な概念と考えられており、非公式には「各ものがそれ自身とだけ持ち、他のものとは持たない関係」と言われている。^{[ 47 ]}この伝統は少なくともアリストテレスまで遡ることができ、彼は『カテゴリー論』（紀元前 350年頃）で、量の概念をより原始的な平等（同一性や類似性とは区別される）の観点から 定義し、次のように述べている。 ^{[ 48 ]}

量の最も特徴的な性質は、等価性または不等性が成り立つことである。前述の各量は、等しいか等しくないかで区別される。例えば、ある固体は別の固体と等しいか等しくないかで区別される。数や時間にもこれらの用語が適用される。実際、先に挙げたあらゆる種類の量にこれらの用語が適用される。

量ではないものは、いかなるものに対しても、等しいとも等しくないとも言えないように思われる。白さのような特定の性質や特性は、決して平等や不平等という観点から他の性質と比較されるのではなく、むしろ類似性という観点から比較される。このように、等しいとも等しくないとも言えることこそが、量の際立った特徴なのである。― （ E・M・エッジヒル訳）

アリストテレスは、量（数、長さ、体積）と性質（温度、密度、圧力）を別々のカテゴリーとして扱い、これらは現在では示強性および示量性と呼ばれています。14世紀のスコラ学派、特にリチャード・スワインズヘッドや他のオックスフォード計算機学派は、運動学と性質の定量的扱いについて真剣に考え始めました。例えば、2 つの炎が水に同じ効果（例えば、温めることと沸騰させること）を与える場合、その炎は同じ熱強度を持ちます。2 つの強度が等しいことが示され、等しさが量を定義する特徴と考えられていたため、これらの強度は定量化可能であることを意味しました。^{[ 49 ] [ 50 ]}

等式の置換性質の先駆けは、ゴットフリート・ライプニッツが『形而上学論』 （1686年）の中で最初に定式化し、「2つの異なるものがすべての性質を共有することはできない」と概ね述べている。これはその後、置換性質（もし${\displaystyle x=y,}$すると、${\displaystyle x}$は${\displaystyle y}$）、そしてその逆、不可弁別物の同一性（もし${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$すべてのプロパティを共有している場合、${\displaystyle x=y}$[ ^{51 ]​}

20世紀初頭頃、平等のより具体的な記述が必要となった。1879年、ゴットロープ・フレーゲは先駆的な著作『概念論』を出版し、論理学の焦点を、対象のクラスに焦点を当てたアリストテレス論理から、性質に基づくものへと移し、それが現代の述語論理へと発展した。これに続いて、論理的基礎で数学を記述する運動、すなわち論理主義が起こった。この傾向は、特に数理論理学^{[ 11 ] [ 24 ]}や分析哲学^{[ 52 ]}において、同一性の法則と置換性質による平等の公理化へとつながった。

その後、フレーゲの『算術の基礎』（1884年）と『算術の基本法則』（1893年、1903年）は、彼の『概念書』で展開された論理体系から数学の基礎を導き出そうと試みた。これは最終的にラッセルのパラドックスを許容することで欠陥があることが示され、数学の基礎危機の一因となった。フレーゲの研究は最終的に、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ホワイトヘッドによる『プリンキピア・マテマティカ』（1910年～ 1913年）として知られる3巻の著作によって解決された。ラッセルとホワイトヘッドの著作はまた、ライプニッツの法則を記号論理学に導入し形式化し、彼らはそれが還元可能性の公理から導かれると主張したが、そのアイデアはライプニッツによるものとした。^{[ 53 ]}

• 同一性の法則：あらゆるものがそれ自身と同一であるという法則。制限なし。つまり、あらゆるものについて、${\displaystyle a,}$${\displaystyle a=a.}$これは、伝統的な思考の3つの法則の1つ目である。^{[ 54 ]}上記は象徴的に次のように表現できる。${\displaystyle \forall a(a=a).}$
• 置換性質：一般的に、2つのものが等しい場合、一方の性質は他方の性質でもあると述べている。これは「ライプニッツの法則」と呼ばれることもある。 ^{[ 55 ]}正式には次のように述べることができる：すべてのaとbおよび任意の式に対して${\displaystyle \phi (x),}$自由変数xを使用する場合、${\displaystyle a=b,}$それから${\displaystyle \phi (a)}$暗示する${\displaystyle \phi (b).}$上記は、象徴的に次のように表すことができる。${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}.}$

