モーダス・ポネンス

命題論理において、modus ponens（/ ˈmoʊdəsˈpoʊnɛnz / 、MP ）、別名modus ponendo ponens （ラテン語の「肯定することによって肯定する様式」に由来）[ 1]、^{含意の排除}、または前件の肯定[ ^{2 ]}は、演繹的議論の形式であり、推論規則である^{[ 3 ]}。これは「 PはQを含意する^。Pは真である。したがって、Qも真でなければならない。」と要約できる。 

モーダス・ポネンスは混合仮言三段論法であり、有効な論証形式であるモーダス・トレンスと密接に関連している。両者とも、一見似ているが無効な形式、すなわち後件を肯定し前件を否定する形式を持つ。構成的ジレンマは、モーダス・ポネンスの選言形式である。

モーダス・ポネンスの歴史は古代に遡ります。^{[ 4 ]}モーダス・ポネンスという議論形式を最初に明示的に記述したのはテオフラストスでした。^{[ 5 ]}これは、モーダス・トレンスとともに、望ましい目標につながる結論の連鎖を導き出すために適用できる標準的な推論パターンの1つです。

モーダス・ポネンス論証の形式は、2つの前提と1つの結論からなる混合仮説三段論法である。 ^{[ 6 ]}

1. PならばQ。​​
2. P。
3. したがって、Q。

第一の前提は、PならばQという条件付き命題である。第二の前提は、条件付き命題の前件であるPが真であるという主張である。これら二つの前提から、条件付き命題の帰結であるQもまた真であると論理的に結論づけることができる。

モーダス・ポネンスの形式に当てはまる議論の例：

1. 今日が火曜日なら、ジョンは仕事に行く。
2. 今日は火曜日です。
3. したがって、ジョンは仕事に行く。

この議論は妥当ですが、これは議論中のいずれかの命題が実際に真であるかどうかとは関係ありません。モーダス・ポネンスが健全な議論であるためには、結論の真の事例すべてにおいて前提が真でなければなりません。一つ以上の前提が偽であれば、議論は妥当であっても不健全になる可能性があります。議論が妥当で、かつすべての前提が真であれば、その議論は健全です。たとえば、ジョンは水曜日に仕事に行くかもしれません。この場合、ジョンが仕事に行く理由（火曜日だから）は不健全です。この議論は火曜日（ジョンが仕事に行くとき）にのみ健全ですが、週のすべての曜日において妥当です。モーダス・ポネンスを用いた命題的議論は演繹的であると言われます。^{[ 7 ]}

単一結論シーケント計算では、モーダス・ポネンスはカット規則である。計算におけるカット除去定理は、カットを含むすべての証明は（一般に構成的方法によって）カットを含まない証明に変換でき、したがってカットは許容可能であると述べている。^{[ 8 ]}

証明とプログラムの間のカリー・ハワード対応は、モーダス・ポネンスを関数適用に関連付けます。fがP → Q型の関数であり、xがP型である場合、fxはQ型です。^{[ 9 ]}

人工知能では、モーダス・ポネンスはしばしば前方連鎖と呼ばれます。^{[ 10 ]}

モーダス・ポネンスの規則は、シーケント記法で次のように書くことができる。

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

ここで、 P、Q、P → Qは形式言語における文（または命題）であり、⊢はメタ論理記号であり、 Q はある論理体系においてPおよびP → Qの構文的帰結であることを意味する。

古典的な二値論理では、モーダス・ポネンスは実質条件（含意）演算子から解釈できます。厳密な数学的構成物としての含意の概念は、19 世紀初頭の『概念書』や『プリンキピア・マテマティカ』などの初期の数学論理学の著作にまで遡ることができます。真または偽のいずれかである 2 つの変数pとqが与えられた場合、含意 ( p → q ) は、 pが真でqが偽の場合を除いてすべての場合が真であると定義されます。^{[ 11 ]}モーダス・ポネンスの仮定により、p → qとpは真であり、含意の定義により、 qも真でなければならないと推論できます。

モーダス・ポネンスは論理学で最もよく使われる議論形式の1つですが、論理法則と混同してはいけません。むしろ、それは「定義の規則」や「置換の規則」を含む演繹的証明の構築に受け入れられているメカニズムの1つです。^{[ 12 ]}モーダス・ポネンスは、論理的証明や議論（前件）から条件文を削除し、それによってこれらの前件を際限なく長い記号列で前に進めないようにすることができます。このため、モーダス・ポネンスは分離の規則^{[ 13 ]}または分離の法則と呼ばれることもあります。^{[ 14 ]}例えば、エンダートンは「モーダス・ポネンスはより長い式からより短い式を生み出すことができる」と述べており、^{[ 15 ]}ラッセルは「推論の過程は記号に還元することはできない。その唯一の記録は⊦q（後件）の発生である…推論とは真の前提を捨てることであり、含意を解消することである」と述べている。^{[ 16 ]}