関数適用も等号の公理に含まれることがあるが、^{[ 13 ]}他の 2 つの公理から推論できるため必須ではない。対称性や推移性についても同様である ( § 基本性質の導出を参照)。一階述語論理では、これらは公理図式(通常、下記参照) であり、それぞれが無限の公理セットを指定する。^{[ 56 ]}理論が同一性法則と置換性質を満たす述語を持つ場合、それは「等号を持つ」または「等号を持つ理論である」と言うのが一般的である。^{[ 44 ]}

ここで「等価性」という言葉を使うのはやや不適切である。なぜなら、等価性を持つシステムは、標準的な同一性を持たない、かつ不可弁別性を持つ理論によってモデル化できるからである。^{[ 57 ] [ 56 ]}しかし、これら2つの公理は、同一性を持つモデルと同型になるのに十分な強さを持っている。つまり、標準的な等価性を持たないこれらの公理を満たす述語を持つシステムがあれば、そのシステムの標準的な等価性を持つモデルが存在する。^{[ 56 ]}これは、元の「等価性」の同値類を対象とする新しい領域を定義することによって行うことができる。^{[ 58 ]}モデルが等価性を持つと解釈される場合、これらの性質で十分である。なぜなら、${\displaystyle x}$と同じ特性をすべて持っています${\displaystyle y,}$そして${\displaystyle x}$等しい性質を持つ${\displaystyle x,}$それから${\displaystyle y}$等しい性質を持つ${\displaystyle x.}$^{[ 53 ] [ 59 ]}

公理として、最初の公理から普遍インスタンス化を用いて、2番目の公理から、与えられた公理を推論することができる。${\displaystyle a=b}$そして${\displaystyle \phi (a),}$モーダス・ポネンスを2回使用することによって。あるいは、これらのそれぞれを論理学における推論規則として含めることもできる。^{[ 56 ]}最初のものは「等号導入」、2番目のものは「等号除去」^{[ 60 ]}（パラモジュレーションとも呼ばれる）と呼ばれ、ジョン・アラン・ロビンソンなどの理論計算機科学者が、分解と自動定理証明に関する研究で使用している。^{[ 61 ]}

置換特性は、素朴に適用すると誤った命題を生み出す可能性があります。たとえば、${\displaystyle n}$「太陽系の惑星の数」を表す場合、「ヨハネス・ケプラーは、${\displaystyle n>6}$「それは本当だ。なぜなら天王星と海王星は彼の死後に発見されたからだ。」しかし、${\displaystyle n=8}$代入法則を適用すると、「ヨハネス・ケプラーは知らなかった」という文が得られる。${\displaystyle 8>6}$これは誤りである。^{[ 62 ]}ここでの違いは、「惑星の数」と「8」という表現は同じ対象（外延）を指しているが、意味（内包）が異なることである。したがって、置換特性は外延的文脈でのみ保証され、これは現代数学では外延性の公理によって保証されている。^{[ 63 ]}

• 反射性:任意の式が与えられた場合${\displaystyle a,}$同一性の法則により、${\displaystyle a=a.}$^{[ 64 ]}
• 対称性:与えられた${\displaystyle a=b,}$式を取って${\displaystyle \phi (x):x=a.}$それに応じて、${\displaystyle (a=b)\implies ((a=a)\Rightarrow (b=a)).}$以来${\displaystyle a=b}$仮定により、そして${\displaystyle a=a}$反射律により、${\displaystyle b=a.}$^{[ 64 ]}
• 推移性:与えられた${\displaystyle a=b}$そして${\displaystyle b=c,}$式を取って${\displaystyle \phi (x):x=c.}$それに応じて、${\displaystyle (b=a)\implies ((b=c)\Rightarrow (a=c)).}$以来${\displaystyle b=a}$対称性により、${\displaystyle b=c}$仮定により、${\displaystyle a=c.}$^{[ 64 ]}
• 関数適用:ある関数が与えられた場合${\displaystyle f(x)}$そして、a = bとなるような式aとbを考えると、次の式が成り立つ。${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x).}$^{[ 64 ]}したがって、${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))].}$以来${\displaystyle a=b}$仮定により、そして${\displaystyle f(a)=f(a)}$反射律により、${\displaystyle f(a)=f(b).}$

20世紀初頭頃、数学はいくつかのパラドックスや直感に反する結果に直面した。例えば、ラッセルのパラドックスは素朴な集合論の矛盾を示し、平行線公準は証明できないこと、計算も明示的な記述もできない数学的対象の存在、ペアノ算術では証明できない算術の定理の存在が示された。その結果、数学の基礎的な危機が生じた。^{[ 72 ]}

この危機の解決には、数学における形式論理を研究する数理論理学と呼ばれる新しい数学分野の台頭が伴った。20世紀になされた発見は数学の基礎を安定させ、この分野のすべての分野に有効な首尾一貫した枠組みを生み出した。この枠組みは、公理的方法の体系的な使用と集合論、特にエルンスト・ツェルメロとアブラハム・フレンケルによって開発されたツェルメロ＝フレンケル集合論に基づいている。この集合論（および集合論全般）は現在、数学の最も一般的な基礎と考えられている。^{[ 73 ]}

等号を含む一階述語論理（§ 公理を参照）では、外延性の公理は、同じ要素を含む2つの集合は同じ集合であると述べている。^{[ 74 ]}

• 論理公理：${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• 論理公理：${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• 集合論の公理：${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

最初の2つは一階述語論理における等式の置換性質によって与えられ、最後の1つは理論の新しい公理である。アズリエル・レヴィが指摘するように、研究の半分を一階述語論理に組み込むことは単なる便宜上の問題とみなすことができる。

等号を含む一階述語論理を採用する理由は便宜上の理由によるものであり、これにより等号の定義やそのすべての性質の証明といった労力を省くことができる。この負担は論理学によって引き受けられる。^{[ 75 ]}

等号のない一階述語論理では、2つの集合が同じ要素を含む場合に等しいと定義される。そして、外延性の公理は、2つの等しい集合は同じ集合に含まれると述べている。 ^{[ 76 ]}

• 集合論の定義： ${\displaystyle (x=y)\$ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}
• 集合論の公理：${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

あるいは、同等に、すべての原子式の論理積として、置換特性を明示的に模倣する形で等価性を定義することもできる。^{[ 77 ]}

• 集合論の定義：${\displaystyle (x=y)\,:=\,\forall z(z\in x\implies z\in y)\,\land \,\forall w(x\in w\implies y\in w)}$
• 集合論の公理：${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

いずれの場合も、等号を含まない一階述語論理に基づく外延性の公理は、同じ要素を含む集合は常に同じ集合に含まれると述べている。

$${\displaystyle \forall z(z\in x\iff z\in y)\implies \forall w(x\in w\iff y\in w).}$$

• 反射性:集合が与えられた場合${\displaystyle X,}$仮定する${\displaystyle z\in X,}$自明なことから次のことが導かれる${\displaystyle z\in X,}$そして逆もまた同様である。${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in X),}$したがって${\displaystyle X=X.}$^{[ 78 ]}
• 対称性:与えられた集合${\displaystyle X,Y,}$そのため${\displaystyle X=Y,}$それから${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Y),}$これは、${\displaystyle \forall z,(z\in Y\iff z\in X),}$したがって${\displaystyle Y=X.}$^{[ 78 ]}
• 推移性:与えられた集合${\displaystyle X,Y,Z,}$すなわち、
  1. ${\displaystyle X=Y,}$そして
  2. ${\displaystyle Y=Z,}$

仮定する${\displaystyle z\in X.}$それから、${\displaystyle z\in Y}$（１）より、これは${\displaystyle z\in Z}$（２）により、逆の場合も同様である。したがって${\displaystyle \forall z,(z\in X\iff z\in Z),}$したがって${\displaystyle X=Z.}$^{[ 78 ]}

• 置換:置換 (論理) §  ZFC における置換の証明を参照してください。
• 関数適用:与えられた${\displaystyle a=b}$そして${\displaystyle f(a)=c,}$それから${\displaystyle (a,c)\in f.}$以来${\displaystyle a=b}$そして${\displaystyle c=c,}$それから${\displaystyle (a,c)=(b,c).}$これは順序対の定義特性である。^{[ 79 ]}${\displaystyle (a,c)=(b,c),}$外延性の公理により、それらは同じ集合に属していなければならない。したがって、${\displaystyle (a,c)\in f,}$したがって、${\displaystyle (b,c)\in f,}$または${\displaystyle f(b)=c.}$したがって、${\displaystyle f(a)=f(b).}$