「推論への信頼の根拠は、先行する2つの主張（前件）に誤りがなければ、後件（結論）にも誤りがないという信念である」[16]。言い換えれば^{、ある命題}が別の命題を含意し、最初の命題が真であれば、2番目の命題も真である。PがQを含意し、Pが真であれば、Qも真である。^{[ 17 ]}

哲学者や言語学者は、モーダス・ポネンスが失敗すると思われるさまざまなケースを特定している。たとえば、ヴァン・マギーは、条件文の帰結自体が条件文である場合、モーダス・ポネンスが失敗する可能性があると主張した。^{[ 20 ]}以下はその一例である。

1. ハムレットはシェイクスピアかホッブズのどちらかが書いた。
2. もしシェイクスピアかホッブズのどちらかが『ハムレット』を書いたのだとしたら、シェイクスピアが書いていないなら、ホッブズが書いたことになる。
3. したがって、シェイクスピアが『ハムレット』を書かなかったとしたら、ホッブズが書いたことになる。

シェイクスピアがハムレットを書いたので、最初の前提は正しい。シェイクスピアとホッブズだけに限定された著者の集合から始めて、どちらか一方を除外すると、もう一方だけが残るので、2番目の前提も正しい。しかし、シェイクスピアをハムレットの著者として除外すると、多数の候補者が残り、その多くはホッブズよりももっともらしい代替案となるので、結論は疑わしい（推論中のif-thenを実質的な条件文と解釈すると、誤った前件によって結論が真となる。これは実質的含意のパラドックスの1つである）。

モーダス・ポネンスに対するマクギー型反例の一般形は単純に${\displaystyle P,P\rightarrow (Q\rightarrow R)}$、 したがって、${\displaystyle Q\rightarrow R}$ただし、${\displaystyle P}$与えられた例のように、選言となる。このようなケースがモーダス・ポネンスの失敗を構成するという見解は、論理学者の間で議論の的となっているが、これらのケースをどのように処理すべきかについては意見が分かれており、一部の著者はマクギーの議論を否定している。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

義務論では、条件付き義務の例の中には、モーダス・ポネンスの失敗の可能性を提起するものもあります。これらは、条件付き前提が不道徳または軽率な行為に基づく義務を記述している場合です。例えば、「もしドゥーが母親を殺害するならば、彼は優しく殺害すべきである」という場合、疑わしい無条件の結論は「ドゥーは優しく母親を殺害すべきである」となります。^{[ 24 ]}ドゥーが実際に優しく母親を殺害している場合、モーダス・ポネンスによって、彼は無条件に行うべきことを正確に行っているように見えるように思われます。ここでも、モーダス・ポネンスの失敗は一般的な診断ではなく、一部の著者によって批判されていますが、時には議論されることもあります。^{[ 25 ]}

結論を肯定する誤謬（PならばQとQからPを推論する）は、モーダス・ポネンスのよくある誤解である。^{[ 26 ]}

• 凝縮分離法– 形式論理における方法 
• インポート・エクスポート（論理）– 古典論理の原理 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• ラテン語のフレーズ
• モーダス・トレンス– 論理的推論の規則 
• 共存の様式– 対立する当事者が平和的に共存することを可能にする取り決め 
• ストア派の論理学– 古代哲学 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 亀がアキレウスに言ったこと― ルイス・キャロルによる1895年の寓話的対話 

• ハーバート・B・エンダートン、2001年、『論理学への数学的入門 第2版』、ハーコート・アカデミック・プレス、バーリントン、マサチューセッツ州、ISBN 978-0-12-238452-3。
• Audun Jøsang、2016年、『主観的論理：不確実性下での推論のための形式体系』、 Springer、Cham、ISBN 978-3-319-42337-1
• アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセル著『プリンキピア・マテマティカ』 1927年、第2版、ペーパーバック版1962年、ケンブリッジ大学出版局、ロンドン、英国。ISBN、LCCCNなし。
• アルフレッド・タルスキ著『論理学と演繹科学の方法論入門』（第2版、 1946年）、ドーバー出版（ニューヨーク州ミネオラ）より復刻。ISBN 0-486-28462-X（ペーパーバック）

• 「モーダス・ポネンス」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• PhilPapersのModus ponens
• Wolfram MathWorldでの手法