数値解析とは、数学解析の問題の解の数値近似（記号操作とは対照的に）を見つけるための構成的方法とアルゴリズムの研究である。特に解析的に解けない問題である。^{[ 80 ]}

計算には丸め誤差やその他の近似誤差が含まれる可能性が高い。対数表、計算尺、電卓は、最も単純な計算を除いて、ほぼすべての計算に対して近似値を出力する。コンピュータによる計算結果は通常、限られた数の有効数字で表される近似値であるが、より正確な結果を生成するようにプログラムすることも可能である。^{[ 81 ]}

近似等号を二項関係（記号で表される）とみなすと、${\displaystyle \approx }$）実数や他のものの間の同値関係を厳密に定義しても、推移性がないため同値関係にはなりません。これは、それがファジー関係としてモデル化される場合でも同様です。^{[ 82 ]}

コンピュータサイエンスでは、等号は関係演算子を使用して表現されます。コンピュータでは、物理的な制約により、数値を表現できる精度のレベルが根本的に制限されます。そのため、実数は浮動小数点数で近似されることがよくあります。各浮動小数点数は、仮数部（特定の基数で固定長の数字列で構成される）として表現され、その基数の整数指数でスケーリングされるため、小数点が仮数部内の可能なすべての位置の間で「浮動」することができます。これにより、何桁にも及ぶ数値を表現できますが、数値が大きくなるにつれて精度が低下する曖昧な範囲の値としてのみ表現されます。^{[ 83 ]}精度を失わないようにするために、コンピュータでは、実数を実数を表す式の形式で表現するのが一般的です。しかし、式によって与えられる 2 つの実数の等価性は、決定不可能であることが知られています (具体的には、整数、基本的な算術演算、対数、指数関数を含む式で定義される実数)。言い換えれば、そのような等価性を判定するアルゴリズムは存在しません (リチャードソンの定理を参照)。^{[ 84 ]}

同値関係とは、類似性または同一性の概念を一般化した数学的な関係である。これは集合上で定義される。${\displaystyle X}$二項関係として${\displaystyle \sim }$これは、反射性、対称性、推移性の3 つの性質を満たします。反射性とは、${\displaystyle X}$それ自体と同等である（${\displaystyle a\sim a}$すべての人々のために${\displaystyle a\in X}$) 対称性とは、ある要素が別の要素と等しい場合、その逆もまた成り立つことを意味します (${\displaystyle a\sim b\implies b\sim a}$)推移性は、ある要素が別の要素と等価であり、別の要素がさらに別の要素と等価である場合、最初の要素は3番目の要素と等価であることを保証します。${\displaystyle a\sim b}$そして${\displaystyle b\sim c\implies a\sim c}$) ^{[ 85 ]}これらの性質は、集合を互いに素な同値類に分割するのに十分である。逆に、すべての分割は同値類を定義する。^{[ 86 ]}

等号の同値関係は、与えられた集合に限定した場合の特殊なケースである。${\displaystyle S,}$これは、${\displaystyle S}$具体的には、等号は集合をすべての単一要素集合からなる同値類に分割します。^{[ 86 ]}他の同値関係は、制約が少ないため、モジュラー算術における合同や幾何学における類似性など、共通の特性や変換に基づいて要素を識別することで等号を一般化します。^{[ 87 ] [ 88 ]}

数学、特に抽象代数学や圏論では、既に何らかの内部構造を持つ対象を扱うことが一般的です。同型写像は、2 つの対象間の構造保存対応の一種を記述し、それらが構造または性質において本質的に同一であることを確立します。^{[ 90 ] [ 91 ]}

より厳密に言うと、同型写像は全単射写像（または射）である。${\displaystyle f}$2つの集合または構造の間${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$そのため${\displaystyle f}$そしてその逆${\displaystyle f^{-1}}$これらの構造体で定義された操作、関係、または関数を保持します。^{[ 90 ]}これは、これらの構造体で有効な操作または関係が、${\displaystyle A}$操作または関係に正確に対応します${\displaystyle B}$写像の下で。例えば、群論では、群同型写像${\displaystyle f:G\mapsto H}$満たす${\displaystyle f(a*b)=f(a)*f(b)}$すべての要素について${\displaystyle a,b,}$どこ${\displaystyle *}$は群演算を表す。^{[ 92 ]}

2つのオブジェクトまたはシステムが同型である場合、要素や表現が異なっていても、内部構造に関しては区別できないとみなされます。たとえば、位数 のすべての巡回群は同型です。${\displaystyle \infty }$整数と同型であり、${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$加算とともに。^{[ 93 ]}同様に、線形代数では、2 つのベクトル空間は、それらの要素間に線形全単射が存在するため、同じ次元を持つ場合、同型である。^{[ 94 ]}

上述のような対象がその写像特性（すなわち普遍特性）によって定義される場合、そのような対象は2つとも一意的に同型になります。具体的な構成が異なっていても、それらを同じ（一意の）対象とみなし、等しいとみなすべきかどうかは議論の余地があります。数学文献では、このような対象が等号「=」を用いて正準的に識別され、関連付けられる際に、暗黙のうちにこのことが行われることがあり、場合によっては（面倒な）検証が必要となる技術的な問題が隠蔽されます。しかし、このような「等価性」を主張する証明を証明支援システムを用いて形式的に検証する際に、この慣行によって困難が生じています。^{[ 95 ]}

同型性の概念は、グラフ理論（グラフ同型性）、位相幾何学（同相性）、代数学（群と環の同型性）など、数学の多くの分野に及んでいます。同型性は、数学的実体の分類を容易にし、類似のシステム間で結果や手法を移転することを可能にします。同型性と等価性の間のギャップを埋めることは、圏論、ホモトピー型理論、およびユニバレント基礎論の発展の動機の一つでした。^{[ 96 ] [ 97 ] [ 98 ]}

幾何学では、厳密には、2つの図形がまったく同じ点を含む場合に等しいとされます。しかし、歴史的には、幾何学的等価性は常にずっと広い意味で捉えられてきました。ユークリッドとアルキメデスは、「等しい」（ἴσος isos）という言葉を、同じ面積を持つ図形や、切り取って並べ替えることで互いに形成できる図形を指す場合によく用いました。例えば、ユークリッドはピタゴラスの定理を「斜辺の平方は、辺の平方の合計に等しい」と述べ、アルキメデスは「円は、辺が半径と円周の半分である長方形に等しい」と述べました。^{[ 99 ]} （円の面積§並べ替えによる証明を参照）。 

この概念は、アドリアン＝マリー・ルジャンドルが1867 年に面積が等しい図形を表すために「等価」という用語を導入し、「等しい」を「合同」、つまり同じ形と大きさ、または一方の形と大きさが他方の鏡像と同じであるという意味に限定するまで続いた。[ 100 ] [ 101 ] ユークリッドの用語は、ダフィット・ヒルベルトの『幾何学の基礎』でも引き継がれ、ヒルベルトは、多角形^{が合同な有限個の}三角形に分割できる場合に「割り切れるほど等しい」（ zerlegungsgleich ）という概念、および、それぞれに割り切れるほど等しい多角形を有限個追加して結果として生じる多角形が割り切れるほど等しい場合に「内容が等しい」（ inhaltsgleichheit ）という概念を導入することで、ユークリッドの考えをさらに洗練させた。^{[ 102 ]}

集合論の台頭後、1960年代頃には、アンドレイ・コルモゴロフに倣って「新数学」と呼ばれる数学教育改革の機運が高まりました。コルモゴロフは、ロシアの幾何学コースを再構築する試みの中で、変換と集合論の観点から幾何学を提示することを提案しました。図形は点の集​​合として捉えられるため、それ自身としか等しくなれないというコルモゴロフの考え方により、以前は「等しい」と呼ばれていた図形に対して「合同」という用語が学校で標準的に使われるようになり、この用語が普及しました。^{[ 103 ]}

ユークリッドは比例や同じ形の図形について論じたが、相似の概念が現代的な意味で形式化されたのは17世紀になってからのことだった。相似な図形とは、形は同じだが大きさが異なる図形であり、拡大縮小や合同によって互いに変換できるものである。^{[ 104 ]}その後、 1835年にジュスト・ベラヴィティスによって、有向線分の等しさの概念である等位性が提唱された。^{[ 105 ]}